2023届江西红十校高三9月联考理数答案等

江西“红色十校”2023届高三第一次联考

数学理科

一、选择题

1.己知集合A={」,1,2,3},3={X[(X—1)(X-2)>0},则AC|8=()

2

A.{3}

B-{p3}

C.{1,3}

D.{253}

答案：

B

解析：

因为A={g』,2,3},B={x[(x—l)(x-2)〉0}={x|x<l垢〉2},所以AB={g,3},

故选B.

2.若复数z满足z(2-i)=5i,则z的虚部为()

A.2i

B.-2i

C.-2

D.2

答案：

D

解析：

因为z(2—i)=5i,所以z=W=(2+i>5i=_]+2i,故z的虚部为2,故选D.

2—i5

3.下图是国家统计局7月发布的2021年6月至2022年6月规模以上工业原煤产量增速的

月度走势，其中2022年12月看作1个月.现有如下说法：

①2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势；

②2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为5.9；

③从这12个增速中随机抽取2个，增速都超过10的概率为

33

则说法正确的个数为()

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：

I)

解析：

从2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势，故①正确；

2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为竺上尝=5.9，故②

2

C25

正确；从这12个增速中随机抽取2个，都超过10的概率？=号=二，故③正确，故选D.

C%33

4.函数/(%)=厂+825的部分图象大致为()

sinx

答案：

A

解析：

因为/(—x)=(X)+025.=_x+0.25=_/(制,所以/(幻为奇函数，故排除C,D；又

sin(-x)sinx

故排除B,故选A.

5.第五届中国国际进口博览会在上海举行，组委员会安排5名工作人员去A，

8等4个场馆，其中A场馆安排2人,其余比赛场馆各1人，则不同的安排方法种数为()

A.48

B.60

C.120

1).240

答案：

B

解析：

分为两步，第一步：安排2人去A场馆有种结果，第二步：安排其余3人到剩余3个场

馆，有A；种结果，所以不同的安排方法种数为C；A；=60,故选B.

a—x

6.设函数/(%)=——(。。0),若g(x)=/(x-1)+1是奇函数，则/(2022)=()

a+x

2022

A.------

2021

c2021

B.-------

2023

c2022

C.-------

2021

2021

D.-------

2023

答案：

B

解析：

,」/曰/、［、ix+112aPH/、2a注*

由已知可得g(x)=/(x-l)+l=---------+1=----------，贝|Jg(一幻=----------.因为

CL~\"X—1X+4Z—1—X4~CI—1

g(x)是奇函数，所以g(x)+g(—x)=——+——--=0,因为解得a=l,

X+Q—1—X+d—1

所以/(x)=W，所以/(2022)=—黑，故选B.

2

7.设。b=0.8°3,c=log0.8,则()

V309

A.c>a>h

B.a>c>b

C.a>h>c

D.c>b>a

答案：

A

解析：

因为班>1且%〈我=2,所以l<a<2,Z?=O.*3<1,c=log090.8>log090.81=2,

所以c>a>〃，故选A.

TT

8,将函数/(九)=4cos(ar+0)(A>0,力>0,-4<"<0)的图象上所有点向右平移一个

6

7T

单位长度，得到如图所示的函数y=g(x)的图象，则/(0)+/(7=()

A.0

B.1

C.2

D.—1

答案:

c

解析:

jrmjr

依题意，g(x)=AcosQ(x--)+e]=Acos(s:-----+*),故A=2,又g(x)的周期T

66

T7T7T27r7T

满足人=土，得T=/r,所以』二乃，得刃=2,所以g(x)=2cos(2x—2+°),又

4312co3

g(5)=2,得2x。一^+9=2左乃，k&Z,又一乃<Q<0,所以/=—?,所以

TTTTTTTT

/(x)=2cos(2x-y),所以/(0)+/(W)=2cos(—W)+2cos：=2,故选C.

