归纳与证明教案

教育教师备课手册教师姓名学科 数学

生名 写间级 三 课间 8-:0

2123.9课时计划

2小时学 学容 考习明标性习决基础知识回顾析重点推理与证明★知识网络★情理推理推 绎理理与证明 接明

归纳类比数归纳法综合法证明 分析法教学过程合情推理和演绎推理

接明 反证法★知识梳理★1.推理根据一几(设)得出断,理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判结论.2理:根据有事,。理：（分，推般理（2象类。.演推:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的它括（1提-知2-222233 3究殊（3222233 3★重难点突破★重点想,会证系难点律重难点：利用合情用明1性问题：7521；5521；339321….对于意正实数a,b，试写使ab21立个件以是 _.点拨：前面所列式方为2故ab22、类比推理关键是要寻找两类对象的类征题2：已知抛有过的焦点作一抛于A、B两点，则当AB与抛物线的对称轴垂直时，AB的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ．椭于A、B两点当AB与，AB（|Bb2）a23式(三论行理问题义]过x的最大整数，则-2.1]=点拨在(,x]找最大整数，所以[.3★热点考点题型探析★考点1合情推理题型1用归纳推理发现规律[例1]通过。n2150n2750n213503；n2300n2900n215003；n2450n2100n216503；n2600n21200n218003共（1性（”[解]猜：n2600)n2n2600)2证明：左=ns00ssn00)2n2ns00ssn00)2=2(sin2co2)2=右边师（型（2）[例2](09考)蜂巢可以近似边蜂巢截面.有1个个图有7有9以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数.则f)=_____;f(n)_______.n n 07若 ， ， 则 4 ．[解析] ，n n 07若 ， ， 则 4 ．[解析] ， ， ， ， ， ，设 ,20001， =1[解析]f),f(2)1,f()162,f(4)1612187f(n)16286(n)n2n1关系【新题导练】1.(2008佛山二模文、)于于2的自数m的n次方幂有如下分解方：2213213523353791

421357433579根据上述分解规律，则5213579,若m3(mN*)的分解中是则m为___.[解析]m3的分解中，最小的数依次为，，，m2m1，…，由m2m173得m92.(208理数f(x)由义：x 2 5 3 1 4f(x) 1 2 3 4 5a5af(a)n0,1,2,L a0a51a2a1a4a2, aaaa40 1 2 3 4n4 n 2007 3：为型.(2008深研（（2（4含1个、5、3、5个第二十九届北京奥运会吉福第n个图形包含f(n)迎则f) ；f(n)f(n) 或n的解式示）[解析]f(),f(n)f(n)4(n)4.(2008模)f(x)sx,f(x)f(x,f(x)f'(x),L,f(x)f(x)nN,0 1 0 2 1 n1 n则f(x)=（）A.8n .s.n.cs[解]f(x)sx，f(x)nxf(x)sx，f(x)nx，f(x)sxf(x)f(x)f(x)f(x)s 3 4n4 n 2008 0题型2用类比推理猜想新的命题[例1](2008韶关调研切的3，把这个结论推广到空间正四面体，类似结论__.题从类手1 1 11 1 11， ，即1[解析的积即S2ah32a1 1 11 1 11， ，即1V3Sh43Srr4h即面内半高4师（比比（2集的性质向复圆等[例2]在ABC中,若C00则coAco2B1,你想【解题思路】考虑类斜空间[析],想“锥PABC中面PA,PB,PCA两两垂直，且与底角为,,则s2s2s21”证明设P在平面ABC的射影为O，延长O交AB于M，记POh由PCP,PCPB得PC面PAB，从而PCPM，又PMCconOhcoshcohPC PA PBV1PAPBPC1(1PAPBco1PBPCcos1PCPAcos)PABC 32 2 2(cocosco)h1s2s2s21PCPAPB【名师指引（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面等【新题导练】5.(2008文)个平面内有两个边长都是a的正方形一顶一中心，则这形面为a2．个4棱长为a的正方体，某个两个为 ．a3[解析化为86.(2008梅州一模知ABC的三边长为a,b,c，内切为r（用SABC示C积，则SABC2r(abc)；结棱锥AD的内为R，则三棱体积VABCD[解析]

