第八章二阶电路课用

第八章二阶电路课用1第一页，共二十七页，编辑于2023年，星期四

第八章二阶电路●二阶电路：由一个二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程描述的电路。●电路中含有两个储能元件（一个L和一个C；或两个独立的L或两个独立的C）。所谓独立，就是两个L不能串联或并联，或在电路中与电流源构成回路；两个C不能串联或并联，或在电路中与电压源构成回路。否则，仍属一阶电路。●二阶电路的分析问题是求解二阶微分方程或一阶联立微分方程的问题。与一阶电路不同的是，这类电路的响应可能出现振荡的形式。为了突出这一重要特点，本章首先从物理概念上阐明LC电路的零输入响应具有正弦振荡的形式，然后通过RLC串联电路说明二阶电路的一般分析方法以及固有频率（特征根）与固有响应形式的关系。第二页，共二十七页，编辑于2023年，星期四基本要求：

理解二阶电路固有频率、振荡和非振荡的概念，重点掌握RLC串联电路微分方程的建立及相应初始条件、特征方程及其根，并根据特征根判定电路的状态及零输入响应的形式，掌握直流RLC串联电路的全响应及GCL并联电路的分析。第三页，共二十七页，编辑于2023年，星期四设uC(0)=U0iL(0)=0,wL(0)=0CL+–U0(a)CLi(b)CL+–U0(c)CLi(d)CL+–U0(e)C放电,uC↓WC↓,WL↑L吸收能量L释放能量WL↓,WC↑C反向充电C反向放电WC↓,WL↑L吸收能量L释放能量WL↓,WC↑C重新充电

由此可见，在由电容和电感两种不同的储能元件构成的电路中，随着储能在电场与磁场之间的往返转移，电路中的电流和电压将不断地改变大小和方向（极性），形成周而复始的振荡。WCWL注：1）若R=0，则为无阻尼等幅振荡；2）若R≠0，则为阻尼衰减（减幅）振荡；3）若R很大，则不产生振荡。§8—1LC电路中的正弦振荡第四页，共二十七页，编辑于2023年，星期四

例：图示为LC振荡回路，设uC(0)=1V，iL(0)=0。CL+–uC1F1HiL则由元件的VAR可得：此即为二阶电路的两个联立的一阶微分方程

此式表明：电流的存在要求有电压的变化；电压的存在要求有电流的变化。故电压、电流都必须处于不断的变化状态之中。结合初始条件uC(0)=1V，iL(0)=0，不难猜想：uC(t)=costViL(t)=sintA

既满足方程又满足初始条件。因此，LC回路中的等幅振荡是按正弦方式随时间变化的。

能量特性：∴W(t)=W(0)(t≥0)第五页，共二十七页，编辑于2023年，星期四

设含L和C的二阶电路如图(a)所示，运用戴维南定理后可得图(b)所示RLC串联电路。含源电阻网络iLC(a)iLC(b)++++––––uOCuRuLuCR由图(b)：根据KVL：要求出微分方程uC(t)的解答，必须有uC(0)和u'C(0)两个初始条件。uC(0)——电容电压初始值t=0t=0§8—2RLC串联电路的零输入响应——过阻尼情况第六页，共二十七页，编辑于2023年，星期四此处只研究图示电路的零输入响应——即uOC(t)=0特征方程：特征方程的根：

S由电路本身参数R、L、C值确定，与初始状态无关。故也称之为固有频率。根据R、L、C值的不同，固有频率可能出现如下三种情况：1）当时，S1、S2

为不相等的负实根——过阻尼非振荡；2）当时，S1、S2

为相等的负实根——临界阻尼非振荡；3）当时，S1、S2

为一对负实部共轭复根——欠阻尼振荡。注：本节只讨论第一种情况。即第七页，共二十七页，编辑于2023年，星期四

对应齐次微分方程的解答形式为：

式中：待定系数（积分常数）K1、K2由uC(0)和u'C(0)确定。即∴●当，即时的过阻尼非振荡情况此时即衰减慢衰减快第八页，共二十七页，编辑于2023年，星期四不难看出，uC(t)和iL(t)都是由随时间衰减的指数函数项表示的，表明电路的响应是非振荡性的。例：设uC(0)=U0，iL(0)=i(0)=0相当于图示电路，换路前处于稳态，t=0时换路.

1、uC(t)、i(t)、uL(t)及uR(t)的变化特性t=012++++––––U0RLCuR(t)uL(t)uC(t)●i(t)由以上分析知（t≥0）：uC(0)0uC(t)tuC(t)①uC(t)由两个单调下降的指数函数构成，C一直处于放电状态（非振荡）。第九页，共二十七页，编辑于2023年，星期四②i(t)始终为负（实际方向与参考方向相反）。tm2tmi(t)uR(t)uL(t)uC(t)uC(0)–uC(0)0tuC、i、uL、uRt=0,i=0；t→∞,i→0；t=tm：i=–imax。③uR(t)和i(t)变化类似。④uL(t)的变化情况：1）t=0时，uL(0)=–uC(0)；2）0<t<tm：uL为负并减小；3）t=tm：uL=0（与i=–imax发生在同一时刻）4）tm<t<2tm：uL为正并增大；5）t=2tm：uL=uLmax；6）t>2tm：uL→0。

▲关于tm的确定（tm即为uL=0和i=–imax的时间）由t=tm：即第十页，共二十七页，编辑于2023年，星期四

证明：为什么t=2tm时，uL(t)=uLmax？证：由令则即（证毕）tm2tmi(t)uR(t)uL(t)uC(t)uC(0)–uC(0)0tuC、i、uL、uR第十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期四

