第一章 1.5 1.5.1 全称量词与存在量词

1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词课标要求素养要求通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.1、给出下列语句：

（1）m≤5；（2）2x+1是整数；

（3）对所有的m∈R，m≤5.

（4）对任意一个x∈Z，2x+1是整数；问题：1、上面的四个语句是命题吗？

2、（1）与（3）、（2）与（4）之间有什么关系？提示：语句（1）与（2）无法判断真假，不是命题；语句（3）与（4）在语句（1）与（2）的基础上增加了“所有的”、“任意”，可以判断真假，是命题.语句（1）与（2）是命题（3）与（4）中的一部分.1、全称量词和全称命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做

，并用符号“

”表示.(2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.(3)全称命题：含有

的命题叫做全称（量词）命题.全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为

.全称量词∀全称量词∀x∈M,p(x)例如，命题：对任意一个n∈Z，2n+1是奇数；所有的正方形都是矩形，都是全称命题。2、给出下列语句：

（1）2x+1=3；（2）x能被2和3整除；

（3）存在一个x∈R，使2x+1=3;

（4）至少有一个x∈Z，x能被2和3整除；问题：1、上面的四个语句是命题吗？

2、（1）与（3）、（2）与（4）之间有什么关系？提示：语句（1）与（2）无法判断真假，不是命题；语句（3）与（4）在语句（1）与（2）的基础上增加了“所有的”、“任意”，可以判断真假，是命题.语句（1）与（2）是命题（3）与（4）中的一部分.2、存在量词与特称命题（存在量词命题）(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做

，并用符号“

”表示.(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.(3)存在量词命题：含有

的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为

.存在量词∃存在量词∃x∈M,p(x)例如，命题：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是基数，都是全称命题。判断下列语句正误。1、“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.(

)2、存在量词命题“∃x∈R，x2＜0”是真命题.(

)

提示不存在x∈R，使得x2<0成立.3、“三角形内角和是180°”是全称量词命题.(

)4、∀x∈R，x2＋1≥1是真命题.(

)5、“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.(

)√×√√×全称命题与特称命题的识别【例1】判断下列命题是全称命题，还是特称命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的速度方向不定； (3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有sin∠A＝cos∠B.题型一解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.规律方法判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.【训练1】判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上.

解

(1)全称命题.表示为：∀n∈N，n2≥0. (2)特称命题.表示为：∃一次函数，它的图象过原点. (3)全称命题.表示为：∀二次函数，它的图象的开口都向上.题型二全称命题与特称命题的真假的判断【例2】判断下列命题的真假. (1)所有的素数都是奇数；(2)任意矩形的对角线相等； (3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0；

（4）任何实数都有算术平方根；（5）至少存在一个整数，它既不是合数，也不是素数。

解：(1)是假命题.

(2)是真命题. (3)是假命题.（4）是真命题；（5）是真命题。规律方法

判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：(1)要判定一个特称命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假.(2)要判定一个全称命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可.【训练2】判断下列命题的真假： (1)有一些二次函数的图象过原点； (2)∃x∈R，2x2＋x＋1<0； (3)∀x∈R，x2>0.

解

(1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题. (2)该命题是存在量词命题.【训练2】判断下列命题的真假： (1)有一些二次函数的图象过原点； (2)∃x∈R，2x2＋x＋1<0； (3)∀x∈R，x2>0. ∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.故该命题是假命题.(3)该命题是全称量词命题.x＝0时，x2＝0，故该命题是假命题.题型三依据含量词命题的真假求参数取值范围【例3】已知命题p：∀x∈R，函数y＝ax2＋2x＋3的图象总在x轴上方是真命题，求实数a的取值范围.

解

命题p为真命题，

①当a＝0时，一次函数y＝2x＋3的图象总在x轴上方，显然不能恒成立；规律方法根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围.【训练3】命题p：任意x∈R，一次函数y＝2x＋b的图象不经过第四象限，若命题p为真命题，求实数b的取值范围.解：因为一次函数y＝2x＋b的图象不经过第四象限，如图所示，故b≥0.1.通过学习全称量词命题与存在量词命题的概念提升数学抽象素养.通过判断全称量词命题与存在量词命题的真假培养逻辑推理素养.2.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.3.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.4.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.二、素养训练1、下列命题中全称量词命题的个数是(

) ①任意一个自然数都是正整数；

②有的平行四边形也是菱形； ③三角形的内角和是180°. A.0 B.1 C.2 D.3

解析

①③是全称量词命题.

答案

C2、下列命题中，不是全称量词命题的是(

) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.任意一个负数都比零小 C.每一个正方形都是矩形 D.一定存在没有最大值的二次函数

解析

D选项是存在量词命题.

答案

D3、下列存在量词命题是假命题的是(

) A.存在x∈Q，使4－x