第八章频率响应法

第八章频率响应法CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT第一页，共七十一页，编辑于2023年，星期五8.1频率响应及频率响应图前面各章采用了基于复数域变量s传递函数描述控制系统，并用系统极、零点在s平面的位置分布来分析系统响应，设计系统参数。本章及后续章介绍另一种系统分析与设计方法----频率响应法。一、线性系统的频率响应在前面基于s域方法中，系统的测试信号采用阶跃、斜坡等，讨论在这些信号激励下系统动态与稳态响应情况。频率响应法采用正弦测试信号，研究系统在它激励下的稳态响应。

对线性定常系统，当输入是正弦信号时，其稳态输出也是同频率的正弦信号。而且，相对于输入信号，输出只是幅值与相位的变化，这种变化是频率的函数。造成输出的幅值与相位随频率变化的根本原因就是系统性能，这就是频率法分析设计系统的理论依据。1.频率响应的定义系统的频率响应定义为：系统对正弦输入信号的稳态响应，具体用系统输出与输入的幅值比和相位差随频率的变化关系表示。第二页，共七十一页，编辑于2023年，星期五G(jω)幅频响应相频响应例如：图示RC电路由相量分析法得相量比：对一般系统

其中输入为其拉氏变换第三页，共七十一页，编辑于2023年，星期五假设pi为互不相同的极点。对Y(s)部分分式展开有取反拉普拉斯变换得

则在稳态时，输出y(t)将为：由于pi都有负实部，稳态时指数项均趋于0。

当输入为正弦信号时，对于特定的频率ω，系统稳态输出信号的幅值和相位完全依赖于T(jω)。系统的频率响应就是T(jω)。在已知系统传递函数时，只要用jω替换复变量s即可直接得到系统频率响应函数。第四页，共七十一页，编辑于2023年，星期五2.拉氏变换、傅立叶变换、传递函数、频率特性的关系拉氏变换对傅立叶变换对传递函数频率特性

由拉氏变换可以可以导出系统的传递函数，基于拉氏变换的s平面方法侧重于分析系统的极、零点分布；由傅立叶变换可以导出系统频率特性，基于傅氏变换的频率响应法则重点研究系统的幅频和相频特性。第五页，共七十一页，编辑于2023年，星期五二、频率响应的图形表达系统频率响应特性在每个频率点都是复数，复数常表示为直角坐标和极坐标形式。频率响应特性通常也在直角坐标系和极坐标系中绘制其曲线---频率响应图。1.极坐标图—幅相图（Nyquist图）频率特性函数：例如，RC电路第六页，共七十一页，编辑于2023年，星期五绘制方法：计算若干特殊点频率特性，以光滑曲线连接。或者第七页，共七十一页，编辑于2023年，星期五例1.某系统的极坐标图

幅值和相位分别为计算特殊点的值第八页，共七十一页，编辑于2023年，星期五2.对数坐标图—Bode图系统频率特性函数为在对数坐标中，通常用以10为底的对数表示频率响应的幅值，即对数幅值增益

单位为分贝（dB）当时，对数增益为称为转折频率或转角频率。

第九页，共七十一页，编辑于2023年，星期五Bode图手工近似绘制对数幅值增益为在低频段，即，对数增益为

在高频段，即，对数增益为

水平轴选为幅值特性变为一条直线直线斜率为-20dB/十倍频率均匀刻度十倍频率刻度近似幅值特性，精确特性的渐近线第十页，共七十一页，编辑于2023年，星期五3.基本因子项的频率特性图频率特性函数的一般形式：它的对数幅值为它的相角为

特点：无论幅值还是相角，都是各因子项幅值和相位的代数和。

第十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期五构成系统频率特性函数的基本因子项包括：

常数增益项Kb;原点处的极点或零点项jω;实轴上的极点或零点项jωτ+1;共轭复极点或复零点项放大环节比例环节积分环节微分环节惯性环节比例微分环节二阶环节（a)常数增益对数幅频增益为

常数

dB

相角为

在Bode图上幅频曲线为平行于横轴的水平线。

（b)在原点处的极点（或零点）

极点的对数幅频为

相角为

在Bode图上幅频曲线为斜率倍频程的直线

相频曲线为平行与横轴的直线

在原点处的一重零点的对数幅值为相角为其幅频曲线为斜率倍频程的直线

第十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期五都要过（1，0）点极坐标图第十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期五（c)在实轴上的极点或零点实轴上的极点，其对数幅频为

当渐近线为

当

渐近线则为

是斜率为倍频程的直线。两条渐近线的交点为称为转折频率。实际对数增益为。实轴上的零点，其对数幅频为

当渐近线为

当

渐近线则为

是斜率为倍频程的直线。实际对数增益为。第十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期五Bode图与此图相比，无论幅频还是相频都关于横轴对称。第十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期五极坐标图第十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期五（d)共轭复极点或零点一般情况下，共轭复极点对的二次因子可以写为共轭复极点对的对数幅值为

