安徽省六安市霍山县高级职业中学2022年高一数学理月考试卷含解析

安徽省六安市霍山县高级职业中学2022年高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数（），若，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知中，的对边分别为，若且，则(

)A.2

B．

C．

D．参考答案：A3.已知函数的最小正周期π，为了得到函数的图象，只要将的图象（

）A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度参考答案：A4.已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是（

）． A． B． C． D．参考答案：A∵是定义在的奇函数，∴，当时，，∴当时，的值域为：；∵，对称轴为：，∴，，即的值域为．∵对于任意的，存在，便得，则且，即且，解得：，所以实数的取值范围是：，故选．5.下列对应是从集合到集合的函数的是（

）A．，，B．，，C．，，每一个三角形对应它的内切圆D．，，每一个圆对应它的外切三角形参考答案：A6.因式分解：ab2﹣a=

．参考答案：略7.设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}满足AB，则实数a的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A8.函数y=﹣x2+1的单调递增区间为（）A．（﹣∞，0] B．[0，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣∞，+∞）参考答案：A【考点】函数的单调性及单调区间．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由条件利用二次函数的性质，得出结论．【解答】解：函数y=﹣x2+1是二次函数，它的图象是开口向上的抛物线，图象的对称轴为x=0，故该函数的递增区间为（﹣∞，0]，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，属于基础题．9.中，若，则的面积为

（

）A．

B．

C.1

D.参考答案：B10.在中三个内角A、B、C所对的边分别为则下列判断错误的是（

）A.若则为钝角三角形

B.若则为钝角三角形C.若则为钝角三角形

D.若A、B为锐角且则为钝角三角形参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|＝1}，则A、B间的关系为________．参考答案：BA12.已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=

．参考答案：3【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值【解答】解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=∴f（9）=3．故答案为：3．13.方程sinx﹣cosx=0（x∈[0，2π]）的所有解之和为_________．参考答案：14.已知侧棱长为a的正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为．参考答案：3πa2【考点】球的体积和表面积．【分析】侧棱长为a的正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，说明三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，求出直径，即可求出球的表面积．【解答】解：因为侧棱长为a的正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，正方体的对角线长为：a；所以球的表面积为：4π（）2=3πa2故答案为：3πa2．15.奇函数在上的解析式是，则在上的函数解析式是_______________.参考答案：y=-x(x+1)略16.当且时，函数恒过定点

．参考答案：(2,3)根据对数运算公式得到，过定点。

17.对于正项数列，定义为的“蕙兰”值，现知数列的“蕙兰”值为，则数列的通项公式为=

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）一个三棱柱（高为侧棱长）形容器中盛有水，且侧棱，当底面ABC水平放置时，水面的高为9.如图，若水平放置时，水面与棱AC交于点D，确定点D在棱AC上的位置，并说明理由。参考答案：解：设直三棱柱容器内所装水体积为，三棱柱的体积为，当底面水平放置时，有，当水平放置时，设水面与棱交于点，则，................................6分，而相似，，，中点........................................................12分

19.（本题满分8分）判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明．参考答案：在区间上是减函数。证明如下：设任意的，且，则∴，又因为∴，∴，∴，即根据定义可知，在区间上是减函数。20.已知定义在R上的函数满足：①；

②.（1）求f(1)的值；（2）当时，求f(x)的表达式；（3）若函数定义域为[a,b]值域也为[a,b]，找出所有这样的区间[a,b]（不需过程,直接给出结果）参考答案：（1）令x=1代入：……2分（2）…………4分

……7分又

…8分（3）[－2,2]……9分

[0,2]……10分

[－2,4]……11分

[0,4]……12分21.（12分）一工厂生产A，B，C三种商品，每种商品都分为一级和二级两种标准，某月工

厂产量如下表(单位：件)：

ABC一级100150400二级300450600

（I）用分层抽样的方法在C种商品中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，

从中任取2件商品，求至少有1件一级品的概率；

（II）用随机抽样的方法从B类商品中抽取8件，经检测它们的得分如下：

9.4、8.6、

9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2.

把这8件商品的得分看成一个总体，从中任取一个

数，求该数与这8个数的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．参考答案：(1)设所抽样本中有m个一级品，因为用分层抽样的方法在C类中抽取一个容量为5的样本．所以，解得m＝2也就是抽取了2件一级品，3件二级品，分别记作S1，S2；B1，B2，B3，则从中任取2件的所有基本事件为(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)共10个，其中至少有1件一级品的基本事件有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，所以从中任取2件，至少有1件一级品的概率为.

(2)样本的平均数为(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0这6个数，总的个数为8，所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为＝0.75.22.设函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．参考答案：【考点】指数函数综合题；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值．（2）由f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，由△＜0求得t的取值范围．（3）由f（1）=求得a的值，可得g（x）的解析式，令t=f（x）=2x﹣2﹣x，可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数，t≥f（1），令h（t）=t2﹣2mt+2，（t≥），分类讨论求出h（t）的最小值，再由最小值等于2，求得m的值．【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，…（2分）∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2．…（2）∵函数f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∵f（1）＜0，∴a﹣＜0，又a＞0，∴1＞a＞0．…（6分）由于y=ax单调递减，y=a﹣x单调递增，故f（x）在R上单调递减．不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4）．∴x2+tx＞x﹣4，即

x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，…（8分）∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．…（10分）（3）∵f（1）=，a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2，或a=﹣（舍去）．…（12分）∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（1）可知k=2，故f（