2023届高考数学练习导数的同构思想含解析

2023届高考数学专项练习导数的同构思想

一、单选题

22

1.(2023-全国•高三专题练习)已知函数/(%)=--e'--1-lnT—Inx—kx-+1,对于任意的x]、x2

e(0,+oo)，当为#g时，总有/⑻二"功>2成立,则k的取值范围是()

A.(_8,一曾B.C.(-8,_5]D.(-8,一表]

2.(2023-全国•高三专题练习)已知函数/(x)=—2NCOS4+}(a+1)力'，对于任意的为，x2^(0,-y),

且为Vg都有W(^1)-刈/(电)>0成立,则实数a的取值范围是()

A.(―8,—3]B.(—8,3)C.(—oo,—l)D.(—oo,—i]

3.(2023-全国•高三专题练习)已知函数/(])=xln—+g(x)=—/+—当/£(0,+oo)时，f(1)>

CD

g(z)恒成立，则实数a的取值范围是()

A.[5+8)B.[±,+8)C.[1,+8)D.[e,+oo)

4.(2023-河南洛阳•洛宁县第一高级中学校联考一模)对任意xE(0,4-oo),不等式(a—1)宏+ln(ai)&

e」恒成立，则实数a的取值范围为()

A.(0,1]B.(0,e]C.(0,2e]D.(0,e2]

5.(2023-全国•高三专题练习)若关于x的不等式(a2—a)R+aln力<e“一2alna在(0,+8)上恒成立，

则实数。的最大值为()

A.VeB.eC.D.e2

6.(2023・上海•高三专题练习)若关于久的不等式左詈生一0警>0对VzC(0,1)恒成立，则实数a

的取值范围为()

A.(-8谭]B.[看+8)C[口)D.(0,-|-]

7.(2023-全国•高三专题练习)已知不等式]+aln/+；>z"对xG(1,+8)恒成立，则实数a的最小

值为()

A.-VeB.—C.-eD.-2e

8.(2023春・河南・高三洛阳市第一高级中学校联考阶段练习)已知函数/(%)=*~+-0/一1有两

e

个不同的零点，则实数a的取值范围是()

A.(0，5)B.(0,1)C.[0,1]D.(-8,9)

9.(2023.全国.安阳市第二中学校联考模拟预测)已知关于工的不等式俨mln>+'在(]看)

上恒成立,则正数m的最大值为()

A.—B.0C.cD.1

e

1().(2023春・河南洛陶・方三新安县第一方级中学校考开学考试)已知函数/3)=^—411(3-£1)+

a(a>0),若关于r的不等式/(工)>0恒成立,则实数a的取值范围()

A.(0,e2)B.(0,1)C.(4,1)D,(0,e)

11.(2023春•宁夏石嘴山•高三平罗中学校考阶及练习)已知函数/(*)=aln(±+l)+/,在区间(3,4)

内任取两个实数为，g且为15，若不等式"一一/一一°>1恒成立,则实数&的取值范围为

X\一"X2g

()

A.[-9,+oo)B.[-7,+«>)C.[9,4-oo)D.[7,+00)

12.(2023春・湖北•高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习)若不等式d-ln/-a恒成立，则实数a的取

值范围是()

A.[0,+℃))B.[—1,+<»)C.[-^-,4-co)D.[―e,+oo)

13.(2023春•置庆长寿•方三立庆市长寿中学校校考期中)已知函数/(x)=(x+a)-e"，若对任意x,>g

>1都有双/1(电)一血/(为)V0,则实数a的取值范围是()

A.[-4,+oo)B.[—3,4-0°)C.[-2,4-co)D.[—1,+<»)

14.(2023春•宁夏•商三六叠山高级中学校考期中)已知不等式ae"+In(>0对cC(0,+~)恒成立,则

实数a的最小值为()

A.B.4C.—D.—

2eVeee

15.(2023年•辽宁・ili三辽宁实骏中学校考阶段练习)若关于I的不等式x2+x\na.~aer\nx>0对VxE

(0,1)恒成立，则实数a的取值范围为()

A.(一8,9]B,(0,-^]C.[pl)D.[9,+8)

16.(2023春•湖南祁阳•高三库相市第二中学校背阶&练习)对V/e(4,+8),不等式上—更磬

二0恒成立，则实数a的取值范围是()

A.[看，+8)B.,+8)

C.(一8,0)u[/,+8)D.(-8,0)U底,+8)

17.(2023春・格建福州・高三校联考期中)已知函数/3)=(^+4],对任意的实数皿口£(-8,+8),且

T,*g,不等式“司二〃与)>为+及恒成立，则实数a的取值范围是()

(371IjC?

