2023学年完整公开课版菱形的判定

复习与回顾：想一想：1.菱形、矩形的定义？2.它们分别比平行四边形多了哪些性质？3.怎样判定一个四边形是矩形？

矩形与菱形

矩形

菱形定义有一角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.平行四边形的性质性质边角对角线四个角都是直角相等互相垂直且平分每一组对角判定有一角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形三个角都是直角的四边形四条边都相等菱形的判定想一想

同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？一组邻边相等的平行四边形是菱形.根据定义得：ABCD还有什么方法吗?探究一

用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.ABCD已知：在中，AC⊥BDABCDABCD求证：是菱形证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC又∵AC⊥BD;∴BA=BC∴ABCD是菱形O如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6求证:四边形ABCD是菱形.ABCDO∴四边形ABCD是菱形.∴OA=OC=4OB=OD=3证明:∵AB=5∴∴AC⊥BD∴∠AOB=∵四边形ABCD是平行四边形（1）∵四边形ABCD是平行四边形应用新知(平行四边形的对角线互相平分)(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？你根据什么方法能判定是菱形吗？有四条边相等的四边形是菱形。ABCDO∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形.探究二归纳菱形常用的判定方法：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.有四条边相等的四边形是菱形.

1.判断下列说法是否正确？为什么？(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．√

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做一做2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，

（1）若AB=AD，则□ABCD是

形；

（2）若AC=BD，则□ABCD是

形；

（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是

形；

（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是

形。ABCDO菱矩矩菱做一做3.下列命题中正确的是（）A.一组邻边相等的四边形是菱形B.三条边相等的四边形是菱形C.四条边相等的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是菱形C4.对角线互相垂直且平分的四边形是（）A.矩形B.一般的平行四边形C.菱形D.以上都不对C5.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A.AC⊥BD,AC与BD互相平分B.AB=BC=CD=DAC.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BDD.AB=CD,AD=BC,AC⊥BDC做一做请你动脑筋把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？ACDB思考:DCBA一组邻边相等对角线互相垂直四条边相等五种判定方法四边形平行四边形菱形菱形的判定方法：小结：1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由。习题巩固：ABCDEF123四边形AEDF是菱形理由：∵DE∥ACDF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∵DE∥AC∴∠2=∠3∵AD是△ABC的角平分线∴∠1=∠2∴AE=DE∴□AEDF是菱形已知如图，AD是的角平分线，DE∥AC，DF∥AB.

证明：四边形AEDF是菱形。

对于这道，小林是这样证明的。

证明：∵AD平分，∴∠1＝∠2,∵DE∥AC，∴∠2＝∠3∵DF∥AB，∴∠1＝∠4又有AD=AD,∴△AED≌△AFD.∴AE＝AF,DE=DF.∴四边形AEDF是菱形.

老师说小林的解题过程有错误，你能看出来吗？

⑴请你帮小林指出他的错误是什么？（先在解答过程中划出来，再说明他错误的原因）

⑵请你帮小林做出正确的解答。ABCDOE2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形BCADOEMN如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。ABCDEF如下图在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于C，EF⊥BC于F，四边形AEFG是菱形吗?2.如图，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，且AE=AB=BF，证明:CE⊥DF.ABFNDMEC习题巩固：边：角：对角线：四边相等对角线平分一组对角对角线互相垂直平分菱形的性质有：1.两条对角线互相平分2.四条边都相等3.每条对角线平分一组对角判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形∵ABCDAB=BC∴四边形ABCD是菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形∵ABCDAC⊥BD∴四边形ABCD是菱形ABCDO判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形∵AB=BC=CD=AD∴四边形ABCD是菱形判定定理4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形∵AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC∴四边形ABCD是菱形问：如何证明判定定理2和判定定理3呢？已知ABCD中，对角线AC、BD互相垂直，求证：四边形ABCD是菱形．证明：在中，OA＝OC（①）．又∵AC⊥BD，∴BD所在直线是线段AC的垂直平分线，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形（②）．ABCD例已知:矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证:四边形AFCE是菱形证明 ∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥FC（①）∴∠1＝∠2．（②）∵EF平分AC，∴AO＝OC．又∵∠AOE＝∠COF＝90°，∴△AOE≌△COF（③），∴EO＝FO，∴四边形AFCE是平行四边形（④）又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形（⑤）已知：AB=BC=CD=DA求证：四边形ABCD是菱形ABCD∵AB=CD,BC=AD∴四边形ABCD是平行四边形∵AB=CD∴四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）拓展由菱形的性质：“每条对角线平分一组对角”，我们还可以得到判定菱形的方法：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．对此感兴趣的同学，可以试着用逻辑推理的方法进行证明．菱形的证明方法判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形判定定理4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形P116练习1．证明：四条边都相等的四边形是菱形．2．将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？说说你的理由.见前面解：是菱形，因为这个四边形的对角线相互垂直平分行。练习1、下列说法正确的是（）A、邻角相等的四边形是菱形B、有一组邻边相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的四边形是菱形D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D2、如图，在四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，且AO=3，BO=4，AB=5。求证：四边形ABCD是菱形。ABCDO证明：∵AO=3，BO=4，AB=5∴AB2=AO2+BO2∴△OAB是直角三角形∴AC⊥BD又∵四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)3.判断对错：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。（）（2）对角线垂直且平分的四边形是菱形。（）（3）对角线垂直的矩形是菱形。（）（4）对角线垂直且相等的四边形是菱形。（）（5）有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。（）ABCDP116习题20.31．如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.求证四边形AEDF是菱形.证明：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F∴四边形AEDF是平行四边形且∠EDA=∠DAF∵AD是△ABC的一条角平分线∴∠EAD=∠DAF∴∠EDA=∠EAD∴EA=ED（等角对等边）∴四边形AEDF是菱形.(有一组邻边相等的平行四边形是菱形）2．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DG⊥AB于G，EK⊥AB于K，GH⊥AC于H，EK和GH相交于点F．求证：四边形DEFG是菱形．证明：∵DE⊥AC于E，GH⊥AC于H∴DE∥GH∵DG⊥AB于G,EK⊥AB于K∴DG∥EK∴四边形DEFG是平行四边形∵AB＝AC∴∠B=∠C∵点D是BC的中点∴