相角为

相角趋于0度当时，幅值为

对数增益曲线的渐近线是斜率为

倍频程的直线相角趋于当时，幅值为

在不考虑ζ影响时，两幅频渐近线相交于u=1(ω=ωn)处。第十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期五第十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期五第十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期五需要讨论的问题是：u=1附近ζ对幅频和相频特性的影响。由幅频特性曲线可以看出：在u=ω/ωn=1附近，用渐近线近似误差较大；近似误差与ζ有关，且ζ<0.707时误差明显增大，不可忽视；当ζ<0.707，在u=1附近幅频特性有极值（最大值）。在ζ<0.707，对幅频关于u求极值。幅值|G()|的最大值--谐振峰值为

幅频取得极大值的频率称为系统谐振频率，用ωr表示：当ζ趋近于0时，谐振频率ωr

趋近固有频率ωn。第二十页，共七十一页，编辑于2023年，星期五由前面几章分析知：系统的固有频率ωn、阻尼ζ与系统性能指标密切相关，在频率特性中，谐振频率ωr、谐振峰值Mp与ωn、ζ有关。表明，系统性能指标将与谐振频率、谐振峰值相关。谐振频率ωr、谐振峰值Mp与ωn、ζ关系曲线

通过此曲线可以方便查出在获得系统谐振频率ωr、谐振峰值Mp时，系统主导极点的ωn和ζ。第二十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期五8.2频率响应图的绘制在建立频率响应概念和获得基本环节频率响应曲线特征及绘制方法后，本节介绍系统频率响应图的手工绘制方法和利用Matlab绘制方法。一、极坐标图绘制----Nyquist曲线绘制3）根据A(ω)和(ω)确定变化趋势，画出Nyquist图的大致形状。绘制步骤：三个要素2）补充必要的特征点(如：与实轴或虚轴的交点)：若存在渐近线则求出渐近线即求=0和=∞时A(0+),(0+)；A(∞),(∞)；1）起点和终点：第二十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期五1.起点：ω=0+时G(j0+)和终点：ω=∞时G(j∞)设系统传递函数：幅频：相频：☆起点：ω=0+：

0型：Ⅰ型及以上：结论：

起点位置与系统的型有关。第二十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期五例1

系统传递函数垂直渐近线：水平渐近线：渐近线问题第二十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期五结论：终点趋于坐标原点，只是入射角不同，由分子分母的阶次之差（n-m）决定。物理意义☆终点：ω→∞：第二十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期五2.曲线与实轴（或虚轴）的交点：虚轴交点如何求？令虚部为零，解得ωx；再将ωx代入Re(jω)即与实轴的交点。例2

已知系统开环传递函数绘制系统开环幅相图。解：

系统开环频率特性起始点终止点与虚轴交点：令ω（10，j0)（0，-j2.87)第二十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期五3.Matlab绘制频率响应极坐标曲线Matlab提供了绘制系统频率响应极坐标曲线的函数：Nyquist().num=[15];den=conv([132],[1250]);sys=tf(num,den);nyquist(sys);第二十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期五二、Bode图绘制系统频率响应Bode图的绘制的步骤：

1）基本环节分解；2）将基本环节转折频率由低到高排列并依次标注到半对数坐标上；3）绘制各基本环节幅频与相频渐近线图：4）自低到高频做幅频渐近线叠加及相频角度叠加：幅频：在转折频率处斜率发生变化，依据典型环节的斜率，两个转折频率之间为斜率代数和的直线；相频：按相频渐近线转折点做直线斜率叠加得到相频渐近线。5）根据基本环节渐近线误差进行修正获得精确图形。

实际上，只需要精确计算特殊关注点：幅频：过0dB线的点和斜率；幅频极值点和谐振频率。相频：过-180°角度线的点及频率。第二十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期五例3.系统传递函数为:第一步：按频率递增顺序，将各因子排列如下1）常数增益2）在原点处的极点3）在处的极点4）在

处的零点5）在处的复极点对绘制其频率响应Bode图解：系统频率特性为:注意：各基本因子的标准形式！第二十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期五第二步：画出各基本因子的幅值特性渐近线。

1）常数的对数增益为，将其标在幅值图中，如①所示。2）在原点处的极点，其幅值渐近线的斜率为倍频，在处与0dB相交，将其标在幅值图中，如②所示。3）在处的极点，当频率超过转折频率时，，其幅值渐近线的斜率为倍频程，而当频率低于转折频率时，其幅值渐近线为0dB线，将其标在幅值图中，如③所示。第三十页，共七十一页，编辑于2023年，星期五4)在处的零点，当频率超过转折频率时，其幅值渐近线的斜率为倍频程，而当频率低于转折频率时，其幅值渐近线为0dB线，将其标在幅值图中，如④所示；

