陕西省西安市第46中学2024届数学高二上期末经典试题含解析

陕西省西安市第46中学2024届数学高二上期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为虚数单位，复数满足为纯虚数，则的虚部为（）A. B.C. D.2．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B.C. D.3．已知抛物线：的焦点为F，准线l上有两点A，B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是（）A. B.C.或 D.4．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为椭圆上一点．与轴交于一点，，则椭圆C的离心率为（）A. B.C. D.5．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，6．如图，样本和分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为和，标准差分别为和，则（）AB.C.D.7．如图，四面体-，是底面△的重心，，则（）A B.C. D.8．在长方体中，，，点分别在棱上，，，则（）A. B.C. D.9．在中，，，，若该三角形有两个解，则范围是（）A. B.C. D.10．在平行六面体中，点P在上，若，则（）A. B.C. D.11．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（）A. B.C. D.12．已知正方体中，分别为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为()A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆上的点作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该椭圆的离心率为_________.14．若函数在处有极值，则的值为___________.15．在△ABC中，，AB=3，，则________16．若，均为正数，且，（1）的最大值为；（2）的最小值为；（3）的最小值为；（4）的最小值为，则结论正确的是__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知为数列的前项和，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和（3）设，若不等式对一切恒成立，求实数取值范围18．（12分）已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）设存在两个极值点，且，若，求证：.19．（12分）在中，（1）求的大小；（2）若，．求的面积20．（12分）某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了1000件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，若该工厂认定产品的质量指数不低于6为优良级产品，产品的质量指数在内时为优等品.（1）用统计有关知识判断甲、乙两条生产线所生产产品的质量哪一条更好，并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样的方法从该工厂样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，求抽取到的2件产品都是甲生产线生产的概率.21．（12分）已知函数（1）求的图象在点处的切线方程；（2）求在上的最大值与最小值22．（10分）已知对于，函数有意义，关于k的不等式成立.（1）若为假命题，求k的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】先设，代入化简，由纯虚数定义求出，即可求解.【题目详解】设，所以，因为为纯虚数，所以，解得，所以的虚部为：.故选：D.2、A【解题分析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.3、C【解题分析】分或（）两种情况讨论，由面积列方程即可求解【题目详解】由题意得，当时，，解得；当或时，，解得，所以抛物线的方程是或.故选：C.4、C【解题分析】由椭圆的性质可先求得，故可得，再由椭圆的定义得a，c的关系，故可得答案【题目详解】，，又，，则，，则，，由椭圆的定义得，，，故选：C5、B【解题分析】由空间向量内容知，构成基底的三个向量不共面，对选项逐一分析【题目详解】对于A：，因此A不满足题意；对于B：根据题意知道，，不共面，而和显然位于向量和向量所成平面内，与向量不共面，因此B正确；对于C：，故C不满足题意；对于D：显然有，选项D不满足题意.故选：B6、B【解题分析】直接根据图表得到答案.【题目详解】根据图表：样本数据均小于等于10，样本数据均大于等于10，故；样本数据波动大于样本数据，故.故选：B.7、B【解题分析】根据空间向量的加减运算推出，进而得出结果.【题目详解】因为，所以，故选：B8、D【解题分析】依题意可得，从而得到，即可得到，从而得解；【题目详解】解：由长方体的性质可得，又，所以，因为，所以，所以，因为，所以；故选：D9、D【解题分析】根据三角形解得个数可直接构造不等式求得结果.【题目详解】三角形有两个解，，即.故选：D.10、C【解题分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可.【题目详解】因为，，所以有，因此，故选：C11、D【解题分析】根据给定的方程求出离心率，的表达式，再计算判断作答.【题目详解】因椭圆的离心率为，则有，因双曲线的离心率为，则有，所以.