2024届广东省广州市番禺区禺山中学数学高二上期末复习检测试题含解析

2024届广东省广州市番禺区禺山中学数学高二上期末复习检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为虚数单位，复数满足为纯虚数，则的虚部为（）A. B.C. D.2．若点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B.C. D.3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率（）A.50% B.30%C.10% D.60%4．设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）A. B.C. D.6．已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为2，则双曲线的方程为（）A B.C. D.7．的展开式中的系数是（）A. B.C. D.8．在三棱锥中，平面，，，，Q是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B.C. D.9．已知圆和椭圆．直线与圆交于、两点，与椭圆交于、两点．若时，的取值范围是，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.10．在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则（）A B.C. D.11．函数图象的一个对称中心为（）A. B.C. D.12．已知数列是等比数列，且，则的值为（）A.3 B.6C.9 D.36二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，直线是曲线在点处的切线，则__________.14．若“x2－2x－8>0”是“x<m”的必要不充分条件，则m最大值为________15．数列的前项和为，则_________________.16．若平面法向量，直线的方向向量为，则与所成角的大小为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某项目的建设过程中，发现其补贴额x（单位：百万元）与该项目的经济回报y（单位：千万元）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：补贴额x（单位：百万元）23456经济回报y（单位：千万元）2.5344.56（1）请根据上表所给的数据，求出y关于x的线性回归直线方程；（2）为高质量完成该项目，决定对负责该项目的7名工程师进行考核.考核结果为4人优秀，3人合格.现从这7名工程师中随机抽取3人，用X表示抽取的3人中考核优秀的人数，求随机变量X的分布列与期望.参考公式：18．（12分）如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点.（1）求抛物线的方程；（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值.19．（12分）已知抛物线上的点P（3，c）），到焦点F的距离为6（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）和焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，求△PAB的面积20．（12分）已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.21．（12分）设函数，（1）求的最大值；（2）求证：对于任意x∈(1,7),e1-x+22．（10分）如图所示，是棱长为的正方体，是棱的中点，是棱的中点（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求到平面的距离

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】先设，代入化简，由纯虚数定义求出，即可求解.【题目详解】设，所以，因为为纯虚数，所以，解得，所以的虚部为：.故选：D.2、C【解题分析】根据给定条件求出即可计算椭圆的离心率.【题目详解】因点在椭圆，则，解得，而椭圆长半轴长，所以椭圆离心率.故选：C3、A【解题分析】根据甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件即可求解.【题目详解】甲不输有两种情况：甲获胜或甲、乙两人下成平局，甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件，所以甲、乙两人下成平局的概率为.故选：A.4、B【解题分析】求出不等式的等价形式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【题目详解】由得或，由得，因为或推不出，但能推出或成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B5、B【解题分析】模拟程序运行后,可得到输出结果,利用裂项相消法即可求出答案.【题目详解】模拟程序运行过程如下:0),判断为否,进入循环结构,1),判断为否,进入循环结构,2),判断为否,进入循环结构,3),判断为否,进入循环结构,……9),判断为否,进入循环结构,10),判断为是,故输出,故选:B.【题目点拨】本题主要考查程序框图,考查裂项相消法,难度不大.一般遇见程序框图求输出结果时,常模拟程序运行以得到结论.6、B【解题分析】根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，再结合焦距为2和，求得，即可得解.【题目详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，即，又因焦距为2，即，即，因为，所以，所以，所以双曲线的方程为.故选：B.7、B【解题分析】根据二项式定理求出答案即可.【题目详解】的展开式中的系数是故选：B8、C【解题分析】由平面，直线与平面所成角的最大时，最小，也即最小，，由此可求得，从而得，得长，然后取外心，作，取H为的中点，使得，则易得，求出的长即为外接球半径，从而可得面积【题目详解】三棱锥中，平面，直线与平面所成角为，如图所示；则，且的最大值是，，的最小值是，即A到的距离为，，，在中可得，又，，可得；取的外接圆圆心为，作，取H为的中点，使得，则易得，由，解得，，，，由勾股定理得，所以三棱锥的外接球的表面积是.【题目点拨】本题考查求球的表面积，解题关键是确定球的球心，三棱锥的外接球心在过各面外心且与此面垂直的直线上9、C【解题分析】由题设，根据圆与椭圆的对称性，假设在第一象限可得，结合已知有，进而求椭圆的离心率.【题目详解】由题设，圆与椭圆的如下图示：又时，的取值范围是，结合圆与椭圆的对称性，不妨假设在第一象限，∴从0逐渐增大至无穷大时，，故，∴故选：C.10、C【解题分析】由为的中点，根据向量的运算法则，可得，即可求解.【题目详解】由底面是正方形，E为的中点，且，根据向量的运算法则，可得.故选：C.11、D【解题分析】要求函数图象的一个对称中心的坐标,关键是求函数时的的值;令,根据余弦函数图象性质可得,此时可求出,然后对进行取值,进而结合选项即可得到答案.【题目详解】解:令,则解得,即,图象的对称中心为,令,即可得到图象的一个对称中心为故选:D【题目点拨】本题考查三角函数的对称中心,正弦函数的对称中心为,余弦函数的对称中心为.12、C【解题分析】应用等比中项的性质有，结合已知求值即可.【题目详解】由等比数列的性质知：，，，所以，又，所以.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解题分析】利用直线所过点求得直线的斜率，从而求得.【题目详解】由图象可知直线过，所以直线的斜率为，所以.故答案为：14、【解题分析】解不等式，得到或，，根据必要不充分条件，得到是A的真子集，从而求出，得到m的最大值.【题目详解】，解得：或，所以记或，；若“x2－2x－8>0”是“x<m”的必要不充分条件，则是A的真子集故，所以m最大值为故答案为：-215、【解题分析】利用计算可得出数列的通项公式.【题目详解】当时，;而不适合上式，.故答案：.16、##【解题分析】设直线与平面所成角为，则，直接利用直线与平面所成的角的向量计算公式，即可求出直线与平面所成的角【题目详解】解：已知直线的方向向量为，平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，，，所以直线与平面所成角为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）分布列答案见解析，数学期望：【解题分析】（1）根据表中的数据和公式直接求解即可，（2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，然后求各自对应的概率，从而可求得分布列和期望【小问1详解】.，...【小问2详解】由题意可知，的可能取值为0，1，2，3.，，分布列为0123.18、（1）圆的圆心坐标为，即抛物线的焦点为,……3分∴∴抛物线方程为……6分

