电磁矢论第一章、矢量分析

电磁矢论第一章、矢量分析第一页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.1矢量代数（标量和矢量、矢量的运算）1.标量和矢量1.标量和矢量标量：只有大小没有方向的物理量，表示为，如时间、温度、质量、电荷量等。矢量：既有大小又有方向的物理量，表示为，如力、速度、电场强度等。矢量的模（大小）：单位矢量(方向）：常矢量：大小和方向均不变的矢量（注：单位矢量不一定是常矢量）。第二页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.1矢量分析（标量和矢量、矢量的运算）矢量的几何表示：可用一条有方向的线段表示。矢量的代数表示：矢量的坐标分量表示：单位矢量：第三页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.1矢量分析（标量和矢量、矢量的运算）2.矢量的运算（1）加法、减法运算矢量的加法、减法运算满足交换律和结合律第四页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.1矢量分析（标量和矢量、矢量的运算）（2）乘法运算一个标量与一个矢量的乘积仍为一矢量两个矢量的点乘为一标量矢量的点乘符合交换律和分配律当时，；时，第五页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.1矢量分析（标量和矢量、矢量的运算）两个矢量的叉乘一矢量当时，；时，第六页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.1矢量分析（标量和矢量、矢量的运算）两个矢量的叉乘不符合交换律，但符合分配律矢量运算恒等式：标量三重积和矢量三重积标量三重积矢量三重积第七页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.2三种常用的正交坐标系为研究物理量在空间中的分布和变化规律，引入正交坐标系。在电磁场理论中，三种最为常用的正交坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。第八页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.2三种常用的正交坐标系1.直角坐标系点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐标系

x

yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元

odzdydx坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元（微分）矢量面元矢量体积元矢量表示第九页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.2三种常用的正交坐标系2.圆柱坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元（微分）矢量面元矢量体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系（半平面）（圆柱面）（平面）矢量表示第十页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.2三种常用的正交坐标系3.球坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元（微分）矢量面元矢量体积元球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系（半平面）（圆锥面）（球面）矢量表示第十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.2三种常用的正交坐标系4.不同坐标系单位矢量间的转换直角坐标系和圆柱坐标系第十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.2三种常用的正交坐标系圆柱坐标系和球坐标系第十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.2三种常用的正交坐标系直角坐标系和球坐标系第十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.3物理场的概念场：一个物理量是时间和空间的函数。如果在全部空间或部分空间的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这个空间确定了该物理量的一个场。物理场：某种客观存在的虚拟“物质”，如静电场、静磁场、电磁场等。发生物理量的空间部分称为场，场是物理量的空间函数。场的两个显著特点：（1）场是客观存在的；（2）场可以随时间和空间发生变化。第十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.3物理场的概念根据物理量的性质，物理场可分为标量场和矢量场：若物理量为标量，则称该场为标量场，如温度场、电位场、密度场等；若物理量为矢量，则称该场为矢量场，如力场、速度场、电场、磁场等。根据物理场的定义静态标量场和矢量场表示为：动态标量场和矢量场表示为：第十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.4标量场的梯度1、标量场的等值面等值面：在标量场中，标量函数u(x,y,z)取相同数值的点构成的空间曲面。意义：形象直观地描述了物理量在空间的分布状况。等值面函数：u(x,y,z)=C等值面的特点：（1）常数C取一系列不同值可得到一系列不同的等值面，形成等值面簇；（2）标量场的等值面簇充满场所在的整个空间；（3）标量场的等值面不相交。第十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.4标量场的梯度2、标量场的方向导数方向导数表征标量场中，某处场值沿某一方向的变化规律，定义为：式中cosα、cosβ、cosγ为的方向余弦。物理意义：

