福建省莆田市第八中学2024年数学高二上期末监测试题含解析

福建省莆田市第八中学2024年数学高二上期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．当实数，m变化时，的最大值是（）A.3 B.4C.5 D.62．已知直线与直线垂直，则实数（）A.10 B.C.5 D.3．如图，正四棱柱是由四个棱长为1的小正方体组成的，是它的一条侧棱，是它的上底面上其余的八个点，则集合的元素个数（）A.1 B.2C.4 D.84．过抛物线（）的焦点作斜率大于的直线交抛物线于，两点（在的上方），且与准线交于点，若，则A. B.C. D.5．已知函数，那么的值为（）A. B.C. D.6．在正项等比数列中，和为方程的两根，则等于（）A.8 B.10C.16 D.327．若函数有零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8．在公比为的等比数列中，前项和，则（）A.1 B.2C.3 D.49．已知圆：和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是:（）A. B.C. D.10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上一点且的最大值为，则椭圆离心率为（）A. B.C. D.11．下列说法正确的有（）个.①向量，，，不一定成立；②圆与圆外切③若，则数是数，的等比中项.A.1 B.2C.3 D.012．下列命题正确的是（）A经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的前n项和为，则______14．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该几何体的体积为________.15．已知焦点为F的抛物线的方程为，点Q的坐标为，点P在抛物线上，则点P到y轴的距离与到点Q的距离的和的最小值为______.16．已知空间向量，且，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台16200元，第一年每台设备的维修保养费用为1100元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益8100元（1）每台充电桩第几年开始获利？（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大18．（12分）平面直角坐标系中，过椭圆：右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.（1）求椭圆M的方程；（2）C，D为椭圆M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD与AB垂直，求四边形ACBD面积的最大值.19．（12分）一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，且只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线（如图所示）.选择适当的坐标系后，悬链线对应的函数近似是一个双曲余弦函数，其解析式可以为，其中，是常数.（1）当时，判断并证明的奇偶性；（2）当时，若最小值为，求的最小值.20．（12分）某双曲线型自然冷却通风塔的外形是由图1中的双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面，如图2所示.双曲线的左、右顶点分别为、.已知该冷却通风塔的最窄处是圆O，其半径为1；上口为圆，其半径为；下口为圆，其半径为；高（即圆与所在平面间的距离）为.（1）求此双曲线的方程；（2）以原平面直角坐标系的基础上，保持原点和x轴、y轴不变，建立空间直角坐标系，如图3所示.在上口圆上任取一点，在下口圆上任取一点.请给出、的值，并求出与的值；（3）在（2）的条件下，是否存在点P、Q，使得P、A、Q三点共线.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P、Q的坐标，并证明此时线段PQ上任意一点都在曲面上.21．（12分）已知p：关于x的方程至多有一个实数解，.（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.22．（10分）已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大.（1）求该展开式中有理项的项数；（2）求该展开式中系数最大的项.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】根据点到直线的距离公式可知可以表示单位圆上点到直线的距离，利用圆的性质结合图形即得.【题目详解】由题可知，可以表示单位圆上点到直线的距离，设，因直线，即表示恒过定点，根据圆的性质可得.故选：D.2、B【解题分析】根据两直线垂直，列出方程，即可求解.【题目详解】由题意，直线与直线垂直，可得，解得.故选：B.3、A【解题分析】用空间直角坐标系看正四棱柱，根据向量数量积进行计算即可.【题目详解】建立空间直角坐标系，为原点，正四棱柱的三个边的方向分别为轴、轴和看轴，如右图示，，设，则AB所以集合，元素个数为1.故选：A.4、A【解题分析】分别过作准线的垂线，垂足分别为，设，则，，故选A.5、D【解题分析】直接求导，代入计算即可.【题目详解】，故.故选：D.6、C【解题分析】根据和为方程两根，得到，然后再利用等比数列的性质求解.【题目详解】因为和为方程的两根，所以，又因为数列是等比数列，所以，故选：C7、A【解题分析】设，则函数有零点转化为函数的图象与直线有交点，利用导数判断函数的单调性，即可求出【题目详解】设，定义域为，则，易知为单调递增函数，且所以当时，，递减；当时，，递增，所以所以，即故选：A【题目点拨】本题主要考查根据函数有零点求参数的取值范围，意在考查学生的转化能力，属于基础题8、C【解题分析】先利用和的关系求出和，再求其公比.