A.[5，+8)B.序+8)C.(看，+8)D.仔，+8)

18.（2023春•江苏苏州•高三校联考阶段练习）已知a>0,若对任意的工C（皆,+8）,不等式枭"“一

当之》（）恒成立，则实数a的取值范围是（）

A/看,+8）B./+8）C,[l.+oo）D.%,+8）

二、填空题

19.（2023-四川泸州•泸州老春天府中学校考模拟覆测）已知不等式x+alnx+1>工"对工C（1,+°o）

恒成立，则实数a的最小值为.

20.（2023-全国•高三阶段练习）已知不等式e'+alnx>岁+工对任意cC（1,+8）恒成立，则正实数a的

取值范围是.

21.（2023春・江苏南京・南三南京市中华中学校考阶段练习）若关于工的不等式/1（占+工）<6""+

mxm（x一Inrr）恒成立，则实数m的最小值为

22.（2023-全国•高三专题练习）已知aV0,不等式/+%“+alnz2（）对任意的实数:力>1恒成立，则实数

a的最小值为：,.

23.（2023春•江西宜春•高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数fQ）=axlnx-十/一a£（aW0）.

L/~(21)一/(附)|

若V为，（l,e）,且为Xg都有V3.则实数a的取值范围是

ki-x2\

24.（2023春•辽宁沈闲•高三沈阳市第十中学校考阶段练习）若关于X的不等式*一21nz-x2+ar>（）

在（0,+8）上恒成立,则实数a的取值范围是.

x

25.（2023春•福建莆田•高二莆田一中校考期中）已知不等式e+（1-a）x-inx-Ina>0对任意TG

（0,+8）恒成立，则实数a的最大值是.

26.（2023春•天津河东•ili三天津市第七中学校考期中）若对任意x6（（）,+8），都有+2ax>

--L+21n以其中c为自然对数的底数）恒成立，则实数a的最小值为_________.

X

27.（2023春•河南•赤三校联考阶段练习）若cC（0,+8），不等式小一^-x2-x'm+mxinx+-y

（mxlnx）2>0（其中m>0）恒成立,则m的取值范围为.

28.（2023春・浙江杭州・方三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知对任意的/E（1,+8）,不等式上・

（e&"+1）-（1+l）lnz>0恒成立，则k的取值范围是.

29.（2023秋•黑龙江•方二科博一中校考期末）已知函数/（c）=aei-皿土+Ina,若不等式/（工）>

1恒成立，则实数a的取值范围为.

30.（2023-湖北黄石•大治市第一中学校考模拟H测）已知关于T的不等式e“T+a>aln（ax-2a）（a>

0）恒成立，则实数a的取值范围为.

31.（2023秋•全国•南二期木）已知不等式alnz，-；+对任意NG（（）,1）恒成立，则实数a的最

小值为

32.(2023-全国-高三专题练习)完成下列各问

(1)已知函数/(1)=xel—a(x+Ine),若/(%))0恒成立，则实数a的取值范围是

(2)已知函数/(a;)a(i+ln1+1),若/(I)>()恒成立，则正数a的取值范围是

(3)已知函数/⑺=xeT+e—a(x+\nx+1),若/(力)>()恒成立，则正数a的取值范围是

(4)已知不等式xeJ—a(x+1)>In%对任意正数①恒成立，则实数a的取值范围是;

(5)已知函数/(力)=xbeT—a\nx—1—其中b>0,若/(x)>0恒成立，则实数a与b的大小

关系是___

(6)已知函数/(])=aer—\nx—1,若/(c)>0恒成立，则实数a的取值范围是—;

(7)已知函数/⑺=ae，T—]n2c—1,若/(Z)>()恒成立，则实数a的取值范围是

(8)已知不等式er—i^kx+Ini,对Vre6(0,+8)恒成立，则fc的最大值为

(9)若不等式a/+—Iru;—1>0对2>0恒成立，则实数a的取值范围是

33.(2023^9•方三专题练习)已知/(⑼=/冈.设实数馆>0,若对任意的正实数力，不等式/(记工))

/(喏)恒成立，则M的最小值为.

