江西奉新县普通高级中学2024届数学高二上期末学业质量监测模拟试题含解析

江西奉新县普通高级中学2024届数学高二上期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，，则的大小关系是（）A. B.C. D.2．学校开设甲类选修课3门，乙类选修课4门，从中任选3门，甲乙两类课程都有选择的不同选法种数为（）A.24 B.30C.60 D.1203．（）A.-2 B.-1C.1 D.24．已知函数的部分图象如图所示，且经过点，则（）A.关于点对称B.关于直线对称C.为奇函数D.为偶函数5．下列命题正确的是（）A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面6．已知在四棱锥中，平面，底面是边长为4的正方形，，E为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.7．在二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，，则这个二面角的大小为（）A. B.C. D.8．已知，则下列说法中一定正确的是（）A. B.C. D.9．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则线段的中点到坐标原点的距离等于（）A.7 B.10C.12 D.1410．已知实数，满足不等式组，若，则的最小值为（）A. B.C. D.11．已知命题，，若是一个充分不必要条件，则的取值范围是（）A. B.C. D.12．已知随机变量，且，，则为（）A.0.1358 B.0.2716C.0.1359 D.0.2718二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．以正方体的对角线的交点为坐标原点O建立右手系的空间直角坐标系，其中，，，则点的坐标为______14．已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为_______15．与同一条直线都相交的两条直线的位置关系是________16．如图，在棱长为2的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，分别记四棱锥，的体积为，，则的最小值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，.（1）证明：平面；（2）已知，，，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.18．（12分）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.过点的直线l交椭圆于A，B两点.（1）求该椭圆的方程；（2）若点P为直线上的动点，记直线PA，PM，PB的斜率分别为，，.求证：，，成等差数列.19．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，.若，且.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的最大值.20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知，曲线与曲线相交于A，B两点，求.21．（12分）如图，在三棱锥中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，M，N分别为AB，AP的中点．过MN的平面与侧面PBC交于EF（1）求证：；（2）若平面平面ABC，，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值22．（10分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若点在棱上，且平面，求线段的长

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】利用微积分基本定理计算,利用积分的几何意义求扇形面积得到,然后比较大小.【题目详解】,表示以原点为圆心，半径为2的圆在第二象限的部分的面积，∴；，∵e=2.71828…>2.7,，，,故选：2、B【解题分析】利用组合数计算出正确答案.【题目详解】甲乙两类课程都有选择的不同选法种数为.故选：B3、A【解题分析】利用微积分基本定理计算得到答案.【题目详解】.故选：.【题目点拨】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.4、D【解题分析】根据图象求得函数解析式，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【题目详解】由题意，可得，根据图形走势，可得，解得，令，可得，所以，由，所以A不正确；由，可得不是函数的对称轴，所以B不正确；由，此时函数为非奇非偶函数，所以C不正确；由为偶函数，所以D正确.故选：D.5、D【解题分析】由平面的基本性质结合公理即可判断.【题目详解】对于A，过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；对于B，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；对于C，空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；对于D，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.故选：D6、B【解题分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求直线与平面所成角的正弦值即可.【题目详解】平面，底面是边长为4的正方形，则有，而，故平面，以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图：则，，，设直线与平面所成角为，又由题可知为平面的一个法向量，则故选：B7、C【解题分析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到，由此能求出结果.