三维设计2024高三物理总复习 第22课时 圆周运动的临界极值问题 重难突破课

第22课时圆周运动的临界极值问题[重难突破课]目录CONTENT着眼“四翼”·探考点聚焦“素养”·提能力0201Part01着眼“四翼”·探考点⁠题型一

水平面内圆周运动的临界极值问题

常见情境（1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件：物体与转盘之间恰好达到最大静摩擦力。（2）绳的拉力出现临界条件：绳恰好拉直（此时绳上无弹力）或绳上拉力恰好为最大承受力等。（3）物体间恰好分离的临界条件：物体间的弹力恰好为零解题思路（1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等关键词，表明题述的过程存在临界状态。（2）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等关键词，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。（3）当确定了物体运动的临界状态或极值条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解【典例1】

（多选）如图甲所示，两个完全相同物块A和B（均可视为质点）放在水平圆盘上，它们分居圆心两侧，用不可伸长的轻绳相连，两物块质量均为1kg。与圆心距离分别为RA和RB，其中RA＜RB且RA＝1m。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘以不同角速度ω绕轴OO'匀速转动时，绳中弹力FT与ω2的变化关系如图乙所示，重力加速度

g＝10m/s2。下列说法正确的是（

）A.物块与圆盘间的动摩擦因数μ＝0.5B.物块B与圆心距离RB＝2mC.A受到的静摩擦力方向始终指向圆心

答案

BD⁠1.[物体间恰好分离的临界问题]（多选）如图所示，三角形为一光滑圆锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°。一根长为l＝1m的细线一端系在圆锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕圆锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，不计空气阻力，则（

）A.小球受重力、支持力、拉力和向心力B.小球可能只受拉力和重力

2.[绳的弹力恰好有无的临界问题]如图所示，AC、BC两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，AC绳长L＝2m，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30°和45°。小球在水平面内做匀速圆周运动时，若两绳中始终有张力，小球的角速度可能是（g＝10m/s2）（

）A.2rad/sB.2.5rad/sC.3.5rad/sD.4rad/s

1.两类模型轻“绳”模型轻“杆”模型情境图示⁠⁠弹力特征弹力只能向下或为0⁠弹力可能向下，可能向上，也可能为0⁠力学方程临界特征v＝0，即FN＝0，此时FN＝mg题型二

竖直面内圆周运动的临界极值问题

2.解题思路【典例2】

如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v，此时绳子拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图像中的数据a和b以及重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是（

）A.数据a与小球的质量有关B.数据b与小球的质量无关D.利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径

答案

D【典例3】

如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力，则球B在最高点时（

）A.球B的速度为零C.水平转轴对杆的作用力为1.5mgD.水平转轴对杆的作用力为2.5mg

答案

C⁠1.[轻绳模型]如图所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力大小为（重力加速度为g）（

）

A.2mgB.3mgC.4mgD.5mg

A.强磁性引力F大小为8mgC.陀螺在B点对轨道压力为6mg

题型三

斜面上圆周运动的临界极值问题

1.题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。2.解题关键——重力的分解和视图物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。考法一

斜面上静摩擦力控制下的圆周运动

A.小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用B.小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大C.小物体受到的摩擦力可能背离圆心D.ω的最大值是1.0rad/s解析

当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，合力提供向心力，故A错误；当物体随圆盘转到最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿圆盘向上，也可能沿斜面向下，摩擦力的方向沿圆盘向上时，ω越大，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故B错误，C正确；当物体转到圆盘的最低点且恰好不滑动时，圆盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于圆盘向上的支持力、沿圆盘指向圆心的摩擦力，则有FN＝mgcos

θ，Ff＝μFN＝μmgcos

θ，沿圆盘的合力提供向心力，有

μmgcos

30°－mgsin

30°＝mω2R，解得ω＝1.0

rad/s，故D正确。答案

CD考法二

斜面上轻绳控制下的圆周运动【典例5】

如图所示，一倾角为θ＝30°的斜劈静置于粗糙水平面上，斜劈上表面光滑，一轻绳的一端固定在斜面上的O点，另一端系一小球。在图示位置垂直于绳给小球一初速度，使小球恰好能在斜面上做圆周运动。已知O点到小球球心的距离为l，重力加速度为g，整个过程中斜劈静止，下列说法正确的是（

）C.小球运动过程中，地面对斜劈的摩擦力大小不变D.小球运动过程中，地面对斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和

圆周运动、其所受重力与斜面的支持力大小和方向均保持不变，绳的拉力大小和方向均不断变化，根据牛顿第三定律，以斜劈为研究对象，斜劈在小球恒定的压力、绳沿斜面方向不断变化的拉力、地面的支持力、摩擦力和自身的重力作用下保持平衡，绳的拉力沿斜面方向不断变化，故其在水平和竖直方向上的分量也在不断变化，根据斜劈的平衡条件可知，它受到的水平方向上的摩擦力大小是变化的，地面对斜劈支持力的大小不一定等于小球和斜劈重力之和，选项C、D错误。答案