是标量场u（M)在点M0处沿方向变化率。第十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.4标量场的梯度时，沿方向增大；时，沿方向减小；时，沿方向无变化。方向导数的特点：方向导数的大小既与M0值有关，也与方向有关。第十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.4标量场的梯度3、标量场的梯度标量场在什么方向上变化率（方向导数）最大？其最大的变化率（方向导数）是多少？——梯度梯度：标量场的梯度为一矢量，方向为标量场变化率最大的方向，大小为标量场的最大变化率，记做gradu或是▽u。式中：是场量u变化率最大的方向上的单位矢量。梯度的计算式第二十页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.4标量场的梯度梯度的性质：（1）标量场的梯度为一矢量场；（2）标量场在某一方向上的方向导数是梯度在该方向上的投影；（3）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面，并指向标量场增大的方向。梯度的基本运算公式第二十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.4标量场的梯度

eg：设一标量函数(x,y,z)=x2＋y2－z

描述了空间标量场。试求：

(1)该函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。

(2)求该函数沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。第二十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.4标量场的梯度

解:

(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为表征其方向的单位矢量

(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为第二十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.4标量场的梯度对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为而该点的梯度值为

显然，梯度描述了P点处标量函数的最大变化率，即最大的方向导数，故恒成立。第二十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.5矢量场的通量和散度1、矢量场的矢量线矢量线：其上任一点的切线方向都与该点的场矢量方向相同的有向曲线。物理意义：形象直观的描述了矢量场的空间分布状态。矢量线的微分方程：矢量线OM

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第二十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.5矢量场的通量和散度2、矢量场的通量为矢量穿过曲面S的通量；其中为面元矢量，为面元矢量的法向单位矢量，为穿过面元矢量的通量。在矢量场中，取任一面元矢量，矢量与面元矢量的标量积定义为矢量穿过面元矢量的通量，因此定义：第二十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.5矢量场的通量和散度若S为闭合曲面，矢量场对闭合曲面的通量为：通量的物理意义：描述空间某一范围内矢量场的大小（对于开曲面而言）、汇聚及发散（对于闭合曲面而言）的情况，具有区域性质，不能反映空间一点的情况。第二十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.5矢量场的通量和散度矢量场通过闭合面的三种情况通过通过闭合曲面有净矢量线穿出，此时闭合曲面内有发出矢量线的源，即正通量源。通过通过闭合曲面有净矢量线进入，此时闭合曲面内有汇集矢量线的源，即负通量源。穿出闭合曲面的通量等于进入的通量，此时闭合曲面内无通量源。

闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。第二十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.5矢量场的通量和散度3、矢量场的散度通量描述的是在空间某一范围（曲面）内矢量的分布规律，不能反映空间一点的情况，因此引入散度以研究矢量场空间一点的分布规律。在矢量场中任一点作一闭合曲面S，当闭合曲面所限定的体积时，为矢量场在点M处的散度。散度是矢量通过包含该点的任一闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。第二十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.5矢量场的通量和散度物理意义：描述了通量源的密度。该点有发出矢量线的正通量源。该点有汇聚矢量线的负通量源。该点无通量源。散度的计算公式：直角坐标系圆柱坐标系直角坐标系第三十页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.5矢量场的通量和散度散度的相关公式（为常矢量）（为常量）第三十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.5矢量场的通量和散度4、散度定理——也称高斯定理，是矢量分析中的一个重要定理矢量场的散度在体积V上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面S上的面积分（通量）。定义：散度定理是联系体积分（散度）和面积分（通量）之间变换的一个重要定理，是矢量分析中一个重要的恒等式，在电磁场理论中非常有用。第三十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.6矢量场的环流和旋度通量和散度描述了通量源的分布情况，但不是所有的矢量场都是由通量源激发的。存在一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量线是闭合的，对任何闭合曲面的通量为0，而对场空间中任一闭合路径的积分不为0——用环流和旋度来描述此类矢量源的分布情况。磁感应线要么不穿过曲面磁感应线要么同时穿入和穿出曲面磁感应线第三十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.6矢量场的环流和旋度1、矢量场的环流矢量场沿场中的一条闭合路径C的曲线积分：称为矢量场沿闭合路径C的环流。表明区域内存在激发闭合矢量线的漩涡源，该矢量场称为有旋矢量场。表明区域内不存在漩涡源，矢量线不闭合，该矢量场称为无旋矢量场或保守场。环流的意义：闭合路径所围面积内激发矢量场场的漩涡源。第三十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.6矢量场的环流和旋度在点M处取一面元△S，为其法向单位矢量，当时，极限：环流描述的是以C为边界的区域内的漩涡源状态，为研究每一点附近的漩涡源状态——引入环流面密度。矢量场在点M处沿方向的环流面密度就是该点沿方向的漩涡源密度。环流面密度的大小与的方向有关。为矢量场在点M处沿方向的环流面密度。第三十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.6矢量场的环流和旋度2、矢量场的旋度（2）矢量场在点M处的旋度就是该点的漩涡源密度；