34.(2023-四川泸州•泸州者中天府中学校考模拟演潴)已知不等式T+minx+2""对xG(1,+«>)

恒成立，则实数m的最小值为

导数的同构思想

一、单选题

2

1.(2023*全国-高三专题练习)已知函数/(%)=会2'一ylnT—Inx—kx—卷。+1,对于任意的电、x2

e(0,+oo)，当为wg时,总有3二"攻>2成立，则k的取值范围是()

A.(—8,一卷］B.(-8,一贵］C.(―8,—5］D.(_8,一蚩］

【答案】A

【解析】不妨设电>42,由>2可得出y(xt)—/(x2)>2^1-2X2,

即/(电)-2/>7(X2)-2g,

令g(*)=f(*)—2a;=+e汲一—In%—Ins—fcr—(2++1,其中z>0,

则g(xt)>g(a：2),所以，函数g(2)在(0,+co)上为增函数，

则g'Q)=e2"一炮三士1-fc-(2+-)>0,则-胆土1—口+工)，

xexe

令贴)=*一士1—(2+看),其中力>0,"⑺=2。22+噜=生聿些，

令p(i)=2x2e2x+Imr,其中化>(),所以，p\x)=4x(x+l)e2®+J>。，

所以，函数p(c)在(0,+8)上单调递增，

因为P(_~)—2屋-2—1V,-1VO,p⑴=2e2>0,

所以，存在的€(―,1),使得p(g)=2xoe2x"4-Ing=0,则2xe2x<,=--—lna;=—In—,

e，斯o加。3n

令力(力)=%e］，其中x>0,则t'(x)=Q+l)ex>0,故函数力(①)在(0,+8)上为增函数，

因为窃W(―,1),1<—Ve,所以，0<In—<1,

egx()

2l,,

由2a:()e=—In—可得£(2g)="ln~L),所以，2g=—Ing,可得&%=工，

gXg,的，x()

且当0ViVn()时，h\x)<0,此时函数九(出)单调递减，

当⑦>g时，"(c)>0,此时函数八(］)单调递增,

所以,岫嬴=MM=e-»-塔土工一(2+卷)=匕(；2崛_(2+1)=-1,

所以，k4-"

故选：A.

2.(2023・全国・高三专题练习)已知函数/(i)=-2xcosx+-1-(a+l)z”,对于任意的,x2E(0,

且21Vg都有42f⑶)-^i/(^2)>0成立,则实数a的取值范围是()

A.(—8,-3]B.(-8,3)C.(―8,—1)D.(—oo,—l]

【答案】A

【解析】令gQ)=,则gQ)=-2cosx+J~(a+1)/,

Ju/

由题意知对于任意的Xi,(0,，且eVg都有X2/(X1)-xj(x2)>0成立,

即>"；?，故g(刈))g(g),即9(乃=1/是(0,y)上的单调减函数；

故4(%)=2sinrr+(Q+l)cW0在/G(0,-y)时恒成立，

即亘詈《一号」在ce(0,y)时恒成立，

f

设《=sini-xyxE(0,号)，则y=cosx—1<0,xE(0,,

故?/=sinx—x,x€(0,爰)单调递减,所以sin%—x<0,

即0cs•mx</x,xuG/(0八,-兀y、I,..-si-n—x<J11,

所以一旦>>1,即aW—3,

故选:A

3.(2023・全国・高三专题练习)已知函数/(1)=xln—+aer,g(力)=—"十%,当xE(0,+8)时,f(x))

g(±)恒成立，则实数a的取值范围是()

A.信会B.已，+8)C.U+8)D.[e,4-oo)

【答案】B

【解析】当1W(0,+oo)时，由/(①)>g(c),可得cln0+ae”>—

不等式两边同时除以力可得Ina—Ina+ex+,na-ln;r>-x+1,

即e"】ni+力+ma-Ini-1>0,

令力=0+Ina—InT,h(t)=e'+±—1,其中力GR,h!(t)=ef+1>0,

所以，函数以t)在R上为增函数，且九(0)=0,由九⑴二0,可得OO,

所以,对任意的土>0,x+Ina—hix>0,即Ina>\nx—x,

11—个

令p(c)=Inc—4,其中0,则p'Q)=——1=-,

当OCzVl时，p'(a;)>0,此时函数pQ)单调递增，

当立>1时，p'(x')V0,此时函数p(c)单调递减，

所以，lna>p(s)n)ax=p(l)=-1,解得2看.

