第1讲函数极限连续性2015基础

f(x函数的极限有两种变化形式xfi¥,xfixfi¥指:xfi+¥及xfi-xfix指:xfix+及xfi xfi¥设函数f(x)当x大于某一正数时有定义.如果存在着正数X,使得当x满足不等式x >X时,对应的f(x)当xfi¥记作limf(x)xfilimf(x)= limf(x)=limf(x)=xfi xfi limf(x)Axfi按定义作直线yA–e(e0)$X0,当xX时yf(x)的图像夹在yA两直线之间，如图yy Ae-oXxyf(x)在x0的某个去心邻域内有定义f(xAAf(x)当xfix0时的极限记作:limf(x)Axfi此时也称当xfix0时,f(x)的极限存在否则,称当xfix0时,f(x)的极限不存在limf(x)Axfi作直线yAe(e0)存在d0,x^dyyy=f Aoxf(x)在x0的左边附近(右边附近)有定义,若e0$d0,使得当0x0xd(0xx0<d)时f(x)-A<A为,当xfix0时的左极限(右极限0记作:limf(x)Alimf(x)00xfix-0

xfix+

limf(x)= limf(x)=limf(x)= xfi

xfi xfi x£例:f(x)cos

x>

讨论limfxfilimf(x)=limx=xfi xfi而limf(x)limcosxcos0=1xfi xfilimf(x)不存在xfiyy1xfiyxfixyf(x0+0)=limf f(x0-0)=limf xfi xfi 若limf(x0,则称f(x)例:lim10limsinx0limcosxxfi¥ xfi xfi2例如limsinx0是无穷小量;limsinx=1xfi xfi2若a(x)是某个极限过程的无穷小量,f(x)是该过程的有界量,则a(x) f(x)是该过程例：求lim1sinxfi¥|sinx|£1,而lim1xfi¥故lim1sinxxfi¥设某过程,limf(x)0limg(x)0且limf(x)g(x)(1)l0f(x)g(x)的高阶无穷小量(2)l0f(x)与g(x)(3)l=1f(x)与g(x)为等价无穷小量limf(x)l0f(x)g(x)的k阶无穷小;g(x)kxfisinx~xtanx~ arcsinx~ arctanx~ex-1~x1+~1-cosx~1x +xa-1~x-sinx

1x36若limf(x)Alimg(x)B,limf(x)–g(x)=limf(x)–limg(x)=A–limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=A

若B0limf(x)limf(x)g(x) g(x) 若limf(x)A,则在该过程f(x)A+a(x)a(x)是该过程的无穷小量求xfi1+1+1+

1+1+xxfixfixfi2

-1=lim1+ 1+1+ 1+xx 1+x111+x

x2+2

xfi¥ -2imx+52

1+ xfi¥

- xfi

求xfi

4x3-2x2+3x2+

=4x3-2x2+ 4x2-2x =lim xfi

3x2+

xfi

limsinx=1.

xfi

1 1+xfi¥

=xx

(lim1+x = xfi1xfi sinxnxfi0

=lim(１+sinx)sinx xfi0 sinx

xfi0

x=exfi =1求lim(cosxx2xfi lim(cosx)x2 =lim(1+(cosx-1))cosx-1 xfi0 =lim(1+(cosx-1))cosx-1xfi0 -=e1x求limx xxfi

sin解limxsin1

x=1xfi

xfi xlimxsin1= limxsin1=1xfi xfi 0型:limf=0limg(x)0¥型:limf(x)¥limg(x)¥fxgx都存在,且limf=f则lim g)求xfi

x-sinxx3

limx-sinx=lim1-cosxfi

xfi

=lim 1xfi

f(x)在x0某邻域U(x0内有定义且limf(x=f(x0f(x)在x0点连续,xfix0f(x)f(x)在x0间断,x0f(x)的间断点或不连续点;设f(x)在x右邻域U(x)(或左领域U 内有定义limf(x)f(x0limf(x)f(x0 xfi xfi f(x)在x0点右连续(或左连续f(x)在x0点连 f(x)在x0点左连续且右连f(x=|x|

xfi xfi xfi xfilimf(x)=limf(x)=limf(x)=0xfi xfi

xfi=xfiyf(x)=oxyf(x)=oxx-设f(x)x解:f(0=1

,当x0f(x)在x0点是否连续,f(00)limf(x)limx+1=1 xfi xfif(0-0)=lim(x-1)=-1„fxfi故,f(x)在x

y=f1 xfi

x2+ln(4-3x)=1+ln1=4 x2 xfi0 +cosx+ 1+ f(x)x0连续可简单地表示为limf(x)=f(x0)xfif(x)x0有定义f(x)x0的极限存在这三条有一条不成立f(x)x0不连续(间断 讨论f(x)= 当x=0时,的间断点 由于limf(xlim2x0limf(xlimsinxxfi xfi limf(x)=xfi

xfi xfi而f(0)=1 limf(x)„f(0).故x=0为间断点 oxfio1

x 断点。左,右极限中至少有一个不存在的间断点1y1yp02px求y=sin1的间断点, x解:间断点x由于limsin1limsin1都不存在xfi xfi 根的存在定理f(x)在[ab]上连续f(a)f(b0,则至少f(x0的根; A求证：方程sinxx+10在开区间(pp 内至少有一个根证明：设有函数fx)sinxx+1f(-p)=-p；f(p)=2+ f(p fp0，x˛(pp)至少有一点 使得fx0sinxx+10在(pp内至少有一个根 xx x的等价无穷小的选项是[xxA:1-e-

C

D:1-xA:1-e- xB:ln(1+x) CD:1-选

-1 xxxxx 1x2求limln(1xxfi xfi

ln(1+x)

ln(1+xfi 1 =lne=xfi解2

ln(1+

=limx=xfi xfi 求lim x

x3 x2-x+1-解: )=

x3

3

xfi-1

求lim(x2+x2+

-x2x2+x2x2+x2+

-

xfixfi

x2+xx2+xx2x2+xx21-

x2

+

1+x1+1+x1+x2+x2+

+x+1求lim xfi¥x+2x+1 x+2-1解:lim xfi¥x+2

xfi¥x

x+

-(x+2)-=lim1+-1 =lim1+-

xxfi¥

x+2

xfi¥

x+2 -(x+2)x+=lim1xfi¥

x+2

limxfi

-11+解:lim1- lim1+xfi0x3+sin xfi0x3+sin=-1 2xfi0

xfi sin =-1lim1=-2xfi0 设limsinx(cosxb5,求axfi0ex-limsinx(cosx-b5,则limexa0a=1xfi0ex-

xfilimsinx(cosx-b)=limsinx(cosx-xfi0ex- xfi limcosxb5,则bxfiex f(x)sinxlimf(x)xfi解

f(0+0)=limf(x)=lim(ex+1)=e0+1=xfi xfif(0-0)=limf(x)=lim(sinx+b)=sin0+b=xfi xfi故当b2时,f(00