国开电大-工程数学(本)-工程数学第4次作业-形考答案

工程数学（本）形成性考核作业4综合练习书面作业（线性代数部分）一、解答题（每小题10分,共80分）1-212,B=311310I.设矩阵A,已知XA=B,求一、解答题（每小题10分,共80分）1-212,B=311310I.设矩阵A,已知XA=B,求X.解：由XA=B知，XAAl=BAx,则X=R4」fl_0122131 14,B=-3562-112.设矩阵A=01210011401O'因为1140100121002-110010-3-70-21102-1101005-3201200—*0107-4200-13-21..001-32-1,解矩阵方程AX=B'解:5得A」=7-322

-1.5-32ip-313-18所以X=A'B'=7-425=16-29-32-11L6-7133.解矩阵方程AX-X=B,其中A=解：由AX-X=B可得U-l）X=B由已知条件可得A-l=g 利用初等行变换可得z国驾；貫_[150-120751_ri0-8"o1 53「lo15501F152503」10-15]-3)50

-53.因此，（AT） 于是由矩阵乘法可得X=(A-1)1B=|~8X]-X2+3工3-x4=0求齐次线性方程组＜2也-易一七+4凡=0的通解.X,-4xj+5x4=0解：将齐次线性方程组的系数矩阵转化为阶梯形方程组的-般解为｛:;I芸二鷲:（其中W4是自由未知量）令工3=1，乂4=0，得相应的解向量为：X/=[4710]令x3=0,乂4=1，得相应的解向量为：X2=[-5-601]于是，僞，为｝即为方程组的一个基础解系方程组的通解为k.X.+k2X2（其中妇，短为任意常数）求齐次线性方程组一3x2+x3-2x4=0-5%]+x2-2x3+3x4=0-X|-1lx2+2x3-5x4=03x)+5x2 +4x4=0的通解.解：将齐次线性方程组的系数矩阵转化为阶梯形■1-31-21-31-21-310-人=-51-23—►0-143-7―>0-1140-1-112-50-143-70000-3504.014-310.-00()I」1400 000 001400 000 00001（Xr=-三X3方程组的一般解为，、2=!；3（其中为自由未知量）\X4=°令x3=L得方程组的一个基础解系-土土1]于是，方程组的通解为kX/（其中k为任意常数）当人取何值时，齐次线性方程组%,+2x2+x3=04工]+5x2+A,x3=03x,+lx2+2x3=0有非零解？在有非零解的情况下求方程组的通解.解：将齐次线性方程组的系数矩阵转化为阶梯形12112 110 3人=45A―►0-3A-4—►()1-1372..011..00A-7.故当2=7时，方程组有非零解。方程组的一般解为。"=二：*3（其中为自由未知量）I^2—X3令X3=\,得方程组的一个基础解系X,=[-311]'于是，方程组的通解为kX/（其中k为任意常数）当人取何值时，非齐次线性方程组吒+X,4-X3=1—x,+2x,—4x3=22Xj+5x2-xy=A有解？在有解的情况下求方程组的通解.解：将齐次线性方程组的系数矩阵转化为阶梯形

11111111ri111B=-12-42―►0111011125-1/L03-3A-2.000A-5.因R(A)=2,故当R(B)=2时，即当久=5时，方程组有无穷多解11111020B=01-1101-1100000000.选'3为自由未知数’得解方程噬二刍x2=c-21+01x3..10.即(CER)x}—2x2+4x3——58.求线性方程组8.求线性方程组3xf+8x2-2x3=134x,_%2+9x3=-61-24-511-24-51-24-51-24-5231407-714 ►01-1238-213014-142800004-19-6.07-714.0000解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形02

-100-1'200.(其中为自由元)方程组的一般解为1(其中为自由元)令乂3=0,得方程组的一个特征解Xo=(・l,2,O)'不计最后一列，》3=1，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系X/=(-2,l,l)・于是，方程组的通解为：X=Xo+成(其中k是任意常数)二、证明题(每题10分，共20分)1.对任意方阵A,试证A+/V是对称矩阵.证明：由已知条件和对称矩阵性质(A+A')'=A'+(A')