2、过阻尼非振荡放电过程中的能量转换关系1）0＜t＜tm：i恒为“–”，uC“+”，pC“–”，C放电；uL“–”，pL“+”，L吸收能量；uR“–”，pR“+”，R吸收能量。uL+++–––uRuCRLCWCWLWR↗↘2）t＞tm：i恒为“–”，uC“+”，pC“–”，C继续放电；uL“+”，pL“–”，L释放能量；uR“–”，pR“+”，R吸收能量。+++–––uRuCRLCuLWCWLWR↗↘tm2tmi(t)uR(t)uL(t)uC(t)uC(0)–uC(0)0tuC、i、uL、uR第十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期四当即时的临界阻尼非振荡情况此时，固有频率S为一对相等的负实数，即S1=S2=–=－α从高数知：这时齐次微分方程的解答形式为：式中，待定系数（积分常数）K1、K2仍由uC(0)和u'C(0)来确定。由上式得：于是可得：§8—3

RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况第十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期四t≥0：

由上式可看出：各量的变化与前述过阻尼情况相似，属于非振荡性质。

在临界电阻条件下，电路的放电电压和电流仍为非振荡性质，故称之为临界阻尼非振荡放电过程。

当uC(0)=U0，iL(0)=i(0)=0时，得

若R稍小于，则变为振荡性质。故R=时的电阻，称为临界电阻。第十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期四

如果，即

时，电路的固有频率S为一对共轭复数。即S1、2=

式中：为正实数，称为衰减系数（决定振幅衰减快慢）。

阻尼（衰减）振荡角频率：

固有振荡（谐振）角频率：三者关系：ω0、ωd、α构成一直角三角形ωdαω0θ§8—4RLC串联电路的零输入响应——欠阻尼情况第十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期四

由高数知：此时齐次微分方程的解答形式为

式中，积分常数K1、K2由初始条件uC(0)和u'C(0)来确定。若给定uC(0)和iL(0)，则可求出K1、K2，进而求出uC(t)。

为了便于反映响应的特点，上式还可进一步写作uC(t)式中：θk1k2k(ωd)(ω0)(α)把K1、K2之值代入上式可得：uC(0)=K1第十六页，共二十七页，编辑于2023年，星期四其中：

由上两式表明，uC(t)、iL(t)都是一个振幅逐渐减小的衰减振荡。t0t0等幅振荡

★综上所述，电路的零输入响应的性质取决于电路的固有频率S（亦即取决于电路中的参数R、L、C之值）。显而易见，电路参数的变化，可以引起过渡过程性质的变化。

当R=0时，此时第十七页，共二十七页，编辑于2023年，星期四iLC++++––––uOC=USuRuLuCR

即RLC串联电路在非零初始条件下，外加直流（US）激励时产生的响应。

电路如图示，此时以uC(t)

为变量的微分方程为：

非齐次方程的特解：uCp(t)=US

对应齐次微分方程的通解，视固有频率（特征方程的根）的不同，仍有三种不同的形式，从而得出uC(t)有三种不同的情况。特征方程的根：S1、2

1、过阻尼非振荡情况：此时S1、S2为两个不等的负实数§8—5直流RLC串联电路的完全响应第十八页，共二十七页，编辑于2023年，星期四

2、临界阻尼非振荡情况：此时S1、S2为两相等的负实数即S1=S2=–=－α

3、欠阻尼振荡情况：此时S1、S2为一对负实部的共轭复数即S1、2=∴uC(t)第十九页，共二十七页，编辑于2023年，星期四

然后根据初始状态uC(0)和i(0)得出的初始条件uC(0)和u'C(0)，便可确定积分常数K1、K2，从而求出uC(t)，进而求出i(t)、uL(t)及uR(t)。以S1、S2为两个不等的负实数为例，计算K1和K2。此时uC(t)由解得：第二十页，共二十七页，编辑于2023年，星期四

例：零状态电路如图示，已知R=4Ω，L=1H，C=1/3F，uS(t)=16V（t≥0）。（1）求t≥0时uC(t)和i(t)；（2）若R=2Ω，求i(t)。uC(t)i(t)LC++––uS(t)R

解：依题意：uC(0)=0,iL(0)=i(0)=0t≥0：（1）代入参数得：特解：uCp(t)=16v特征方程：即解得：S1=–1，S2=–3通解：uCh(t)∴uC(t)由uC(0)=k1+k2+16=0u'C(0)=－k1－3k2=i(0)/c=0K1+k2=－16－k1－3k2=0即解得：k1=－24,k2=8第二十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期四∴uC(t)i(t)(t≥0)(t≥0)

（2）若R=2Ω则解得：S1、2=由第二十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期四

设含L和C的二阶电路如图(a)所示，运用诺顿定理可得图(b)所示GCL并联电路。含源电阻网络LC(a)●●iG(t)iL(t)iC(t)GLC+–u(t)iSC(t)●●●●(b)由图(b)：KCL:iC(t)+iG(t)+iL(t)=iSC(t)由于即iLC++++––––uOCuRuLuCR(c)

注：图(b)与图(c)所示电路具有对偶性。§8—6GCL并联电路的分析第二十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期四

特解：若iSC(t)=0，则iLp(t)=0；若iSC(t)=IS，则iLp(t)=IS

2、临界阻尼非振荡情况：此时S1、S2为两个相等的负 实数

通解：视固有频率（特征方程的根）的不同也有三种不同的解答形式。特征根：S1、2=

1、过阻尼非振荡情况：此时S1、S2为两个不等的负实数（即）第二十四