【题目详解】由，得，，所以，，则.故选：C.9、B【解题分析】先由在线段的垂直平分线上得出，再由题意得出，进而由椭圆定义可求出点的轨迹方程.【题目详解】如图，因为在线段的垂直平分线上，所以，又点在圆上，所以，因此，点在以、为焦点的椭圆上.其中，，则.从而点的轨迹方程是.故选：B.10、A【解题分析】根据椭圆的定义可得，从而得到，则，其中，再根据对勾函数的性质求出，即可得到方程，从求出椭圆的离心率；【题目详解】解：依题意，所以，又，所以，因为在上单调递减，所以当时函数取得最大值，即，即所以，即，所以，解得或（舍去）故选：A11、A【解题分析】由向量数量积为实数，以及向量共线定理，即可判断①；求出圆心距，即可判断两圆位置关系，从而判断②；取，即可判断③【题目详解】对于①，与共线，与共线，故不一定成立，故①正确；对于②，圆的圆心为，半径为，圆可变形为，故其圆心为，半径为，则圆心距，由，所以两圆相交，故②错误；对于③，若，取，则数不是数的等比中项，故③错误故选：A12、D【解题分析】由平面的基本性质结合公理即可判断.【题目详解】对于A，过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；对于B，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；对于C，空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；对于D，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】先通过裂项相消求出，再代入计算即可.【题目详解】，则，故.故答案为：3.14、【解题分析】根据圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，由，求得底面半径，进而得到高，再利用锥体的体积公式求解.【题目详解】设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，所以，解得，所以，所以圆锥的体积为：，故该几何体的体积为，故答案为：15、##【解题分析】利用定义将所求距离之和的最小值问题，转化为的最小值问题.【题目详解】焦点F坐标为，抛物线准线为,如图，作垂直于准线于A，交y轴于B，.故答案为：16、【解题分析】根据空间向量共线的坐标表示可得出关于的等式，求出的值即可.【题目详解】由已知可得，解得.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）公司从第3年开始获利；（2）第9年时每台充电桩年平均利润最大3600元【解题分析】（1）判断已知条件是等差数列，然后求解利润的表达式，推出表达式求解n即可（2）利用基本不等式求解最大值即可【题目详解】（1）每年的维修保养费用是以1100为首项，400为公差的等差数列，设第n年时累计利润为f（n），f（n）=8100n-[1100+1500+…+（400n+700）]-16200=8100n-n（200n+900）-16200=-200n2+7200n-16200=-200（n2-36n+81），开始获利即f（n）＞0，∴-200（n2-36n+81）＞0，即n2-36n+81＜0，解得，所以公司从第3年开始获利；（2）每台充电桩年平均利润为当且仅当，即n=9时，等号成立即在第9年时每台充电桩年平均利润最大3600元【题目点拨】本题考查数列与函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题18、（1）（2）【解题分析】（1）设，，的中点为，利用“点差法”求解；（2）由求得A，B的坐标，进而得到的长，再根据，设直线的方程为，由，求得的长，然后由四边形的面积为求解.【小问1详解】解：把右焦点代入直线，得，设，，的中点为，则，，相减得，即，即，即.又，，则.又，解得，，故椭圆的方程为.【小问2详解】联立消去，可得，解得或，故交点为，.所以.因为，所以可设直线的方程为，，，联立消去，得到，因为直线与椭圆有两个不同的交点，则，解得，且，又，则.故四边形的面积为，故当时，取得最大值，最大值为.所以四边形的面积的最大值为.19、（1）偶函数（2）10【解题分析】(1)根据偶函数定义直接判断可知；(2)由基本不等式求得的最小值，得到a、b的关系，然后代入目标式，分离常数，然后可得.【小问1详解】当时，，定义域为R，因为所以为偶函数.【小问2详解】因为，所以，当且仅当，即时，取等号.由题知，即，因为，所以，即所以令，，则，所以，所以，当，即时，取等号.所以的最小值为10.20、（1）；（2），，，；（3）存在，或，证明见解析.【解题分析】（1）设双曲线的标准方程为，易知，设，，代入求解即可；（2）分析圆，圆的方程即可求解；（3）利用圆的参数方程，设，，利用，即可求解，再利用线段PQ上任意一点的特征证明点在曲面上；【小问1详解】设双曲线的标准方程为，由题意知，点，的横坐标分别为，，则设点，的坐标为，，，，，解得，，又塔高米，，解得，故所求的双曲线的方程为【小问2详解】点在圆上，；点在圆上，；圆，其半径为，；圆，其半径为，【小问3详解】存在点P、Q，使得P、A、Q三点共线.由点在半径为的圆上，（为参数）；点在半径为的圆上，（为参数）；由已知得，整理得两式平方求和得，则或当时，，当时，证明：，则，利用，，其中又曲面上的每一点可以是圆与旋转任意坐标系上的双曲线的交点，旋转直角坐标系，保持原点和y轴不变，点所在的轴为轴，此时，满足，即即点是曲面上的点.21、（1）（2）【解题分析】（1）根据命题p为真命题，可得，解之即可得解；（2）若p是q的充分不必要条件，则，列出不等式组，解之即可得出答案.【小问1详解】解：命题p：关于x的方程至多有一个实数解，∴，解得，∴实数a的取值范围是；【小问2详解】解：命题，∵p是q的充分不必要条件，∴，∴，且两式等号不能同时取得，解得，∴实数m的取值范围是.2