故选：D12、D【解题分析】以D为原点建立空间直角坐标系，求出E,F,B,D1点的坐标，利用直线夹角的向量求法求解【题目详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则，,，,,直线与所成角的余弦值为：.故选D【题目点拨】本题主要考查了空间向量的应用及向量夹角的坐标运算，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】根据题意可得，利用推出，进而得出结果.【题目详解】由题意知，，将代入方程中，得，因为，所以，整理，得，又，所以，由，解得.故答案为：14、2或6【解题分析】由解析式得到导函数，结合是函数极值点，即可求的值.【题目详解】由，得，因为函数在处有极值，所以，即，解得2或6.经检验，2或6满足题意.故答案为：2或6.15、3【解题分析】计算得出，可得出，再利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.【题目详解】∵，，，∴故答案为：3.16、（1）（2）（4）.【解题分析】利用基本不等式求的最大值可判断（1）；利用“”的妙用以及基本不等式可判断（2）；将所求代数式转化为关于的二次函数结合由二次函数的性质可得最值判断C、D，进而可得正确答案.【题目详解】对于（1）：因为，均为正数，且，则有，当且仅当时等号成立，即的最大值为，故（1）正确；对于（2）：因为，当且仅当时等号成立，即的最小值为，故（2）正确；对于（3）：因为，所以，在上单调递减，无最小值，故（3）不正确；对于（4）：，当且仅当时等号成立，即的最小值为，故（4）正确.故答案为：（1）（2）（4）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）.【解题分析】（1）利用的关系，根据等比数列的定义求通项公式.（2）由（1）可得，应用裂项相消法求.（3）应用错位相减法求得，由题设有，讨论为奇数、偶数求的取值范围【小问1详解】当时，，可得，当时，，可得，∴是首项、公比都为的等比数列，故.【小问2详解】由（1），，∴.【小问3详解】由题设，，∴，则，∴，由对一切恒成立，令，则，∴数列单调递减，∴当为奇数，恒成立且在上递减，则，当为偶数，恒成立且在上递增，则，综上，.18、（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析【解题分析】（1）首先求出函数的导函数，再令、，分别求出函数的单调区间；（2）先求出，构造函数，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，从而证明结论【小问1详解】解：当时，，所以，令，解得或，令，解得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】解：，，，因为存在两个极值点，，所以存在两个互异的正实数根，，所以，，则，所以，所以，令，则，，，在上单调递减，，而，即，19、（1）（2）【解题分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解；（2）首先由余弦定理求出，即可得到，再根据面积公式计算可得；【小问1详解】解：因为，由正弦定理可得，即，又在中，，所以，，所以；【小问2详解】解：由余弦定理得，即，解得，所以，又，所以；.20、（1）甲更好，详细见解析（2）【解题分析】（1）根据频率分布直方图计算甲、乙两条生产线所生产产品的质量指数的平均数，比较大小即可得答案；（2）由题意可知，甲、乙生产线的样品中优等品件数，利用分层抽样可得从甲生产线的样品中抽取的优等品有件件，记为，从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为；列出抽取到的2件产品的所有基本事件，根据古典概型计算即可.【小问1详解】解：甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：＝3×0.05×2+5×0.15×2+7×0.2×2+9×0.1×2＝6.4；乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为：＝3×0.15×2+5×0.1×2+7×0.2×2+9×0.05×2＝5.6因为，所以甲生产线生产产品质量的平均水平高于乙生产线生产产品质量的平均水平，故甲生产线所生产产品的质量更好.【小问2详解】由题意可知，甲生产线的样品中优等品有件，乙生产线的样品中优等品有件，从甲生产线的样品中抽取的优等品有件件，记为，从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为；从这6件产品中随机抽取2件的情况有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（a，F），（b，c），（b，d），（b，E），（b，F），（c，d），（c，E），（c，F），（d，E），（d，F），（E，F），共15种；其中符合条件的情况有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种.故抽取到的2件产品都是甲生产线生产的概率为：21、（1）；（2）最大值与最小值分别为与【解题分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率即可求出结果；（2）利用导数研究函数的单调性，进而结合函数的单调性即可求出最值.【题目详解】（1）因为，所以所以所以的图象在点处的切线方程为，即（2）由（1）知令，则；令，则所以在上单调递减，在上单调递增．所以又，所以所以在上的最大值与最小值分别为与22、（1）（2）【解题分析】（1）由与的真假相反，得出为真命题，将定义域问题转化为不等