1R(SSSS3C D D D.(208届拟)在平面直角坐标系中，直线一般方程为AxByC0，圆心在(x,y)的圆的一般方程为00bb5nac1S(xx)2(yy)2r2则类似的在空直角坐标系平面的一方程_bb5nac1S球心在(x,y,z)的_______.000[解析]xyzD0；(xx)2(yy)2(zz)2r20 0 0.对于数a,b,c和a,b,c都程111 222ax2bxc0和ax2bxc0在复数集上的解集分别是A和B“11c11 1 1 2 2 2 abc“AB”的充分必要．2 2 2式明．

是解（数a,b,c和a,b,c都是非零实数，不等式ax2bxc0和111 222 1 1 1ax2bxc0的解集分别是A和B，则“a11c1“AB”的既不充分也不必要2 2 2 abc2 2 2可以．.已起,，数，该．列： ；知列a且a2，公和为5，那么a的值为_____前n项n 1 18和S的式________________．n[解析]在一个数列中如果每项与它后一的和都同一个数，那这个数做等和列，这5n1,n为奇数个常数叫做该数列的公和；a3；S218 ny2,n为偶数考点2演绎推理题型:利用“三段论”进行推理[例1]07启东中学模拟）某校对文了a,b,c,d,e五个方面的多元评价指标，并通过经验样Sbde来各合，的过程中各项指标显示出0cdeba一加1得S增，指为 入a,b,c,d,e中的某个字母）【解思】从分式的性质找S值的变化规律[析]因a,b,c,d,e都为正数分大分越，S的值越加1，越，S的长多0cdeba，所以c大1个单得S的值多】此题的大到[例2]3上海）已知集合M是满足下列性质的函数(非零数T，意∈R，有(T)立.（1）函数(=x否合由；（2）数=（,且≠1）的图象与y=x的图象有公共点：(=∈；（3）数snk∈M,求实数k的取值范.【解】数()是否合M，要看(足合M的“定义，[解]1数，(=+,T()=T.因为对意∈R=Tx不，以(=xM.axrrrrrrr rr rrr（2）因数(=axrrrrrrr rr rrryax所以方：yx有去y得=,然0不程=x的解，所以存在数使=.于是于()x有f(xT)axTaTaxTaxf(x)故=∈.（3当k=0，(0，显然(0∈.当k0时为n∈数T意∈R有(+)T(立即sin(T=Tskx.因为≠且∈以k∈R+T∈，于是sinx∈－，(k+)∈－，，故要使sin(T)Tsx.，只有=1当T=1，s+)snx则2,m∈Z.当T－1，s(k－－nx，即s(k－)=sinx成，则－,mZ即－(－),Z.实数k的取值范{|=,∈}】学会题【新题导练】1.8义a*b量a和b度|a*b|a||b|n,中为向量a和b的夹角，若u(2,0),uv,3,则|u*uv)| .[解析]v,3),uv,3),nu,uv2|uu)2311.(2008深圳二模文)一个质点从A出发依次沿图中达B、C、D、E、F、G、H、I、J各点，最后到A（如图所示其：BC，B//D//F//G//J，C//E//G//I//A．此路少量n，则n（B）A．2B．3 C．4．5[解析需测量A,BC,H3条长1.(2008惠)文密文（加密由密文文a,b,c,d对应文ab,bc,2cd,4d明文1,2,3,4对应密文6．当接受方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ．A．，61，7 ．76，，4．4，17D．1，，7．

ab abcb4由2cd18得c1，选C4d16 d.对于任意两个对(a,b)和(c,d)：(a,b)(c,d)当ac,bd“：,),d)cd,cd)；运算“”为：,),d)a,bd)，设p,qR，若)(,))，则)(,)………（ ）A．(4,0) B．(2,0) ．(0,2) D．,)p2q5 p1解：由题意，2pq0解得12，所以正确答案为B．：已知数z满足1i)z5，则1i)z_________．★抢分频道★基础巩固训练1、对于集合A,B,算AB{x|xA且x}，则A(AB)=（）A.B B.A C.AB.AB[解析]D示法]2错误原因是A用理C使“论，大错误