B考法三

斜面上轻杆控制下的圆周运动【典例6】

如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8m的轻杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2kg的小球，沿斜面做圆周运动。g取10m/s2。若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是（

）A.4m/s

答案

APart02聚焦“素养”·提能力⁠

1.如图所示为短道速滑比赛场地示意图，比赛场地直道长度为28.85m，弯道半径为8m。若一名质量为50kg的运动员在弯道紧邻黑色标志块做匀速圆周运动，转弯时冰刀与冰面间的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，运动员可看作质点，重力加速度g取10m/s2，则（

）A.该运动员在弯道转弯时不发生侧滑的最大速度为4m/sB.该运动员在弯道转弯时不发生侧滑的最大速度为8m/sC.运动员受到冰面的作用力最大为100ND.运动员受到冰面的作用力最大为500N

2.如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（

）A.过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来B.人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力C.人在最低点时对座位的压力大小等于mgD.人在最低点时对座位的压力大小大于mg

3.（多选）如图甲所示，某体操运动员用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动。该运动员运动到最高点时，用力传感器测得他与单杠间弹力大小为F，用速度传感器记录他在最高点的速度大小为v，得到F－v2图像如图乙所示。g取10m/s2，则下列说法中正确的是（

）A.该运动员的质量为65kgB.该运动员的重心到单杠的距离为0.9mC.当该运动员在最高点的速度为4m/s时，单杠对他的弹力方向向上D.当该运动员在最高点的速度为4m/s时，单杠对他的弹力方向向下

4.（多选）金家庄特长螺旋隧道为2022年冬奥会重点交通工程。该隧道工程创造性地设计了半径为860m的螺旋线，有效减小了坡度，通过螺旋线实现原地抬升112m，如图所示。对这段公路的相关分析，下列说法正确的是（

）A.车辆以额定功率上坡时，速度越大，牵引力越大B.螺旋隧道设计能有效减小坡度，主要目的是增大车辆行驶过程中受到的摩擦力C.车辆转弯处，路面应适当内低外高D.车辆沿着半径为860m的螺旋隧道行驶过程，有最大速率限制

5.（多选）无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管。已知管状模型内壁半径R，重力加速度为g，则下列说法正确的是（

）A.铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上B.模型各个方向上受到的铁水的作用力相同D.若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力

6.有一竖直转轴以角速度ω匀速旋转，转轴上的A点有一长为l的细绳系有质量为m的小球。要使小球在随转轴匀速转动的同时又不离开光滑的水平面，重力加速度为g，则A点到水平面的高度h最大为（

）B.ω2g

7.如图，有一倾斜的匀质圆盘（半径足够大），盘面与水平面的夹角为θ，绕过圆心并垂直于盘面的转轴以角速度ω匀速转动，有一物体（可视为质点）与盘面间的动摩擦因数为μ（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），重力加速度为g。要使物体能与圆盘始终保持相对静止，则物体与转轴间最大距离为（

）

⁠8.如图所示，O为半球形容器的球心，半球形容器绕通过O的竖直轴以角速度ω匀速转动，放在容器内的两个质量相等的小物块a和b相对容器静止，b与容器壁间恰好没有摩擦力。已知a和O、b和O的连线与竖直方向的夹角分别为60°和30°，则下列说法正确的是（

）C.小物块a与容器壁之间无摩擦力D.容器壁对小物块a的摩擦力方向沿器壁切线向下

9.（多选）如图所示，在竖直平面内有一半径为R的光滑固定细管（忽略管的内径），半径OB水平，OA竖直，一个直径略小于管内径的小球由B点以某一初速度v0进入细管，之后由管内的顶部A点以大小为vA的水平速度飞出。重力加速度为g，下列说法正确的是（

）

10.（多选）如图所示，内壁光滑的圆形细管固定在倾角为θ的斜面上，其半径为R，A、C分别为细管的最高点和最低点，B、D为细管上与圆心O处于同一水平高度的两点，细管内有一直径稍小于细管内径的质量为m的小球，小球可视为质点。开始时小球静止在A点，某时刻对小球施加轻微扰动，使小球自A向B沿着细管开始滑动。以过直线BOD的水平面为重力势能的参考平面，重力加速度为g，下列说法正确的是（

）A.小球不能返回到A点B.小球自A点到B点的过程中，重力的瞬时功率一直增大C.小球在C点时的机械能为2mgRsinθ

11.如图所示，在粗糙的水平地面上有一斜面体，轻绳绕过两光滑的定滑轮，左端与粗糙斜面上的物块P相连，右端与小球相连，轻绳PC恰好与斜面垂直。现将小球从A处由静止释放，小球在AB间摆动过程中，斜面体和物块P始终保持静止不