2022-2023学年浙江省杭州市浦沿中学高一数学文下学期期末试题含解析

2022-2023学年浙江省杭州市浦沿中学高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，定义域为,值域是,则下列正确命题的序号是（

）A．无最小值，且最大值是；B．无最大值，且最小值是；C．最小值是，且最大值是；D．最小值是；且最大值是．参考答案：C略2.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直棱柱成为“堑堵”.某个“堑堵”的高为2，且该“堑堵”的外接球表面积为12π，则该“堑堵”的表面积的最大值为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】设底面直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,求出，再利用基本不等式求出a+b的范围，利用二次函数的图象得解.【详解】设底面直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,由题得.由题得该“堑堵”的表面积为.因为.所以令，所以当t=4时，S最大为.故选：B【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足,若对任意正整数,都有,则k的值为(

)A．1007

B．1008

C.1009

D．1010参考答案：C等差数列的前n项为，且满足，，，所以前n项和为中，最大，对任意正整数n，，则，故选C.

4.（5分）设a，b∈R集合{a，1}={0，a+b}，则b﹣a=（） A． 1 B． ﹣1 C． 2 D． ﹣2参考答案：A考点： 集合的相等．专题： 集合．分析： 根据集合{a，1}={0，a+b}，可得a=0，a+b=1，解得即可．解答： ∵集合{a，1}={0，a+b}，∴a=0，a+b=1，解得a=0，b=1．∴b﹣a=1．故选：A．点评： 本题考查了集合的性质、相等，属于基础题．5.下列函数中，在区间上为减函数的是A．

B．

C．

D．参考答案：B6.设函数，则以下结论正确的是（

）A.函数在上单调递增B.函数上单调递减C.函数在上单调递减D.函数在上单调递增参考答案：D【分析】求出的单调区间，再判断各选项x的取值范围是否在函数单调区间上.【详解】令，解得，，在区间上是增函数.故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图像和性质，熟练掌握正弦函数的单调性是解题的关键..7.设集合，则M∩N的所有子集个数为（）A.3 B.4 C.7 D.8参考答案：B8.设集合M={α|α=kπ±，k∈Z}，N={α|α=kπ+(－1)k，k∈Z}那么下列结论中正确的是

（

）A．M=N

B．MN

C．NM

D．MN且NM参考答案：C9.设集合U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，集合B={﹣3，﹣4，0}则（?UA）∩B=（）A．{﹣3，﹣4} B．{﹣1，﹣2} C．{0} D．?参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，集合B={﹣3，﹣4，0}，∴?UA={﹣3，﹣4}，∴（?UA）∩B={﹣3，﹣4}．故选：A．10.设集合A={0，1，2，3}，B={1，2，3，4}，则集合A∩B的真子集的个数为（）A.32个

B.

16个

C.

8个

D.7个参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式的解集是__________．参考答案：，∴，∴，∴解集为．12.不等式|2x－7|<3的解为____________。参考答案：2<x<5略13.若把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象关于原点对称，则的最小正值是 参考答案：14.已知数列满足：，若，且数列{bn}是单调递增数列,则实数的取值范围为

参考答案：

(－∞,2)15.集合{0，2，4}的真子集个数为个．参考答案：7【考点】子集与真子集．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】根据题意，集合{0，2，4}中有3个元素，由集合的子集与元素数目的关系，计算可得答案．【解答】解：集合{0，2，4}中有3个元素，有23=8个子集，有23﹣1=7个真子集；故答案为：7．【点评】本题考查集合的元素数目与子集数目的关系，若集合中有n个元素，则其有2n个子集．16.图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的（

）[K]

参考答案：A17.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线与直线所成的角为

▲

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知∈（0，），且,

求的值．参考答案：略19.如图(1)所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD(图(2))．

(1)求证：AP∥平面EFG；(2)在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，试给出证明．参考答案：(1)证明∵E、F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD∥AB.又EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB.同理：EG∥平面PAB.∴平面EFG∥平面PAB.又∵AP?平面PAB，∴AP∥平面EFG.(2)解取PB的中点Q，连结AQ，QD，则PC⊥平面ADQ.证明如下：连结DE，EQ，∵E、Q分别是PC、PB的中点，∴EQ∥BC∥AD.∵平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥DC，∴PD⊥平面ABCD.∴PD⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面PDC.∴AD⊥PC.在△PDC中，PD＝CD，E是PC的中点．∴DE⊥PC，∴PC⊥平面ADEQ，即PC⊥平面ADQ.20.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面为菱形，B1C的中点为O，且平面．(1)证明：；(2)若，，，试画出二面角的平面角，并求它的余弦值．参考答案：(1)见证明；(2)二面角图见解析；【分析】（1）由菱形的性质得出，由平面，得出，再利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，于是得出；（2）过点在平面内作，垂足为点，连接，可证出平面，于是找出二面角的平面角为，并计算出的三边边长，利用锐角三角函数计算出，即为所求答案。【详解】（1）连接，因为侧面为菱形，所以，且与相交于点．因为平面，平面，所以．又，所以平面因为平面，所以．（2）作，垂足为，连结，因为，，，

所以平面，又平面，所以.