9.“寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同

一天(如夏至)的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影

差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离.如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面

上的A,8两地竖起高度均为a寸的标杆AE与BF,AC与分别为标杆AE与8尸在

地面的影长，在按影长AC与80的差结合“寸影千里”来推算A,8两地的距离.记

JT

ZCEA=a,ZBDF=^<--a),则按照“寸影千里”的原则，A,8两地的距离大

约为()

100asin(a+£)

-----------—里

sinasinp

1000asin(a+尸)

------------—里

sinacosp

1000acos(a+/?)

----------------里

sinpcosa

lOOOacos(a+0

D.----------------------------

cosacosB

答案：

C

解析：

由题意可知AC=AEtana,=所以AC="——AEtana

tanptan°

acos(3asina_a(cos(3cosa-sinasin/)_Qcos(a+(3)

，所以可以估计A,B两

sin(3cosorsin夕cosasin/?cosa

地的距离大约为(8。—AC)x1000=100°"侬9+0里,故选c.

sin-cosa

10.已知工>0,y>0,满足/+2xy-l=0,则3x+2y的最小值是（）

A.V2

B.6

C.273

D.2V2

答案：

D

解析：

1x2

由尢2+2划一1=0,得丫=-----,而x>0,y>0,则有0〈尢<1,因此，

2x

3x+2y=3x+^—^-=2x+->2.l2x^=2y/2,当且仅当2》=!，即％=①时取等号,

xx\xx2

所以3x+2y的最小值为2啦.故选D.

11.已知三棱锥产一ABC的顶点都在球。的球面上，A3=3C=2,NA3C=120°,若三

棱锥P-48C的体积最大值为2,则球。的半径为（）

A.y/3

Bg

3

r2V3

3

D.迪

3

答案：

D

解析：

设AABC的外接圆圆心为。「依题意可知A40f为正三角形，所以圆。1的半径

r=AB=2,设球。的半径为R,因为。。J_平面ABC,所以Oq=依-户=依-4,

当三棱锥P-ABC的体积最大时，三棱锥P-A5C的高等于。。1+/=J/?2—4+/?,所

以"川-1■■•.■7+R)=2,行J*-4+/?=2方,解得

R=----,故选D.

3

12.若曲线旷=/一|与曲线y=a正在公共点处有公共切线，则实数”=()

A叵

e

B.立

e

2

C.一

e

D.1

e

答案:

A

解析:

设公共点为P(s,t)，y=e'T的导数为y=ex-',在P(s,t)处的切线斜率k=e1'1；y=

的导数为>'=、=，在P(s,f)处的切线斜率&=竟.因为在公共点处有公共切线，所以

a

小品—"心所”2y/s,即a\[s=-9产，解得s=—,所

7—2,yJs2

=a>Js

,解得。=,故选A.

二、填空题

1工一如向hlm=(a.a-2).〃=(u-2.4),11,nY(ni-n),则实数(i二

答案：

2

解析：

)n-n-(a.a$2)-(a-2.4)-(2.a—2).川为nJ_(/〃一〃)，所以

2X(〃-2)+(Q-2)X4=0,解得Q=2.

14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为尸，点尸到直线2:2x—y-3=0的距离为

―,则p的值为.

答案：

2或4

解析：

由已知可得尸(弓,0),到直线2x—y—3=0的距离为=白，解得〃=2或〃=4.

15.已知a,p6(0,—),sina+3sin(a-24)=0,则咽丝——=

2tan/?

tan(。一24)的最小值是.

答案：

]_

2

_V2

一丁

解析：

由题意得,sin[(a—4)+尸]+3sin[(a—4)—4]=0,

/.sin(a一0)cos0+cos(a-/?)sinp+3[sin(a一0)cosp-cos(a-p)sin尸]=0,

2cos(a-。)sin(3=4sin(a-B)cosP,tan，=2tan(cr一B)，所以⑦"。~~—二L

tan°2

又tan(a—2/?)=tan[(a—/?)—/7]=39一月)—1仙"，设1抽夕二》〉。，则

1+tan(a-/3)tanp

tan(a—尸)=gx,所以tan(a—2/?)=—三二—三云一=一日，一当且仅当x=0时取

等号，所以tan(a—2/?)的最小值是一注.