故选：B.

4.(2023-河南洛沟•洛宁县第一高级中学校联考一模)对任意x6(0,+8),不等式(Q-l)x+ln(w)<

c“恒成立，则实数a的取值范围为()

A.(0,1]B.(O,e]C.(0,2c]D.(O.e2]

【答案】B

【解析】由(a—l)x+In(ax)We",则ax+In(ax)&e,+Ine1,

因为y=/+Ina;在(0,+8)上为增函数，所以a±We'，即a4三对任意x6(0,+<»)恒成立，

JC

设函数九(%)=~9则"(1)=C；2"，

由〃(£)vo可得ovivi,由WQ)>0可得名>1,

所以无(算)在(0,1)上为减函数，在(1,4-00)上为增函数，所以Q&九(a)min=MD=。>

因为ar>0对任意的xE(0,+8)恒成立，所以a>(),

所以0Va<e.

故选：B.

5.(2023-全国•高三专题练习)若关于x的不等式(a2—a)x+a\nx<e7—2alna在(0,+8)上恒成立，

则实数a的最大值为()

A.VeB.eC.V?D.e2

【答案】A

【解析】由已知可得a>0,c>0,由(a?-a)c+alnxWe"-2alna可得(a—1)步+lns^e:c_|na—

21na,

所以，，工一加0+4—Ina>ax+Ina?+Ina=eIni+Ino4-Inc+Ina,

构造函数/(©)=e*+c,其中c€R,则/⑸=ea:+l>0,

故函数/(c)在R上为增函数，由e1n0+x-\na>eIn^lna+\nx+Ina可得fQ-Ina)>

f(lnx+Ina),

所以，x-Ina>hix+Ina,即21IIQ4a一Inx,

令gQ)—x—\nx,其中力>0,则g\x)=1——=———

cZzx

当0<rc<l时,g\x)VO,此时函数g(i)单调递减，

当C>1时,"(0)>(),此时函数gQ)单调递增，则g(])min=g(l)=1,

21na&1,解得0VaW正\故实数Q的最大值为Ve.

故选：A

6.(2023-上海•南三专题练习)若关于立的不等式.“a_吟与>0对V劣e(0,1)恒成立,则实数a

的取值范围为()

A.(-8谓]B,[1,+oo)C.[^,1)D.(()，5]

【答案】B

【解析】由题设可得3号>皿，令f(⑻=乎，则/(ae。>/(⑼在(0,1)上恒成立，

由/'(0=1,?力，在(0,e)上/'(⑼>0;在(e,+8)上/，(⑼<0；

所以/(土)在(0,e)上递增；在(e,+<»)上递减，且/(I)=0,

在(0,1)上/(立)<0,(!,+<»)Jzf(x)>0,而a>0,

所以，只需ae">a;在(0,1)上恒成立，即a>三恒成立，

令g3)=%，则成立)=1工①>0,即。㈤在(。」)上递增，故an⑴=卷

故a的取值范围为[《,+8).

故选：B

7.(2023>全国•商三专题练习)已知不等式;r+alna:+1>±"对x€(1,+8)恒成立，则实数a的最小

值为()

A.-VeBC.—cD.—2c

2

【答案】C

【解析】因为x4-a\nx+-^>xa,

i

所以nH-->xa-a\nx=xa—lnxrt,

即2Tn(2)>xa-\nxa,

构造函数/(7)=x—\nx,x>0

所以

小)=1制=得，

令r(a;)>0,解得：4>1,令f'Q)V0,解得：0Va;<l,

故/Q)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

当4>1时，0<土<1,立。与1的大小不定,但当实数。最小时，只需考虑其为负数的情况，此时0<

xa<l

因为当OVrrVl时，/(。)单调递减，

故士V*

两边取对数得：—x<alnx(T>1)

・・。>一证,

令g(M=一焉，则9'⑸=方需'，

令g，(c)>0得：1Va:Ve,令g，(c)V0得：e,

所以9(力)在(1,e)单调递增，在(e,+8)单调递减,

所以gQ)&g(e)=-e

故Q的最小值是一e.

