初中数学沪科版九年级上册第22章相似形2相似三角形的判定 优秀奖

中物理沪科版数学九年级上册第22章相似形22.2.1相似三角形的判定预备定理知识回顾形状相同的图形叫做.注意：相似图形相似图形的大小不一定相同.

对应边长度的比相等，

那么这两个多边形叫做.相似多边形一般地，

两个边数相同的多边形，

如果它们的对应角相等，相似多边形叫做.相似比相似系数或对应边长度的比注意：判断两个多边形相似必须同时满足个条件：①两个多边形的边数相同；②对应角相等③对应边长度的比相等.三者缺一不可31、相似图形2、相似多边形

通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，△ABC相似于△A'B'C'.探究新知在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.对应角相等，对应边长度的比相等叫做的两个三角形相似三角形.如图，△ABC与△A'B'C'相似，

两个三角形相似，记作：△ABC∽△A'B'C'.读作：其中，相似用符号“∽”表示，读作”相似于”.用字母表示时，这样便于找出相似三角形与全等一样，的对应角与对应边.

因此，三角形全等是三角形相似的特例.探究新知对于△ABC∽△A'B'C'，根据相似三角形的定义，应有∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'长度的比相等对应角相等，相似三角形的对应边相似三角形△ABC与△A'B'C'的相似比为：

△A'B'C'与△ABC的相似比为：相似比具有顺序性.ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'=kA'B'AB=A'C'AC=B'C'BC=1k当这两个三角形全等时，即对应边长度的比叫做相似比(或相似系数).k=1.对应练习1、如图，已知△OAC∽

△OBD，且OA=4，AC=2，OB=2.求：(1)△OAC与△OBD的相似比；(2)BD的长.解:(1)∵△OAC∽

△OBD422∴线段OA与线段OB∴△OAC与△OBD的相似比为=OAOB=422(2)∵△OAC∽

△OBD∴?=ACBDOAOB即=2BD42∴BD=1对应练习2、如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为()A.28°B.32°C.42°D.52°C3、如图，已知点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，AD=6，DC=2，AE=4，EB=8，则△ABC与△ADE的相似比是

，△ADE与△ABC的相似比是

.ABCED2

怎样判定两个三角形相似？利用定义：对应角相等，对应边长度的比相等叫做的两个三角形相似三角形.∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'几何语言:∴

△ABC∽△A'B'C'反过来∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'∵△ABC∽△A'B'C'注意：

又是

它的一个性质.相似三角形的定义既是相似三角形的一种判定方法，思考ABCA'C'B'我们先来研究如下的一个问题：

如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？∵DE∥BC，DF∥AC

ABCDEF∴ADAB=AEACDEBC=ADAB∵四边形DFCE是平行四边形∴DE=FC，即FCBC=ADAB∴

ADAB=AEACDEBC=解：∴

△ADE∽△ABC

由以上探究过程你能得出什么结论？平行于三角形一边的直线与他两边相交，截得的三角形探究新知，∵DE//BC∴∠ADE=∠B，

∴∠A=∠A，∠AED=∠C∠ADE=∠B，

∠AED=∠C与原三角形相似.过点D作DF∥AC，交BC于点F

变式1：若点D是AB延长线上的一点，过点D作DE∥BC，与AC的延长线交于点E，△ADE与△ABC相似吗?ABCDE∵DE∥BC，∴ADAB=AEAC∵四边形DFCE是平行四边形DEEF=ADAB解：，∵DE//BC∴∠D=∠ABC，

∴∠A=∠A，∠E=∠ACB∠D=∠ABC，

∠E=∠ACBDEBC=ADAB∴BC=EF，即∴

ADAB=AEACDEBC=∴

△ADE∽△ABC如果这条直线与三角形两边的延长线相交呢？探究新知FBF∥AC过点B作BF∥AC，交DE于点F

变式2：若点D是BA延长线上的一点，过点D作DE∥BC，与CA的延长线交于点E，△ADE与△ABC相似吗?ABCDEF∵DE∥BC，∴ADAB=AEAC∵四边形DFCE是平行四边形BFBC=AEAC解：，∵DE//BC∴∠D=∠ABC，

∴∠EAD=∠CAB，∠AED=∠C∠D=∠ABC，

∠AED=∠C∴DE=BF，即∴

ADAB=AEECDEBC=∴

△ADE∽△ABC探究新知DEBC=AEACEF∥BD过点E作EF∥BD，交CB延长线于点FABCDEABCDEF平行于三角形一边的直线与他两边的延长线相交，截得的三角形

由以上探究过程你能得出什么结论？与原三角形相似.