矢量场的旋度为一矢量，记作，其大小等于环流面密度的最大值，方向为取环流面密度最大值时面元的法线方向，（1）通常称为矢量场所产生的旋度场；（3）矢量场在点M处沿方向的环流面密度等于在该方向的投影，即。第三十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.6矢量场的环流和旋度旋度的计算公式：直角坐标系：圆柱坐标系：球坐标系：第三十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.6矢量场的环流和旋度旋度的相关公式：——旋度的散度恒为0。——梯度的旋度恒为0。第三十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.6矢量场的环流和旋度Eg1：证明证明:Eg2：证明第三十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.6矢量场的环流和旋度证明:第四十页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.6矢量场的环流和旋度3、斯托克斯定理矢量场的旋度在曲面S上的面积分（旋度的面积分）等于矢量场在限定该曲面的闭合曲线C上的线积分（环流）。定义：斯托克斯定理定理是联系面积分（旋度）和线积分（环流）之间变换的一个重要定理，是矢量分析中一个重要的恒等式，在电磁场理论中非常有用。第四十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.7无旋场和无散场散度和旋度反映了两种不同性质的矢量源：散度源（通量源）：标量旋度源（漩涡源）：矢量任一矢量场可能由两种矢量源中的一种产生，也可能由两种源共同产生。不同性质的矢量源产生的矢量场具有不同的性质。第四十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.7无旋场和无散场1、无旋场若一矢量场的旋度处处为0，即，但其散度，则称该矢量场为无旋场（有散无旋场）。由斯托克斯定理可知：，即无旋场的线积分与路径无关，是保守场。梯度的旋度恒为0无旋场可由标量场的梯度表示Eg:静电场第四十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.7无旋场和无散场2、无散场若一矢量场的散度处处为0，即，但其旋度，则称该矢量场为无散场（有旋无散场）。梯度的旋度恒为0无旋场可由标量场的梯度表示Eg:恒定磁场第四十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.7无旋场和无散场4、有散、有旋场有散、有旋场可分解为两个部分：无旋场部分和无散场部分。在空间内，散度和旋度均不为0的矢量场称为有散、有旋场。无旋场部分无散场部分3、无散、无旋场（矢量源在所讨论的区域之外）若矢量场在一区域内散度和旋度均为0，则称矢量场在此区域内为无散、无旋场（调和场）。注意：在整个空间内不存在无散、无旋场。第四十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.7无旋场和无散场第四十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.8拉普拉斯运算和格林定理1、拉普拉斯运算直角坐标系中：对标量场的梯度（矢量场）求散度，即，称为标量场的拉普拉斯运算，记作：圆柱坐标系中：第四十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期一球坐标系中：矢量场的拉普拉斯运算（已失去梯度的散度的概念）：在直角坐标系中（对于直角分量）：注意：对于非直角分量（在圆柱坐标系或球坐标系中）：Eg：第四十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.8拉普拉斯运算和格林定理2、格林定理

——又称格林恒等式，有散度定理推导得出。格林第一恒等式：格林第二恒等式:第四十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期一1.8拉普拉斯运算和格林定理2、格林定理散度定理：(1)设，和为体积V内的两个任意标量，则有：（2）因为（