故选:C

8.(2023春•河南•高三洛阳市第一方级中学校联考阶段练习)已知函数/(立)=?+Inrr—ac—1有两

e

个不同的零点，则实数。的取值范围是()

A.(0，!)B.(0,1)C.[0,1]D.(-8,:)

【答案】A

【解析】由题意得/(①)=~77+Inx—ax-1=^nx~ax+Inx—ax-l,rr>0,

令g(t)=e'+力-1,g'«)=ef+1>0,该函数在A上为单调增函数，且g(0)=0,

故函数/(力)=-77+Inx—Q/—1有两个不同的零点，即力=Inx-QC有两个不同的零点,

e

令1=\nx—arc=0,(%>0)即直线9=a与h(x)=(x>0)的图象有两个不同交点，

又"3)=^——维二当OVaVe时，hf(x)>O,/z(x)递增，当2>6时，h![x)<0,^(x)递减,

x

则无3)max=g当⑦>0,1—0时,”⑼=1^£一—8,

作出其图象如图：

由图象可知直线g=a与八3)=e",(%>0)的图象有两个不同交

点，需有aW(0,1),

故选：A.

9.(2023.全国•安也市第二中学校联考模(测)已知关于x的不等式①"i+1&mln：+d在。君)

上恒成立,则正数小的最大值为()

A.—B.0C.eD.1

e

【答案】C

【解析】xtn~]+1变形为xtn+x^m\nx+ex,

x。

即xm-\nxm<e”-Ine”,

其中M>0,oE(l,e3),故l,ex>1,

令/«)=t-lnt(t>1),则有/(力刃&f©),

因为r⑴=1—y=与工>0在1上恒成立，故/⑴=±-In力在方>1上单调递增，

故力"'We，两边取对数得：minxx,则^―,

X772

令。3)=4二，则。'⑸=1一严，故当立C(l,e)时，g'®>0,

当⑦€(e,+oo)时，g\x)<0,

故g(c)=鱼丝在％e(i,e)上单调递增，在(e,+<»)上单调递减，

g(c)=尘3在a?=e处取得极大值，也是最大值，g3)max=1,

所以《解得：0<m<e,故正数7n的最大值为e.

故选:C

10.(2023春•河南洛用•方三新安县第一高级中学校考开学考■试)已知函数/Q)=屋一aln(a,-a)+

a(a>0)，若关于：r的不等式/(0>0恒成立,则实数a的取值范围()

A.(O,e2)B.(0,1)C.(-j-,1)D.(0,e)

【答案】A

【解析】因为a>0,由/(i)=ex—aln(ax-a)+a>0,可得兀—Ina—ln(x—1)+1>0,

所以，eI-Ina+x—Ina>x—1+ln(x—1),

令gQ)=e*+其中①£R,则g'Q)=ex+1>0,所以，函数g(c)在R上单调递增，

由ex-lntt+x-\na>x-l+ln(x-1)可得g(x-Ina)>g[ln(c-1)],

所以，c—Ina>ln(x—1),所以，InaV%—ln(c—1),其中夕>1,

令九(化)=x—ln(i—1),其中1,则”Q)=1-----j-=——j-.

当1<工<2时，"(z)<0,此时函数九(为单调递减，

当工>2时，M(c)>0,此时函数单调递增，

所以,h(x)min=九(2)=2,所以,InaV2,解得0VaVe?.

故选：A.

