2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第02讲平面向量的分解及坐标运算含解析

Page1第02讲平面向量的分解及坐标运算一、知识与方法1平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理:若是同一平面内的两个不共线向量,则对于这一平面内的任意向量,存在唯一一对实数,使,其中,不共线的向量叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底,对于平面内的一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,使,这样,平面内的任一向量都可以由唯一确定,把有序数对叫作向量的坐标,记作,其中叫作在轴上的坐标,叫作在轴上的坐标.2平面向量的坐标运算(1)加法:若,则.(2)减法:若,则.(3)实数与向量的乘法:若,则.(4)向量模的求法:若,则.(5)向量坐标的求法：1）若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.2）设,则3平面向量共线的坐标表示设,其中,则.二、典型例题【例1】如图所示,在中, 表示.【分析】本例具有探索的特点,即通过三点共线,利用平面向量的分解定理求解.这里三点共线与三点共线是解题的核心条件,为此增加辅助量与,即设,则问题必然轻松获解.【解析】由已知得,设,则,而 即,同理,设.则即.所以有,由与是不共线向量,得解得.【例2】(1)已知点.试用向量方法求与的交点的坐标.(2)已知.若与平行,求实数的值;(3)设.在线段上是否存在点,使(4)已知,且,求的坐标.【分析】对于,解题的关键是运用三点共线的充要条件,可以巧妙地引入双参数和解之,也可利用三点共线直接运算,但不引入参数,此时思路简单,运算量却较大.对于,运用两个向量平行的充要条件,在直角坐标系下表现为对应坐标成比例.对于(3),抓住两向量共线的充要条件与两向量垂直的充要条件.对于,由得两个等式,解方程组求得,再利用条件求得.【解析】（1）【解法1】设 【解法2】设(3)设,则,即.(4)设,由得:,又,得.而,(2)联立(1)(2),解方程组得:,即.故.三、易错警示【例1】已知,若是平行四边形的3个顶点,求第四个顶点的坐标.错解:设点的坐标为,则,又知,则因此所求的点的坐标为.【评析及正解】点的坐标有可能是,但上述解法是不完整的.因为题中并末标明平行四边形,这是一种思维定势在作怪.所以在解答中要根据定.点的顺序分类讨论,即平行四边形或平行四边形或平行四边形,有3种可能的情况.正确的解法如下：【解析】设点的坐标为,则.如图所示,当四边形为平行四边形时,有,则解得因此所求的点的坐标为.如图所示,当四边形为平行四边形时,.有,则解得因此所求的点的坐标为.如图所示,当四边形为平行四边形时,.有,则解得因此所求的点的坐标为.综上所述,所求的点的坐标为或.【例2】如图所示,已知三定点、;三动点满足(1)求动直线斜率的变化范围;（2）求动点的轨迹方程.【错解】(1)略.(2),,即.即所求轨迹方程为.评析及正解上述解法中消参(元)意识不强,含参数问题一般都要注意变量的范围,而错解没有注意范围的限定.正确的解法如下：【解析】(1)设【评析及正解】上述解法中消参(元)意识不强,含参数问题一般都要注意变量的范围,而错解没有注意范围的限定.正确的解法如下：【解析】(1)设由,可知,,同理(2)【解法1】 【解法2】四、难题攻略【例】已知正方形的边长为1,当每个)取遍时,的最小值是.最大值是.【分析】本题考查平面向量的模,可以适当建立平面直角坐标系,将几何问题代数化,运用坐标的不同取值求解,也可以求模后结合配方法讨论其最值或利用绝对值不等式的性质求解.【解析】【解法1】以点为原点,所在直线分别为轴、y轴建立平面直角坐标系,因为正方形的边长为1,则,则则则当时，取得最小值0当时,同理可讨论的另外3种情况,都有的最大值为【解法2】记则令,则当时,,解法三记,则因此,即(两边等号均能取到).五、强化训练1.(1)设是坐标原点,为何值时,三点共线?(2)已知,其中,求的取值范围及取得最大值时的值.【解析】.(1)由,可得.三点共线的条件是共线,共线的条件是,解得或.当或时,三点共线.(2),..当时,即