4

16.韩信是我国汉代能征善战、智勇双全的一员大将.历史上流传着一个关于他点兵的奇特方

法.有一天，韩信问有多少士兵在操练，部将回答：三三数之，剩二；五五数之，剩三；七

七数之，剩四，韩信很快就知道了士兵的人数.设有个士兵，若机e[2021,3021],符合

条件的"?共有.个.

答案：

1()

解析：

由“三三数之，剩二”知，机是等差数列5,8.11,14,中的项，其中满足“五五数

之，剩三”的最小数是8,故，”是等差数列8,23,38,53,中的项，其中满足“七

七数之，剩四”的最小数是53,故机是等差数列53,158,263,368,中的项，通

项公式q=53+105(〃—1),令2021453+105(〃一1)43021,解得20W/W29,且

neN*，故符合条件的机共有10个.

三、解答题

17.在①a2=5,S“+]+S,i=2S„+4(??>2,neN"),

qq

②2=4+2,

n+1n

③(4〃+1)4Z„=(4/i-3)a”+1

这三个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答问题.

已知数列伍“｝的前〃项和为S“，q=l,且-----------

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若切是鬼,。,用的等比中项，求数歹I"2｝的前〃项和

答案：

见解析

解析：

⑴若选①,则由S〃JS〃T=2S“+4,得S〃+「S〃=S〃一S,I+4,

即4川=4+4,即—4=4(〃22,〃EN"),

又622—4=4,

所以｛〃“｝是以1为首项，4为公差的等差数列，

%=1+4(〃-1)=4/?-3,

所以｛%｝的通项公式为an=4n-3.

若选②，由=叱=j+2得口比——^=2,

n+1nn+ln

所以｛2｝是以a=1为首项，2为公差的等差数列，

n1

所以&>=1+2(刀-1)=2鹿一1,则5“=2"—〃，

n

当〃22时，a“=S"一S“_]=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3,

当〃=1,q=l满足上式，

所以｛%｝的通项公式为a,=4/2-3.

若选③，由(4〃+l)a„=(4/?-3)a„+l,得(4〃-3)an_1=(4〃-7)a,(〃>2,n&N*),

〜，4n-34n-34n—74n—34〃—74〃—115.

所以=------a.=------------------=--------------------------------------a.=4n-3o

"4n—7n'4〃-74/1-11"24〃-74n-ll4〃-1511

当〃=1时，q=1满足上式，

所以｛a“｝的通项公式为4=4〃-3.

(2)依题意凿=anan+i=(4n-3)(4〃+1),

111,11、

所以-r=------------------=一(--------------),

Y(4〃-3)(4〃+1)44〃-34n+l

所以[=--H7+-I~—[(1)+(------)++(-----------------)J

"b；b；b；45594M-34n+l

1n

)

40-4〃+14n+l

18.如图，在四棱柱P—ABC。中，PAJ_平面ABC。，底面四边形ABC。是正方形,

Q4=AD,点E为PC的中点.

(1)求证：AC_L平面BOE；

(2)求平面BDE与平面PC。所成锐二面角的大小.

答案：

见解析

解析：

(1)证明：设AC与8□的交点为0,连接0E.

因为底面四边形ABCD为正方形，所以ACJ.3D,AO=CO.

又点E为PC的中点，

所以OE//PA.

因为B4_L平面ABCD,所以OEJ•平面A3C。，又ACu平面4BCD,

所以ACJ_OE.

又BDOE=O,

所以AC_L平面BDE.

(2)解：设AD=2,则9=AB=3C=CD=2.

以A为坐标原点，AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直

角坐标系4一型，则4(0,0,0),0(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),

可得。户=(0,—2,2),DC=(2,0,0),AC=(2,2,0).

由(1)知，平面8OE的一个法向量为AC=(2,2,0).

