江苏省连云港市东海县2024学年高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

江苏省连云港市东海县2024学年高二数学第一学期期末综合测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数单调减区间是（）A. B.C.和 D.2．已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（）A. B.C. D.13．椭圆中以点为中点的弦所在直线斜率为（）A. B.C. D.4．若且，则下列选项中正确的是（）A B.C. D.5．下列有关命题的表述中，正确的是（）A.命题“若是偶数，则，都是偶数”的否命题是假命题B.命题“若为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题C.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”D.若命题“”，“”均为假命题，则，均为假命题6．已知直线和直线互相垂直，则等于（）A.2 B.C.0 D.7．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是A. B.C. D.8．已知平面法向量为，，则直线与平面的位置关系为A. B.C.与相交但不垂直 D.9．对于两个平面、，“内有无数多个点到的距离相等”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．已知双曲线的焦点为，，其渐近线上横坐标为的点满足，则（）A. B.C.2 D.411．数列满足且，则的值是（）A.1 B.4C.－3 D.612．已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（）A.6 B.7C. D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图是用斜二测画法画出水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为______.14．已知函数，若有两个零点，则的范围是______15．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为________16．若，，，，与，，，，，，均为等差数列，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点求证：（1）共面；（2）求证：18．（12分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，，求证：；（3）当时，恒成立，求的取值范围19．（12分）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，成等比数列且满足________.请在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20．（12分）已知某学校的初中、高中年级的在校学生人数之比为9：11，该校为了解学生的课下做作业时间，用分层抽样的方法在初中、高中年级的在校学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：（1）在抽取的100名学生中，初中、高中年级各抽取的人数是多少？（2）根据频率分布直方图，估计学生做作业时间的中位数和平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）另据调查，这100人中做作业时间超过4小时的人中2人来自初中年级，3人来自高中年级，从中任选2人，恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率是多少21．（12分）中，内角、、所对的边为、、，.（1）求角的大小；（2）若、、成等差数列，且，求边长的值.22．（10分）各项都为正数的数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）设，数列的前项和为，求使成立的的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】根据函数求导，然后由求解.【题目详解】因为函数，所以，由，解得，所以函数的单调递减区间是，故选：B2、B【解题分析】直接由点面距离的向量公式就可求出【题目详解】∵，∴，又平面的一个法向量为，∴点A到平面的距离为故选：B3、A【解题分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率【题目详解】设弦的两端点为，，代入椭圆得两式相减得，即，即，即，即，弦所在的直线的斜率为，故选:A4、C【解题分析】对于A，作商比较，对于B，利用基本不等式的推广式判断，对于C，利用在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积判断，对于D，利用放缩法判断【题目详解】，故错误；，故错误；在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积（必修三阅读材料割圆术），则，故正确；，故错误故选：C【题目点拨】关键点点睛：此题考查不等式的综合应用，考查基本不等式的推广式的应用，考查放缩法的应用，对于C项解题的关键是利用了在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积求解，考查数学转化思想，属于难题5、C【解题分析】对于选项A：根据偶数性质即可判断；对于选项B：通过举例即可判断，对于选项C：利用逆否命题的概念即可判断；对于选项D：根据且、或和非的关系即可判断.【题目详解】选项A：原命题的否命题为：若不是偶数，则，不都是偶数，若，都是偶数，则一定是偶数，从而原命题的否命题为真命题，故A错误；选项B：原命题的逆命题：若是无理数，则也为正无理数，当，即为无理数，但是有理数，故B错误；选项C：由逆否命题的概念可知，C正确；选项D：由为假命题可知，，至少有一个为假命题，由为假命题可知，和均为假命题，故为假命题，为真命题，故D错误.故选：C.6、D【解题分析】利用直线垂直系数之间的关系即可得出.【题目详解】解：直线和直线互相垂直，则，解得：.