截得的三角形

与原三角形相似.

截得的三角形①平行于三角形一边的直线与他两边相交，截得的三角形归纳总结②平行于三角形一边的直线与他两边的延长线相交，平行于三角形一边的直线与他两边（或两边的延长线）相交，与原三角形相似.与原三角形相似.相似三角形判定定理的预备定理ABCDE①直线与其他两边相交；ABCDE

②直线与其他两边的顺向延长线相交；ABCDE

③直线与其他两边的反向延长线相交；几何语言:∵DE∥BC∴△ADE∽△ABCA型相似x型相似

只需”平行”这一个条件就能判定.注意：利用预备定理判定两个三角形相似时，1、如图，已知BC∥EF∥GH，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。三角形相似具有传递性!②BC∥GH①

BC∥EFΔAEF∽ΔAGHΔABC∽ΔAEFΔABC∽ΔAGHΔABC∽ΔAEFΔABC∽ΔAGHGHCEFBA③EF∥GHΔAEF∽ΔAGH巩固练习利用平行线找相似三角形的方法：“X字型”三角形，2、如图，在平行四边形ABCD中，F是BC延长线上一点，AF交BD于点O，与DC交于点E，则图中相似三角形(全等除外)共有

对.△ADO∽△FBO△ADE∽△FCE△ABO∽△EDO△FCE∽△FBA△ADE∽△FBA巩固练习5由判定两个三角形相似的预备定理找相似三角形，关键是寻找“A字型”、并注意利用相似三角形的传递性.3、如图，在平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC，边AD分别交于点E和点F.过点E作EG∥BC，交AB于点G，则图中相似三角形有()巩固练习A.7对B.6对

C.5对

D.4对△AEF∽△CEB△AGE∽△ABC△BGE∽△BAF△ABC∽△CDA△AGE∽△CDAC4、如图，DE∥BC(1)如果AD=2，DB=3，求DE：BC的值；(2)如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．巩固练习5、如图，在ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为()A.B.8

C.10

D.16163C巩固练习6、如图，在ABCD中，AE=EB，AF=2，则CF=

.4

7、如图，已知点D，E，F分别在BC，AB，AC上，四边形BDFE是平行四边形，AE=5，BE=2，DC=1，求EF的长度.巩固练习解：∵四边形BDFE是平行四边形∴

EF∥

BC，EF=BC∴

△AEF∽△ABC∴

EFBC=AEAB即

EFBD+CD=AEAE+BE∵AE=5，BE=2，DC=1∴

EFEF+1=55+2解得EF=52

8、【2015•岳池县模拟】如图，P是ABCD的边BC的延长线上任意一点，AP分别交BD、CD于点M、N，求证：AM2=MN•MP．解：∵四边形ABCD是平行四边形∴

AB∥CD，AD∥BP∴

△NDM∽△ABM，△MDA∽△MBP∴

MNAM=MDBM，MDBM=AMMP∴

MNAM=AMMP即AM2=MN•MP巩固练习

9、如图，在△ACB中，∠ACB=90°，以BC为边向外作正方形BEDC，连接AE交BC于点F，作FG∥BE交AB于点G.

求证：FG=FC巩固练习解：∵FG∥BE∴

△AGF∽△ABE∴

FGEB=AFAE∵FC∥ED∴

FCED=AFAE∴

FCED=FGEB又∵EB=ED∴

FG=FC10、如图，在四边形OABC中，D，E，F分别是OA，OB，OC上的点，连接DE，EF，DF，AC，若∠OED=∠OBA，∠OEF=∠OBC.(1)求证：ODOA=OFOC(2)请你探究：如果△DEF是以DF为底边的等腰三角形，则△ABC是否以AC为底边的等腰三角形？为什么BACDEFO巩固练习ABCMDE11、如图：在△ABC中，点M是BC上任一点，MD∥AC，ME∥AB，若，求的值。

=BDAB25ECAC巩固练习1、【2019•云南模拟】如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AB=9，AC=6，AD=3，若使△ADE与△ABC相似，则AE的长为（）A.2B.

C.2或

D.3或929292解：①若∠AED对应∠B时，AEAB=ADAC即AE9=36解得AE=92②若∠ADE对应∠B时，ADAB=AEAC即39=AE6解得AE=2拓展提升C

2、如图，已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E，F分别是AB和BC的中点，EF与BD相交于点M.求证：MD=2BM拓展提升证明：连接DE∵AB=2CD，AB=2BE∴

CD=BE∵CD∥BE∴

四边形BCDE是平行四边形∴BC∥DE，BC=DE∴

MDMB=DEBF即MDMB