高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质讲义3新人教B版选修

2.2.2椭圆的简单几何性质(1)一、复习回顾：1.椭圆的定义:

平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a

（大于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程：3.椭圆中a,b,c的关系:当焦点在X轴上时当焦点在Y轴上时a2=b2+c2椭圆的几何性质标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系a2=b2+c2

-a≤x≤a,-b≤y≤b

∴椭圆位于直线x=±a,y=±b所围成的矩形中，如图所示：oyB2B1A1A2F1F2cab二、新课讲解：1、椭圆的范围：由xyxoF1F2··x2y2＋=1a22b二、椭圆的对称性yxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22b*17yxoF1F2··x2y2＋=1a22b*18yxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22byxoF1F2··x2y2＋=1a22b*57yxoF1F2··x2y2＋=1a22b从图形上看：椭圆既是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于

轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于

轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于

成中心对称。y

x

原点坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。它们的长分别等于2a和2b。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(0,-b)(a，0)(-a，0)3、椭圆的顶点：令x=0，得y=？说明椭圆与y轴的交点为（），令y=0，得x=？说明椭圆与x轴的交点为（）。0,±b±a,0*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

00四、椭圆的离心率oxy椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：[2]离心率对椭圆形状的影响：1）e越接近1，c就越接近a，请问：此时椭圆的变化情况？

b就越小，此时椭圆就越扁。

2）e越接近0，c就越接近0，请问：此时椭圆又是如何变化的？b就越大，此时椭圆就越趋近于圆。3)如果a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆的标准方程就变为圆的方程：离心率反映椭圆的圆扁程度离心率：因为a>c>0，所以0<e<1小结一：基本元素oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2{1}基本量：a、b、c、e、（共四个量）{2}基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）{3}基本线：对称轴（共两条线）请考虑：基本量之间、基本点之间、基本线之间以及它们相互之间的关系（位置、数量之间的关系）标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系-a≤x≤a,-b≤y≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(a>b)知识归纳a2=b2+c2标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(a>b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称长半轴长为a,短半轴长为b.(a>b)-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2a2=b2+c2例1、已知椭圆方程为

，则范围：_______________;对称性：_____________________;顶点：_____________________;长轴长：

；短轴长：

；焦距:______;离心率：

；

练习：说出下列椭圆的范围、对称性、顶点和离心率例题2求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)(2)离心率为,焦距为6(3)长轴是短轴的2倍,且过点P(2,-6)求椭圆的标准方程时,应:先定位(焦点),再定量（a、b）当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！长轴长为20，离心率为标准方程范围