故选：D.7、C【解题分析】直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B，l与渐近线l2：bx+ay=0交于C，A（a，0），∴，∵，∴，b=2a，∴，∴，∴考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质8、A【解题分析】.本题选择A选项.9、B【解题分析】根据平面的性质分别判断充分性和必要性.【题目详解】充分性：若内有无数多个点到的距离相等，则、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，则内每个点到的距离相等，故必要性成立，所以“内有无数多个点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.故选：B.10、B【解题分析】由题意可设，则，再由，可得，从而可求出的值【题目详解】解：双曲线的渐近线方程为，故设，设，则，因为，所以，即，所以，因为，所以，因为，所以，故选：B11、A【解题分析】根据题意，由于，可知数列是公差为-3的等差数列，则可知d=-3,由于=，故选A12、A【解题分析】由双曲线的定义及三角形的几何性质可求解.【题目详解】如图，圆的圆心为，半径为1，，，当，，三点共线时，最小，最小值为，而，所以故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】根据直观图和平面图的关系可求出，进而利用面积公式可得三角形的面积【题目详解】由已知可得则故答案为：.14、【解题分析】利用导数求出函数的最小值，结合函数的图象列式可求出结果.【题目详解】,当时，，在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意；当时，令，得，令，得，所以在上为减函数，在上为增函数，所以在时取得极小值为，也是最小值，因为当趋近于正负无穷时，都是趋近于正无穷，所以要使有两个零点，只要，即就可以了.所以的范围是故答案为：.15、【解题分析】根据焦点在轴的双曲线的标准方程的特征可得答案.【题目详解】因为双曲线的焦点在轴上，则，解得.所以的取值范围为故答案为：16、##【解题分析】由题意利用等差数列的定义和通项公式，求得要求式子的值【题目详解】设等差数列，，，，的公差为，等差数列，，，，，，的公差为，则有，且，所以，则，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析；（2）详见解析.【解题分析】（1）以为原点,为轴,为轴，为轴,建立空间直角坐标系，设,,，求出，，，，0，，，，，从而，由此能证明共面（2）求出，0，，，，，由，能证明【题目详解】证明：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设，，，则0，，0，，2b，，2b，，0，，为AB的中点，F为PC的中点，0，，b，，b，，，2b，，共面.（2），【题目点拨】本题考查三个向量共面的证明,考查两直线垂直的证明,是基础题18、（1）函数单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)（2）证明见解析（3）[1，＋∞)【解题分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，（2）由（1）可得，令，则可得，然后利用累加法可证得结论，（3）由，故，然后分和讨论的最大值与比较可得结果【小问1详解】当时，（），则，由，解得；由，解得，因此函数单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)【小问2详解】由（1）知，当k＝1时，，故令，则，即，所以【小问3详解】由，故当时，因为，所以，因此恒成立，且的根至多一个，故在(0，1]上单调递增，所以恒成立当时，令，解得当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；于是，与恒成立相矛盾综上，的取值范围为[1，＋∞)【题目点拨】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区，利用导数求函数的最值，利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是利用（1）可得，从而得，然后令，得，最后累加可证得结论，考查数转化思想，属于较难题19、（1）答案见解析（2）【解题分析】（1）首先由，，成等比数列，求出，再由①或②或③求出数列的首项和公差，即可求得的通项公式；（2）求得的通项公式，结合裂项相消法求得.【小问1详解】设等差数列的公差为，由，，成等比数列，可得，即，∵，故，选①:由，可得，解得，所以数列的通项公式为选②:由，可得，即，所以，解得，所以；选③:由，可得，即，所以，解得，所以；【小问2详解】由（1）可得，所以.20、（1）初中、高中年级所抽取人数分别为45、55（2）2.375小时，2.4小时（3）【解题分析】（1）依据分层抽样的原则列方程即可解决；（2）依据频率分布直方图计算学生做作业时间的中位数和平均时长即可；（3）依据古典概型即可求得恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率.【小问1详解】设初中、高中年级所抽取人数分别为x、y，由已知可得，解得；【小问2详解】的频率为，的频率为，的频率为因为，，所以中位数在区间上，设为x，则，解得，所以学生做作业时间的中位数为2.375小时；平均时长为小时.故估计学生做作业时间的中位数为2.375小时，平均时长为2.4小时【小问3详解】2人来自初中年级，记为，，3人来自高中年级，记为，，，则从中任选2人，所有可能结果有：，，，，，，，，，共10种，其中恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级有6种可能，所以恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率为21、（1）；（2）.【解题分析】（1）利用正弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）由三角形的面积公式可求得的值，由已知可得，利用余弦定理可得出关于的等式，即可求得边的长.【小问1详解】解：因为，由正弦定理可得，，则，可得，，，因此，.【小问2详解】解：，可得，因为、、成等差数列，则，由余弦定理可得，解得.22、（1）（2）