B理D．“论，小错误[解析是选C3中2008学年度高三综合测试（三）给出下面题中Q为有理数集R为实，C为复数集：①“若a、bR则ab0ab”类比推出“a、cC,则ab0ab”若d数abicdiac,bd”类推出“a、b、c、dQ则ab2cd2ac,bd”若a、bR则ab0ab”类比推出若a、bC,则ab0ab”若xR则|x11x1”类比出若zC则|z11z1”的数有 （ ）A．1 B．2 C．3 D．4[析]类比①4、如图第n个图形＝３第－2形有 。f( )ynA B Chhha b c dllll1x1 x1 x1f( )ynA B Chhha b c dllll1x1 x1 x1x 1 x1aba(n2)2n2n23n2n25、如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x，x，…，x，f(x)f(x)f(x)xx 1 2 n都有 1 2n n 1 2n n.若 在区间,)上是凸函数，那么在C，nAnBnC的最值_____.[解析]

nAnBnC3nABC3n333 326、类比平面:“如果e,e是面内两个不共线的向量，那么对于平面内任一向量a，12一数,，使得aee空定：12 11 2[解析]如果e,e,e是空间三个不共面的向量，那么对于空间内任一向量a，有且只有一对实数,,，使得123 123aeee11 22 33综合提高训练7、(2008汕设P是C，C三边上高分为h、h、h，P到A B C的为l、l、l，有lablc_设Pa b c hhhD是h、h、h、hP到这四个面的距离依次是l、A B C D al、l、l，则b c d[解析法，lablc有hhhh1A B C A B C D8、(2008惠州一模设fx1x，记1xfx,fk1xffkx,k,2,L,则fx（）8A．1x； B．x1； C．x； ．1；[解析]C 1(x)1x，f2(x)x，f3(x)x1，f4(x)xfn4(x)fn(x)f(x)f(x)x8 49（列，bn n

aaa1 2 nn

（nN，证：；n2212a2 2bnd：n，d22 22 22 2 4 2212212a2 2bnd：n，d22 22 22 2 4 2211 1 12 211[解析（）n 1nnaan，n1nan1an，n等数n1an1and常以n等列；（2）若c比，cn n列

0（nN*，dn

cc1 2

c则比n ndnn(1cn)2

ccdn11n dn

cn1cn

q为常数，为等比数列n10、合M数yf(x(xD)意x,y,xyD满足f(xy)1f(x)f(y]当xy成。（1）在0∞函数f(x)∈M，较f)f)与2f(4)小.（2）数g(x)－x证)∈M.[](1)于f(xy)1f(x)f(y]令xy5得ff)<2f(4)2)g(xx2)1[g(xg(2(xx2)2x2x2g(xx2)1[g(xg(2)以g(x)∈M

(xx)2142

0直接证明与间接证明★知识梳理★明与：.过论要明。.分，。.假立,理,盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1)假设的成；2)假理止()断言假设(4)肯立★重难点突破★能种问学题难点：运用三种方法提高分析问题和解决问题的能力重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并问题.法①一般地，结论中出现“至多“至少“唯一”等词语，或否定性命题，或要讨论的情况很复杂的，可以考虑用反证法②一般地，含分式、根式的不等式，或从条件出发思路不明显的命题，可以考虑用③有向综法1 1 11 22 2222 22 2问题数x,y(x1 1 11 22 2222 22 2用明2.比较复杂的命题，有。★热点考点题型探析★考点1综法题型：用综合法证明数学命题[例1]莞2007—8学年度第一学期)对于定义域为数f(x)果时足下条①对意的x有f(x)0②f)1若x,x,xx1有f(xx)1 2 1 2 1 2函．

f(x)f(x)立数f(x)理1 2)数f(x)求f)的值；()判函数g(x)2x1（x[]）否为理想函数；【解题思路】证明函数g(x)2x1（x[]）满足条件[解析（）取1x20可得f(0)f(0)f(0)f(0)0．又由条件①f(0)0，故f(0)0．（2）然g(x)2x1在[，1①g(x)0；也满足②g)1．若10，x20，x1x21，则g(xx)[g(x)g(x]2xx1 2 1 2

1(21)(2x2]21x2212x21(2x2(21)0即，故g(x)函数．引验证【新题导练】1.(2008年佛)明:若a,b0则gabgagb[析当a,b0，abab，边对，得gabgab，又gabgabgagb当a,b0时gabgagb.形ABC求:ABnCsAsBs 4234231 21n nn4232 4234231 21n nn42322 211 1ynx在(0,2)增nA(B)cosB理得BcosC，nCcosAAnBnCcosAcosBcosC..列a}：12、112、111222、……、111222 …,证明这个数列中n 个 个 n n一两整.[析]an90n)0n90n)90n)0n) (101)(101)记A=101,a=A(+)n