IL(2023春•宁夏石嘴山•高三平罗中学校考阶段练习)已知函数/(二)=alnQ+1)+/,在区间(3,4)

内任取两个实数：5，g且4若不等式人为一))—〃)—D>1恒成立，则实数a的取值范围为

X\一X2

()

A.[―9,+8)B.[—7,4-oo)C.[9,4-oo)D.[7,+8)

【答案】A

【解析】不妨设3V力]<①2V4,

则/(的一1)一/(电-1)V〉一如

即/(为-1)一①1</(电-1)一力2,

令g(%)=f(x—1)-x=alnx+(力—I)2—x

=a\nx+x2—3x+l,

则gQi)vg(g),

・・・g(c)在(3,4)单调递增，

g'(%)=1+2%—3>0对/£(3,4)恒成立，

而,(3—2x)恒成立，

令九(%)=/(3—2])，xG(3,4),

则Mr)在(3,4)单调递减，

h(x)<九(3)=—9,

/.Q2—9,

a的取值范围是[-9,+8).

故选:A

12.(2023春•湖北・高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习)若不等式ci>Inc-a恒成立,则实数a的取

值范围是()

A.[0,+oo)B.[—l,+oo)C.[—~D.[―e,+8)

【答案】B

【解析】构造/(⑦)=ex+x,

则/(⑼在H上显然递增，

由e"a>lmr-a得

ex+a+a+%>Inc+x,

即ex+a+a+c>elnx+Ina;,

，c+Q>Inx,

a^lnx—xy

令g{x}=\nx—x{x>0),

则"3)=!-1=与二

由g'Q)>0得OVuVl,g(rc)递增,

由g'(x)V0得c>1,g(x)递减，

・••gQ)max=g(i)=-1,

(1—1.

故选：B.

13.（2023春•置庆长寿•高三重庆市长寿中学校校考期中）已知函数/㈤=（I+a）•e“，若对任意为>g

>1都有//（双）一GJ（刈）VO,则实数a的取值范围是（）

A.[—4,+oo)B.[-3,+«>)C.[-2,4-00)D.[-1,+°°)

【答案】A

【解析】由条件对任意为>的>1都有电/（g）-g/（珀vo,化为,

X]2/2

构造g（a:）=①，则y=<y（x）在（l,+8）上单调递增,

.R-—加

>0在（1,+8）上恒成立,

x

X2

。>o,即一aW在（1,+8）上恒成立,

X—1

/(i)22(a;-1)+1

令h(x)=x+=(工-1)+Jy+2,

x—1x—1

>1,x-1>0,

/.（3；-1）+彩万+2>4,当且仅当力=2时取等号，

八（工）=（X—1）+L+2>4,当且仅当rr=2时取等号,

aW4,a>—4,故3,。，£>错误.

故选：A.

14.（2023春•宁夏•高三六叠山商级中学校考期中）已知不等式ae，+In|>0对；rC（0,+8）恒成立,则

实数a的最小值为（）

A.4B.4-C.—D.—

2eVeee

【答案】C

【解析】丁ae"+In羡>0,/.ae*+Ina—lnx>0,aex-klna+x>x+Inx,即aex+}n(aex)+

hire,

令/（%）=i+lnc（宏>0）,则不等式化为f（aex）>/（支）,

•./⑺=1+5=小，

当x>0时J'Q）>0,"（6）在（0,+oo）上单调递增,

:.aex^x,即三，

令gQ）=今，则。'（乃=+产，

令g'(c)=0,解得2=1,

当0VuV1时,g'(x)>0,gQ)单调递增；当人>1时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

所以9⑸max=9⑴=9，

所以

实数a的最小值为

故选:C

r

15.(2023春•辽宁•高三辽宁实贬中学校考阶秋练习)若关于x的不等式/+x\na-ae\nx>0对V，C

(0,1)恒成立，则实数a的取值范围为()

A.(―8,十］B.(0,1］C.［卷1)D.已,+8)

【答案】D

【解析】由x~+x\na-aerAnx>0,可得x\n(ae")—aex\nx>0,

即>等，令f(0=等，则〃ae')>〃⑼在(0,1)上恒成立，

所以/'(re)=1一严,由f⑸>0可得工e(0,e),由f(x)V0可得;re(e,+8),

X

所以/(7)在(0,e)上递增，在(e,+8)上递减，且/(I)=0,

在(0,1)上,㈤<0,(1,+℃>)上/(工)>0,而a>0,

所以，必须且只需ae,>2；在(0,1)上恒成立，即a>三恒成立，

令*)=今，则g'(I)=，^>。，即在(°」)上递增，

故a\g⑴=9，

故a的取值范围为［卷，+8).

故选：D.