由题意知直线AD的方程为…7分即代入得=0设，则，……11分∴【解题分析】（1）设抛物线方程为,由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果；（2）先由题意得出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再由为圆的直径，即可求出结果.【题目详解】（1）设抛物线方程为，圆的圆心恰是抛物线的焦点，∴.抛物线方程为：；（2）依题意直线的方程为设，，则，得，，.【题目点拨】本题主要考查抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系；由抛物线的焦点坐标可直接求出抛物线的方程；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长，进而可求出结果，属于常考题型.19、（1）（2）【解题分析】（1）根据抛物线的焦半径公式求得，即可得到抛物线方程；（2）写出直线方程，联立抛物线方程，进而求得弦长|AB|,再求出点P到直线的距离，即可求得答案.【小问1详解】由抛物线的焦半径公式可知：，即得，故抛物线方程为：；【小问2详解】点Q（2，1）和焦点作直线l，则l方程为，即，联立抛物线方程：，整理得，设，则，故，点P（3，c）在抛物线上，则，点P到直线l的距离为，故△PAB的面积为.20、x-y-4=0或x-y+1="0."【解题分析】假设存在，并设出直线方程y＝x＋b，然后代入圆的方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到根的关系，最后利用OA⊥OB即x1x2＋y1y2＝0，得到参数b的方程求解即可试题解析：设直线l的方程为y＝x＋b①圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．②联立①②消去y，得2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则有③因为以AB为直径的圆经过原点，所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0，而y1y2＝（x1＋b）（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b2，所以2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2＝0，把③代入：b2＋4b－4－b（b＋1）＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1或b＝－4，故直线l存在，方程是x－y＋1＝0，或x－y－4＝0考点：存在性问题【方法点睛】存在性问题，首先应假设存在，然后去求解．对本题来说具体是：设出直线方程y＝x＋b，然后分析几何性质得到OA⊥OB即得到关于参数b方程求解即可．解该类问题最容易出错的的地方是，忽视对参数范围的考虑，即直线方程与圆的方程联立求解后应得到，即求出的b值必须满足b的范围，否则无解21、（1）（2）证明见解析【解题分析】（1）求出，讨论其导数后可得原函数的单调性，从而可得函数的最大值.（2）先证明任意的，总有，再利用放缩法和换元法将不等式成立问题转化为任意恒成立，后者可利用导数证明.【小问1详解】，当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故.【小问2详解】因为，故当时，，即，而在为减函数，故在上有，故任意的，总有.要证任意恒成立，即证：任意恒成立，即证：任意恒成立，由（1）可得，任意，有即，故即证：任意恒成立，设，即证：任意恒成立，即证：任意恒成立，即证：任意恒成立，即证：任意恒成立，设，则，而在为增函数，，故存在，使得，且时，，时，，故在为减函数，在为增函数，故任意，总有，故任意恒成立，所以任意恒成立.【题目点拨】思路点睛：不等式的恒成立，可结合不等式的形式将其转化为若干段上的不等式的恒成