设平面BDE与平面PCD所成锐二面角为。，

「\n-AC\|0x2+lx2+lx0|1

cos3--------

I"IIAC|Jo。+f+•xx/22+2;+022

TTTT

因为。£(0,二)，所以。=代，

23

TT

即平面3DE与平面PC。所成锐二面角的大小为

3

19.在A4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

acosA=/?sinB+csinC—2csinBcosA.

(1)求A；

(2)若a=6，sinB=,求b和c.

4

答案：

见解析

解析：

(1)设AABC的外接圆半径为R,

ahc

由正弦定理一/二-^=」一=2R,

sinAsinBsinC

得a-27?cosA=b2+c2-2cbeosA,

-7；M余/定理a2=b2+c1-2/?ccosA,

得a・2RcosA=〃2,因为

所以27?cosA=Q=2AsinA,得cosA=sinA,

TT

因为A£（0,〃），所以A=一.

4

na

（2）由（1）知4=一，所以2R=——=2,

4sinA

V2_V2

所以/?=2Rsin5=2x

乂县跳丝

由余弦定理/=/+<?-2c/?cosA得,

222

即2c2-2。-3=0,

1+\/1„1—..

解得c=-------或。=------（舍去）.

22

1+77

综上，b=—

22

221(。＞方＞0)的离心率为半，且过点(0,1).

2。.设。为坐标原点,椭圆U7+方

(1)求C的方程；

3

(2)若直线/:%=以+/与。交于P,。两点，且AOP。的面积是晨求证：2m2-k2=9.

答案：

见解析

解析：

A

(1)由题意得，＜

sia1-h220，

a3

所以。的方程为三+丁=1.

9-

r2+9v2=9

(2)证明：由《'，消去x得(公+9)丁+2切iy+"?2-9=0,

x=ky+m

-2km

%+为=中

设P(XQl),QH，必)，则2C，

m-9

所以|P。|=Jl+/-J(x+必)2-4必必=6^+k-^k^9-

点。至I"的距离d=JI

Jl+二

22

/NGl,nz.,73\m\Jk+9-m3

所以=-----------------=5,

所以4/一4加2/2+9)+(/+9)2=o

即[2/〃2一(％2+9)]2=0,

所以2/一二=9.

21.已知函数/(x)=e*T-Inx.

(1)求/(x)的极值；

(2)若函数g(x)=/(x)-a(x-l),aeR,求g(x)的极小值的最大值.

答案：

见解析

解析：

(1)函数的定义域为{x|x>0},f'(x)=ex-'

X

令h{x}=ex-'--,则"(x)=e'T+4>0,

XX

所以h(x)在(0,+oo)上单调递增,且/z(l)=/'(1)=0.

当xe(0,1)时，/'(x)=〃(x)<0；

当xe(1,+00)时，J"(x)=〃(x)>0.

所以/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,长。)上单调递增，

所以当x=1时/(%)有极小值/⑴=1,无极大值.

(2)因为g(x)=/(x)-a(x-l)=e*T-lnx-a(x-l),所以g'(x)=7'(x)-a.

由(1)知，g'(x)在(0,+8)上单调递增,

当X-0时，g'(x)—>一8;当Xf+oo时，g'(x)->+co,则g'(x)=0有唯■—解

当X€(O,Xo)时，g'(x)<0；

当XG(Xo，+oo),时，g'(x)>0,

即g(x)在(O,xo)上单调递减，在(%,+8)上单调递增，

所以g(x)在x=x0处取得极小值g(Xo)=e*T-111/一以/一1),且与满足e"---=a.

%

所以g(x0)=(2-Xo)e~T-

令<p(x)=(2-x)e*T-Inx+1——，则(p'{x}=(1-x\ex~}+!).

XX

当xe(0,1)时，(p\x)>0；

当xe(l,+co)时，(p'{x)<0,

即e(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+oo)上单调递减，

所以8(X)max=。⑴=L

所以g(x)的极小值的最大值为1.

四、选做题(二选一)

x=Videosa