【题目详解】设这个二面角的度数为，由题意得，，，解得，∴，∴这个二面角的度数为，故选：C.【题目点拨】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角.8、B【解题分析】AD选项，举出反例即可；BC选项，利用不等式的基本性质进行判断.【题目详解】当，时，满足，此时，故A错误；因，所以，，，B正确；因为，所以，，故，C错误；当，时，满足，，，所以，D错误.故选：B9、A【解题分析】可由椭圆方程先求出，在利用椭圆的定义求出，利用已知求解出，再取的中点，连接，利用中位线，即可求解出线段的中点到坐标原点的距离.【题目详解】因为椭圆，，所以，结合得，，取的中点，连接，所以为的中位线，所以.故选：A.10、B【解题分析】作出不等式组对应的平面区域，然后根据线性规划的几何意义求得答案.【题目详解】作出不等式组所对应的可行域如图三角形阴影部分，平行移动直线直线，可以看到当移动过点A时，在y轴上的截距最小,联立，解得，当且仅当动直线即过点时，取得最小值为，故选：B11、A【解题分析】先化简命题p，q，再根据是的一个充分不必要条件，由q求解.【题目详解】因为命题，或，又是的一个充分不必要条件，所以，解得，所以的取值范围是，故选：A12、C【解题分析】根据正态分布的对称性可求概率.【题目详解】由题设可得，，故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】根据已知点的坐标，确定出坐标系即可得【题目详解】如图，由已知得坐标系如图所示，轴过正方形的对角线交点，轴过中点，轴过中点，因此可知坐标为故答案为：14、16【解题分析】根据椭圆定义可得：，再用基本不等式求解.【题目详解】由椭圆的定义可得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，故的最大值为16故答案为：1615、平行，相交或者异面【解题分析】由空间中两直线的位置关系求解即可【题目详解】由题意与同一条直线都相交的两条直线的位置关系可能是：平行，相交或者异面，故答案为：平行，相交或者异面，16、【解题分析】设，用参数表示目标函数，利用均值不等式求最值即可.【题目详解】取线段AD中点为F，连接EF、D1F，过P点引于M，于N，则平面，平面，则，∴，设，则，，即，，∴，当且仅当时，等号成立，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明过程见解析；（2）.【解题分析】（1）利用平面与平面垂直的性质得出直线与平面垂直，进而得出平面；（2）建立空间直角坐标系即可求解.【小问1详解】证明：因为平面平面，交线为且平面中，所以平面又平面所以又，且所以平面【小问2详解】解：由（1）知，平面且所以、、两两垂直因此以原点，建立如图所示的空间直角坐标系因为，，，设所以，，，，由（1）知，平面所以为平面的法向量且因为直线与平面所成角的正弦值为所以解得：所以，又，，所以，，，设平面与平面的法向量分别为：，所以，令，则令，则，，即设平面与平面夹角为则所以平面与平面夹角的余弦值为.18、（1）;（2）证明见解析.【解题分析】（1）根据焦点坐标及椭圆上的点，利用椭圆的定义求出a，再由关系求b，即可得解；（2）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，利用斜率公式计算出，根据等差中项计算，即可证明成等差数列.【小问1详解】∵椭圆的焦距，椭圆的两焦点坐标分别为，又点在椭圆上，，即.该椭圆方程为.【小问2详解】设.当直线l的斜率为0时，其方程为，代入，可得.不妨取，则，成等差数列.当直线l的斜率不为0时，设其方程为，由，消去x得.即，成等差数列，综上可得，，成等差数列.19、（1）；（2）.【解题分析】（1）由，等式右边可化为余弦定理形式，根据求角即可（2）由余弦定理结合均值不等式可求出的最大值，即可求出三角面积的最大值.【题目详解】（1）由得：，即：.∴，又，∴.（2）由，当且仅当等号成立.得：..【题目点拨】本题主要考查了余弦定理，均值不等式，三角形面积公式，属于中档题.20、（1），（2）2【解题分析】（1）消参数即可得曲线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转化关系式，从而曲线的直角坐标方程；（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，得关于的一元二次方程，由韦达定理得，即可得的值.【小问1详解】由，消去参数，得，即，所以曲线的普通方程为.由，得，即，所以曲线的直角坐标方程为【小问2详解】将代入，整理得，则，令方程的两个根为由韦达定理得，所以.21、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）由题意先证明平面PBC，然后由线面平行的性质定理可证明.（2）由平面平面ABC，取BC中点O，则平面ABC，可得，由条件可得，以O坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】因为M，N分别为AB，AP的中点，所以，又平面PBC，所以平面PBC，因为平面平面，所以【小问2详解】因为平面平面ABC，取BC中点O，连接PO，AO，因为是等边三角形，所以，所以平面ABC，故，又因，所以，以O为坐标原点，分别以OB，AO，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得：，，，，，所以，，，设平面PAC的法向量为，则,则，令，得，，所以，所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为22、（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）．（Ⅲ）.【解题分析】第一问根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出线线垂直的结论，注意在书写的时候条件不要丢就行；第二问建立空间直角坐标系，利用法向量所成角的余弦值来求得二面角的