16.(2023春•湖南邳阳•高三邳相市第二中学校考阶段练习)对Vxe(4,+8)，不等式—史磬

)0恒成立，则实数a的取值范围是()

A.［看，+8)B.［5+8)

C.(一8,())u［；,+8)D.(-8,0川［白+8)

【答案】C

【解析】当a<0时，Va；e(1,+8),.e">0,"(叫<0,故］_小一4一⑼)()显然成立.

当a>0时，不等式Je*-ln(2T■-0恒成立，即-yeaI>里也1成立，即ae">21n(20,进而转化为

arre">2cln(2/)=成止)・ln(2rr)恒成立.

令g(2)=xex,则g'(c)={x+l)eT,当工>0时，g'(c)>0,所以g(c)在(0,+°0)上单调递增，则不等式

1⑻ln(2c)

>0恒成立等价于g［ax)>g(ln(20)恒成立.

Te-----a---

因为a>0,力W(子，+8)，所以Q%>0,ln(2%)>0,所以ln2z对任意的x€(},+8［恒成立，所

以盖磬恒成立.

设h(t)=毕(t>1),可得h\t)=1一叫当1<tVe时，h'(t)>0,h(t)单调递增；当t>e时，h'(t)

工L

<0,h(t)单调递减.所以当t=e时，函数九⑴取得最大值，最大值为h(e)=卷，此时2工=e,所以当

>_1_,解得<1>_|_,即实数<2的取值范围是［看+8).

综上实数a的取值范围是(-8,o)u［看，+8).

故选:C

17.(2023春•福建温州•高三校联考期中)已知函数/Q)=ae"+4c,对任意的实数sbx2G(-oo,+oo),fi

为#6,不等式“"ID>为+g恒成立,则实数a的取值范围是()

£C］272

A.［看,+8)B.［看,+8)C.(！,+8)D.信,+8)

【答案】B

【解析】不妨设C|>g,由—~>电+6,得f(g)一/(g)>x'i-x'2,

X\—X2

即/(如一/〉/3)一成

令g(c)=/(/)一比2,所以对任意的实数如gw(-8,+8)仍>g时，都有g(皿)>g(g),

即g{x}在(—oo,+oo)上单调递增，所以g'(c)=aex—2x+4>0在0G(―8,+8)上恒成立，

即Q>2、a.在1G(—8,-|-oo)上恒成立.

ex

令从工)=组三生.则“3)=显笠，

ee

令”(力)>0,解得力V3,令"(c)<0,解得x>3,

所以九(①)在(-8,3)上单调递增，在(3,+8)上单调递减，

99

所以62),皿="3)=菽,所以a>/，

即实数a的取值范围是［詈,+8).

故选：B.

18.(2023春•江苏苏州•方三校联考阶段练习)已知a>0,若对任意的工e层,+8),不等式

色詈■》()恒成立，则实数a的取值范围是()

A/看,+8)B.号,+8)C.［1,+(»)D.［+,+8)

【答案】A

【解析】因为a>0,不等式^^如一色/2>0恒成立，即--eax^成立，即aeax^21n(2c),进而

转化为axem>2x\n(2x)=eln(2x)-ln(2x)恒成立.

令g(rc)=xex,则gf(x)=(。+l)ex,当2>0时，g\x)>0,所以g(c)在(0,+o°)上单调递增，则不等式

-^-eax-色>0恒成立等价于g(QN)>g(ln(2i))恒成立.

因为Q>0,力€(今+8)，所以Qi>0,山(26)>0,所以Q2>ln2%对任意的x€(g,+8［叵成立，所

以万•>一^—恒成工

设九⑴=1),可得"⑴=J~察^.当1VtVe时，”⑴>0,h(t)单调递增；当方>e时,hr(t)

。t

<0,/z(i)单调递减.所以当t=e时，函数八⑴取得最大值，最大值为/z(e)='|■，此时2；r=e,所以等

>5，解得&>看,即实数a的取值范围是+°°).

故选:A

二、填空题

19.(2023•四川泸州•泸州者*天府中学校考模拟演浏)已知不等式x+a\nx+2>对工e(1,+8)

恒成立，则实数a的最小值为.