则A=333为整数n个，证点2分法题型：用分析法证明数学命题[例2]知ab0,证abab[析]证abab，只需证(ab)2(ab)2即ab2abab，只需证bab，即证b显然ba立，此abab成立【名师指引的要-证--所-”【新题导练】4.若abcd0且adbc，求证：dabc[解析证dabc，只需证(da)2(bc)2即ad2adbc2bc，因adbc，只需证adbc即dc，设adbct则adctd)d(tc)c(cd)cdt)0dc成立，从而dabc成立5.知a,bR,ab1，求证：(a2)2b2)225[解](a2)2(b2)225a2b24(ab)825a2b22a21a)22(a2)20，12x2000x211 1 111 11 111 11bac1 1c(a2)2012x2000x211 1 111 11 111 11bac1 1c[例3]知f(x)axx1(a)，证明方程f(x)0没负数根题正反方从找盾[解]设x是f(x)0则x0且x1且ax0 0 0

x2x100ax010x11，得202与00矛盾，0程f(x)0没根否破反多【新题导练】6.（8西5校联考）某个命题与正整数n有关，若nk(kN*)时得nk1时该，当n5该，得A.当n6时立.当n4不立

.当n6立D.当n4时，该命题立[解析，可证当n4时，该命题不成立7.设、、c都则ab、bc、ca数A.都大于2 B.于2 C.至少有一个大于2D.于2[解析]a,b,c,0ababca6，举反可除A、B、选D.知ab、c成等差d0，求：a、b、c不可能成等数列[解析abc成等bac设a、b、c成则211(ac)24ac(ac)20ac从而d0与d0矛盾a、b、1能列.（学29届）仅：x 3x2ab

5 8ac3ac

9 54ababc1为 =[解析g2g3以3和9若gabc1则gac而g1g)即g3ac，矛盾。22a1故5为gab22a1★抢分频道★巩练1.（208年华师附中）反证法证明命题于60”，假（）.三于60 B.于60.于600 D.三个内角于60[解]B.知p3q32于pq范确（）.不大于22 B于2 C.于2 D于22[解析]B.（）.形 .直形 C.钝角三形 D.不能确定[解析]B.要等式67225，：[解析](67)2(225)2.知a22a22与22的大是[解析]a22a2222（注意）式]6.(07年问)已数列n满足a5,a25，an1an6an1(n)．：n2n数；[析由a＝a＋aa＋a＝3aa)(n≥2)＋1 n n－1 n＋1 n n n－1a5，a＝5 ∴a＋2a＝51 2 2 1列a＋a}以5为首，3为列n＋1 n提练.（学29届高三期中考有且只有两个是错误的：x 15 3 5x3a-b+c2abac

61-c

83(-a-c）

9 12(-)1-a+2b指两误 如lg20≠＋bc的）[解析]若g2ab错误，则g2(2ab)也错误，反之亦然，此时其他对数值都正确，但g5g14abg9gab、g(2ab)且gabc，若gac则g1g3g1abc也错误，5ac正确若g1abc错误，也能导出gac错误，g1abc正确，21∴21xxx2x 01 x，g21∴21xxx2x 01 x，上g1.5abc，g121ab.设函数f(x)a2xa2为函数.x）数a；（Ⅱ）用定义法判断f(x)在其定义域上为增函数[解析]（Ⅰ）依题意，函数f(x)的定义域为R∵f(x)是奇函数∴f(x)f(x)a2xa2a2xa22x1 2x1∴2(a(2x)0a1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)2x1设xx且x,xR，则1 2 12f(x)f(x)2 12x22x2

1211121112x2112112(2x221)(2x2)(21)∴f(x)f(x)2 1∴f(x)在R上是增函数.已知f(x)nx：f1x)x(x)[析]即证：(x)x0设k(x)(x)x,则k(x)x11x1.当（1，，0∴)为单调递增函数；当（，0∴)为单调递减函数；∴0为k()，∴k(≤.即(x)x0f1x)x(x).已知函数y|x|1，yx22x2t

