第七节 偏导数的几何应用

第七节偏导数的几何应用第一页，共三十一页，编辑于2023年，星期四1.设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面第二页，共三十一页，编辑于2023年，星期四考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以第三页，共三十一页，编辑于2023年，星期四曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.第四页，共三十一页，编辑于2023年，星期四法平面：过M点且与切线垂直的平面.第五页，共三十一页，编辑于2023年，星期四解切线方程法平面方程第六页，共三十一页，编辑于2023年，星期四2.空间曲线方程为法平面方程为例2第七页，共三十一页，编辑于2023年，星期四3.空间曲线方程为第八页，共三十一页，编辑于2023年，星期四也可直接用求导公式：第九页，共三十一页，编辑于2023年，星期四切线方程为法平面方程为第十页，共三十一页，编辑于2023年，星期四方法2第十一页，共三十一页，编辑于2023年，星期四第十二页，共三十一页，编辑于2023年，星期四所求切线方程为法平面方程为第十三页，共三十一页，编辑于2023年，星期四第十四页，共三十一页，编辑于2023年，星期四所求切线方程为法平面方程为第十五页，共三十一页，编辑于2023年，星期四1.设曲面方程为二、曲面的切平面与法线引理第十六页，共三十一页，编辑于2023年，星期四曲线在M0处的切向量证设M0(x0,y0,z0)为曲面上一定点，在曲面上任取一条通过点M0的曲线第十七页，共三十一页，编辑于2023年，星期四第十八页，共三十一页，编辑于2023年，星期四可见第十九页，共三十一页，编辑于2023年，星期四第二十页，共三十一页，编辑于2023年，星期四法线方程为由前面的讨论可知曲面在M处的法向量即所以切平面方程为第二十一页，共三十一页，编辑于2023年，星期四解令切平面方程法线方程第二十二页，共三十一页，编辑于2023年，星期四2.空间曲面方程为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令第二十三页，共三十一页，编辑于2023年，星期四其中第二十四页，共三十一页，编辑于2023年，星期四解切平面方程为法线方程为第二十五页，共三十一页，编辑于2023年，星期四解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得第二十六页，共三十一页，编辑于2023年，星期四因为是曲面上的切点，所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)第二十七页，共三十一页，编辑于2023年，星期四曲面的夹角两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的夹角。如果两个曲面在该点的夹角等于90度，则称这两个曲面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲面为正交曲面。例7证明对任意常数，球面与锥面是正交的。第二十八页，共三十一页，编辑于2023年，星期四即证明球面的法线方向数为锥面的法线方向数为在两曲面交线上的任一点处，两法向量的内积因在曲面上，上式右端等于0，所以曲面与锥面正交。第二十九页，共三十一页，编辑于2023年，星期四解设切点依题意知法向量为