【答案】-e

【解析】因为ic+alna:对ce(1,+8)恒成立，

e，

1

所以id—^^/一Qlne=o：a—In1”对1G(1,+oo)恒成立，

即HIn/。对出E(1,4-oo)恒成立,

构造函数/(c)=%—Inc,①>0,

所以/(誉)>/(/),

又因为(3)=1一工=三二工

令J'3)>0,解得：x>l,令尸⑸V0,解得：0<x<l,

故/Q)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

1

当立>1时，ovvia与1的大小不定,

但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况,

此时0

因为当ova:VI时,/Q)单调递减,

故士V*

ex

两边取对数得：—x<alnT(T>1),

所以此一麻

令9(±)=一高，

则。，㈤=1二喙

」9⑺Qn。，

令g，(c)>0,得：1VcVe,令g，(c)<(),得：4>6,

所以gQ)在(1,e)单调递增，在(e,+°o)单调递减,

所以g(z)&g(e)=-e,

故Q的最小值是一e.

故答案为：一e

20.(2023-全国•方三阶段练习)已知不等式+alnrr>%"+1对任意xE(1,+8)恒成立，则正实数。的

取值范围是.

【答案】(0,e]

【解析】不等式e”+a\nx>①“+c可变形为一%>力。一alnc=ealnT-a\nx.

因为a>0且力>1,所以a\nx>0.

令/(〃)=eu—u[u>0),则/'(a)=ew—1>0.

所以函教/(〃)在(0,+8)上单调递增.

不等式e”—泗11'—a\nx等价于/(i)^f(ahix),所以alnc.

因为劣>1,所以a&卷.

设g(°)=>0>则g'S)=隔帚，

当zW(l,e)时，g'Q)<0,函数g(c)在(l,e)上单调递减；

当笛C(e,+8)时，g'(x')>0,函数g(c)在(e,+oo)上单调递增.

所以g(E)min=g(e)=e，所以OVa&e.

故正实数a的取值范围是(0,e].

21.(2023春•江苏南京•南三南京市中华中学校考阶段练习)若关于，的不等式2m(e，+c)&e”"+

7m(工一ln±)恒成立，则实数m的最小值为.

【答案】曰

[解析]:勺>0,不等式两边同时除以①m,得:ex+T<——+m(x—\nx)

x

：.ex+x<+m(x-Inx)；.e，+1&enM-mlnx+m(x-Inx)

x

...e+x<e'M'TnG+^(立一inx)①

令/(6)—e"+6,可知/(①)单调递增.

①式等价于/(力)—Inc))恒成立

x^m(x—Inx)恒成立.

构造8(①)=力一lna(£>0),则((){x)=」&।,故当xG(0,1)时夕'(/)<0,

当/G(1,+8)时夕'(0)>0,所以夕(。)=x—lnx(x>0)在i=1时取得最小值.

Fp(p(x)=x—Inx>^)(0)=l>0,：.x-\nx>0

m>----1----恒成立

x—inx

令。(乃二区奇启侬,。)

T-lncc-x(l-Yi_i

•±-)—-i1口n—T—

"(x—lnx)2(x-lnx)2

当①e(0,e)时,gr{x}>0,9(x)单调递增；当②€(e,+8)时，gr(x)<0

Jg(力)单调递减;

・・.g(c)的最大值为g(e)=不三]，《三「故实数m的最小值为.

故答案为：鼻

22.(2023-全国•南三专题练习)已知aV(),不等式心小靖+alnx>0对任意的实数x>1恒成立,则实数

Q的最小值为：.

【答案】-e

【解析】力"k'+alni>0,I.xeT>—=—a\nx•e~a}nx

xa9

构造函数/(%)=比］，显然/(c)在(0,+8)上单调递增，

故/(1)>/(—alnx)等价于力>—aln①，即一任意的实数c>l恒成立，.

令93)=卷，,>1则9'㈤

6

故g(c)在(1,C)上单调递减，在(e,+oo)上单调递增，gQ)min=C,得(—j^)rnax=-・

故答案为：一e

23.(2023春•江西宜春•高三江西霍丰城中学校考阶段练习)已知函数f(x)=axlnx--r2-ax(aW0).

若V⑻，z,€(l,e)，且⑻#勿都有火：)一，(7)1<3.则实数a的取值范围是