高中数学苏教版解三角形正弦定理苏教版正弦定理（33张）

§1.1正弦定理（二）ContentsPage明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.明目标、知重点(3)a＝

，b＝

，c＝

；(4)sinA＝

，sinB＝

，sinC＝

.1.正弦定理的常见变形：(1)sinA∶sinB∶sinC＝

；填要点·记疑点a∶b∶c2R2RsinA2RsinB2RsinC探要点·究所然情境导学我们应用正弦定理解三角形时，已知三角形的两边及其中一边的对角往往得出不同情形的解，有时一解，有时两解，有时又无解，这究竟是怎么回事？探究点一三角形面积公式的拓展思考1

ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha，hb，hc，那么它们如何用已知边和角表示？答

ha＝bsinC＝csinB，hb＝csinA＝asinC，hc＝asinB＝bsinA.

反思与感悟求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用.另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误.∵A＋B＋C＝π，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC探究点二正弦定理在实际生活中的应用例2如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，求山的高度BC.(精确到1m)解过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.答

山的高度约为811m.反思与感悟运用正弦定理解决实际问题中与高度有关的问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.跟踪训练2一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔间的距离为_____km.解析如图，由已知条件，得AC＝60km，∠BAC＝30°，∠ACB＝180°－(90°－15°)＝105°，∠ABC＝45°.探究点三利用正弦定理判断三角形的形状即tanA＝tanB＝tanC.又A，B，C∈(0，π)，所以A＝B＝C，从而△ABC为正三角形.反思与感悟借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明等.跟踪训练3已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状.解设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得∴bcosA＝acosB.由正弦定理得2RsinBcosA＝2RsinAcosB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，sin(A－B)＝0.∵A、B为△ABC的内角，∴0<A<π，0<B<π，－π<A－B<π.∴A－B＝0，即A＝B.故△ABC为等腰三角形.探究点四正弦定理在几何中的应用证明设∠BAD＝α，∠BDA＝β，∠CDA＝180°－β.在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理，反思与感悟平面几何中的有关计算或证明问题常转化为三角形中的问题，然后灵活运用正弦定理和其他定理加以解决.跟踪训练4如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长.解在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°.∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，12375°当堂测·查疑缺1231231231.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1