所以是二面角平面角.因为，所以为等边三角形，又，所以，所以.因为，所以.所以.在中，.【点睛】本题考查直线与直线垂直的证明，二面角的求解，在这些问题的处理中，主要找出一些垂直关系，二面角的求解一般有以下几种方法：①定义法；②三垂线法；③垂面法；④射影面积法；⑤空间向量法。在求解时，可以灵活利用这些方法去处理。21.（12分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（，3）．若函数f（x）=2sinα?cos2ωx+4cosα?sinωx?cosωx的图象关于直线x=对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．（1）求f（x）的表达式及其最小正周期；（2）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+）=g（x），且当x∈时，g（x）=﹣h（x），求函数g（x）在上的解析式．（3）设（2）中所求得函数g（x），可使不等式g2（x）+4g（x）﹣a≥2x对任意x∈恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：考点： 三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题： 综合题；函数的性质及应用．分析： （1）依题意，可求得f（x）=2sin（2ωx+），y=f（x）的图象关于直线x=对称?f（0）=f（π）?sin（2πω+）=，而ω∈（0，1），可求得ω=，从而可得f（x）的表达式及其最小正周期；（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得h（x）=2sin（2x﹣），易知g（x）是以为周期的函数，从而由当x∈时，g（x）=﹣h（x），即可求得函数g（x）在上的解析式；（3）令h（x）=2x，不等式g2（x）+4g（x）﹣a≥2x对任意x∈恒成立?g2（x）+4g（x）﹣a≥h（x）max=h（0）=1恒成立，转化为a≤g2（x）+4g（x）﹣1（g（x）∈）恒成立，从而可求得实数a的取值范围．解答： （1）依题意知，sinα==，cosα=，∴f（x）=2sinα?cos2ωx+4cosα?sinωx?cosωx=cos2ωx+sin2ωx=2（cos2ωx+sin2ωx）=2sin（2ωx+），又y=f（x）的图象关于直线x=对称，∴f（0）=f（π），即2×=2sin（2πω+），∴sin（2πω+）=，∵ω∈（0，1），∴＜2πω+＜，∴2πω+=，解得：ω=，∴f（x）=2sin（x+），T=6π；（2）将f（x）=2sin（x+）图象上各点的横坐标变为原来的，得到y=2sin（2x+）的图象，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）=2sin=2sin（2x﹣），∵函数g（x）对任意x∈R，有g（x+）=g（x），∴g（x）是以为周期的函数，又当x∈时，g（x）=﹣h（x）=﹣2sin（2x﹣），∴当x∈时，x+∈，g（x）=g（x+）=﹣2sin=﹣2sin（2x+）；当x∈∈时，x+π∈，g（x）=g（x+π）=﹣2sin=﹣2sin（2x﹣），∴g（x）=；（3）令h（x）=2x，则h（x）=2x为增函数，∴当x∈时，h（x）max=h（0）=1，∴不等式g2（x）+4g（x）﹣a≥2x对任意x∈恒成立?g2（x）+4g（x）﹣a≥h（x）max=h（0）=1恒成立，∴a≤g2（x）+4g（x）﹣1．∵当x∈时，g（x）=﹣2sin（2x+），由2x+∈知，≤2sin（2x+）≤2，﹣≤﹣2sin（2x+）≤﹣，即x∈时，g（x）=﹣2sin（2x+）∈，令t=g（x）=﹣2sin（2x+），则t∈，∴a≤g2（x）+4g（x）﹣1转化为：a≤t2+4t﹣1=（t+2）2﹣5（t∈）恒成立；令k（t）=（t+2）2﹣5（t∈），则k（t）=（t+2）2﹣5在区间上单调递增，∴k（t）min=k（﹣）=﹣．∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣]．点评： 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查函数的周期性与单调性，考查函数解析式的确定与函数恒成立问题，考查抽象思维与综合应用能力，属于难题．22.已知全集U=R，集合A={x|2x+a＞0}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}．（Ⅰ）当a=2时，求集合A∩B；（Ⅱ）若A∩（?UB）=?，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】（Ⅰ）当a=2时，求出集合A，利用集合的基本运算求A∩B．（Ⅱ）求出?UB，然