y1(x1t)(x)2 x

的最小值恰好是方程1 111121∴11 11x3ax2bxc1 111121∴11 11[解析函小为1，1t，1t，由f)0得cab1∴f(x)x3ax2bxcx3ax2bx(ab)(x1)[x2(a)x(ab]，程x2(a)x(ab)0的两是1t，1t．故1t1t(a，1t1tab1．(1t1t)2(a)2，即2(ab)(a)2∴a2b3．参考例题：1.设a,b且a,b平行，求证ab，ab不平行[解析设ab(ab)则1)a1)b0，a,b不平行10，组假立题立.知且n21，函数f(x)x2nxsin(4)，数{an项12,an1

f(a).n⑴求函数f(x)；⑵求证：an1an；⑶求证：11112(n2,nN*)1 2 n[解析]⑴n1n

2(2)1(2)2

1又∵为角∴4 ∴si(4)1 f(x)x2x⑵

aa2an1 n n

∵2 ∴a2,a3,an都大于0∴a20n

aan1 n⑶

1an

a2aa1a)a1n n n n n n1∴11 1 1∴11 1 33 3∴11 1an1 131 111 111 1

11aan n11 11a1a1 2

1n

111111aaa aa1 2 2 3 n n11121a a1 n1 n1∵a2(2)224,a3(4)241,∵n2

aan1 naa1n1 3

∴12a12n1∴11a1a1a21 2 n数学归纳法★知识梳理★1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设)可.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、性何等★重难点突破★个数单题难点：对不同类型从k到k+1的递推数正法典型例题分析1.用数学归纳法证明1aa2an11a2(a,nN)，在验证n=1时的子（）A.1 B.1 C.1aa2 D.1aa2a4[解析]n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边是1a，故选B2.用数学归纳法证明不等式n1n2nn24由k到1时左增的子是[解析]求f(k)f(k)即可当n=k时边k1k2kk，1时，左边k2k3(k)(k),1 1 11111221111 1 1 11 1 11 111 11 1 1 11 1 11111221111 1 1 11 1 11 111 11 1 1 1 11 1 11 1 1 1 1 11 1 11 1 1 1215 a51数学归纳法的应用题型）[例2]式1223n(n)2(n)2[解析（当n=1时，=2，右2立（2）当n=k时等式成立，即1223k(k)2(k)2则1223k(k(k)k2)2(k)2(k)k)2(k)2(k(k2)(k2)2(k(k2)(k)(k2)01223k(k)(k)k2)2[k)2当n=k+1，立（12立师（法须；（2）归纳递推；（3由k推导到k1纳”面【新题导练】3.用数：12342n12nn1n22n[解析]（当1时，左=122=右式立（2）当n=k时等式成立，即12342k12kk1k22k则12342k12k(2k12k2)k1k2k(2k12k2)k22k2k12k2当n=k+1时，等立（12立4.数列{an}中，a2,an1(an)n

(nN)，用数学归纳法证明：a2(nN)n[解析](1)当n=1,a22,立（2）当n=k时等式成立，即a2(kN)，k2a2k(a)12b11a312121212 1212111 则ak2a2k(a)12b11a312121212 1212111 当n=k+1，立（12立题型2题[例3]数b、c式12222n(n)2n(n)(an2bnc)对一切正整数n都成立？证明你的结论【解题思路】从特殊入手，探求ab、c的有3个取n=1,2,3,列方程组求得，然后用法切nN都立abc24解]把n=1,2,3代入得方程组4abc44，得 ，9abc70 c10猜想：等式122232n(n)2n(n)(n21n10)对一切nN立下面用法1当n=1时，由上面的探求可知等式成立（2）假设n=k时等式即122232k(k)2k(k)k21k10)则122232k(k)2(k)k2)2k(k)(k21k10)(k)k2)2k(k)(k)k2)(k)k2)2(k)(k2)[k(k)12(k2)](k)k2)[(k)21(k)10]所以当n=k1时，等式也立综合（12对nN等式都立思式【新题导练】5.在数列{an}中，atanx,an11an，n（1）写出a,a2,a3（2）求数列{an}的通项公式[解析]1tanx,a2tan(4x)，a2tan(2x)想antan[n)4x]下面用法1当n=1时，由上面的探求可知猜想成立（2）假设n=k时猜想即aktan[k)4x]则4a4k1 k则4a4k1 k1k11116k

1k)x] k x]1k4x]所以当n=k1时，猜想也立综合（12对nN猜想都立★抢分频道★基础巩固训练1明(n(n2)(nn)2n13(2n(nN)，从“k