5)在处的复极点对，当频率超过转折频率时，其幅值渐近线的斜率为倍频程，而当频率低于转折频率时，其幅值渐近线为0dB线，将其标在幅值图中，如⑤所示。第三十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期五第三步：将各个因子的幅值特性渐近线迭加绘制该系统频率响应的幅值渐近线。绘制方法是按照频率递增的顺序并考虑每个因子的影响，来绘制总的幅值渐近线。最后对其进行修正，得实际幅值曲线。-20dB/十倍频程-40dB/十倍频程-20dB/十倍频程-60dB/十倍频程第三十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期五第三十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期五第四步：对于独立极点或零点，分别绘制其相角特性的渐近线。1）常数增益的相角为。2）在原点的极点处，其相角为常数3）在=2的极点，其相角特性渐近线如图中所示，在=2的相角为4）在=10的零点，其相角特性渐近线如图，其中在=10的相角为；5）复极点对的精确相角特性见图所示。第三十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期五第五步：将各个因子的相角特性渐近线迭加绘制系统频率特性的相角渐近线。绘制方法：以频率递增的顺序考虑每个因子的影响，绘制总的相角渐近线。最后对其进行修正，得实际幅角曲线。计算特殊点：第三十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期五利用Matlab绘制Bode图Matlab提供了绘制系统频率响应Bode图的函数：Bode().num=[250025000];den=conv([120],[1302500]);sys=tf(num,den);bode(sys);第三十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期五开环对数频率特性曲线的绘制(二)一、开环系统Bode图的绘制： 将系统开环传递函数分解为典型环节乘积的形式，包括如下几部分：1）K/sv；2）一阶：惯性、一阶微分，交接频率1/T；3）二阶：振荡、二阶微分，交接频率ωn。最小相位系统：幅频特性与相频特性具有一一对应关系；而非最小相位系统就没有这样的关系第三十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期五G(s)=K20lgKdB的一条直线0dB与-40dB/dec的两条直线G(s)=1/(Ts+1)0dB与-20dB/dec的两条直线G(s)=Ts+10dB与20dB/dec的两条直线G(s)=1/s-20dB/dec的一条直线G(s)=s20dB/dec的一条直线0dB与40dB/dec的两条直线第三十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期五开环系统Bode图的绘制的步骤：

1）典型环节分解；2）将转折频率由低到高依次标注到半对数坐标纸上；3）绘制低频（ω<ωmin）渐近线： 斜率由K/s决定为：-20dB/dec 确定低频渐近线上的一个点：三种方法：①在直线上任取一点ω0(ω0<ωmin

)，则：第三十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期五②取特殊点ω0=1，则：③取特殊点，则：4）作ωωmin频段的渐近线： 在交接频率处斜率发生变化，依据典型环节的斜率，两个交接频率之间为直线；5）如需要可进行修正获得精确图形。第四十页，共七十一页，编辑于2023年，星期五例1：试绘制以下传递函数的对数幅频曲线解：1）首先把开环传函写为标准形式：2）低频渐近线：斜率为-20dB/dec，取点：ω=1，则：第四十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期五3）转折频率以及斜率变化值：：4）在半对数坐标纸上绘制对数幅频特性曲线如下图所示：第四十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期五返回对数坐标系第四十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期五例2：已知画bode图解：1）写成标准形式：环节：阻尼？第四十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期五2）绘制低频段的直线：斜率-20dB/dec，直线，在ω=1过-12(dB)这一点的直线。4）据各环节的交接频率绘制近似对数幅频特性。5）修正近似的对数幅频特性（振荡有谐振峰值）第四十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期五返回半对数坐标系注意：修正值第四十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期五例3：已知最小相位开环系统的渐近对数幅频特性如图所示。试写出系统的开环传递函数。绘制相应的对数相频特性图。

二、由开环Bode图求系统开环传递函数：第四十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期五解：（1）由图可知在频率ω=6之前，对数幅频特性斜率为-20dB/dec，这是积分环节：（2）（3）图中ω=6频段上，对数幅频特性斜率为-40dB/dec，这意味着在ω=6出现了惯性环节，即：第四十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期五（4）图中ω=8~20频段上，对数幅频特性斜率为-20dB/dec，即由原来的-40dB/dec变为-20dB/dec，即出现了一阶微分环节：（5）图中ω=20~60频段上，对数幅频特性斜率为0dB/dec，即由原来的-20dB/dec变为0dB/dec，即出现了一阶微分环节：（6）图中ω=60以后频段上，对数幅频特性斜率为-40dB/dec，即由原来的0dB/dec变为-40dB/dec，即出现了振荡或两个惯性：第四十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期五由图知，没有发生突变，可看作两个惯性环节：因此，系统开环传递函数为：第五十页，共七十一页，编辑于2023年，星期五书例4：已知某最小相位系统的开环对数幅频曲线，求系统开环传递函数。解：含有哪些环节？第五十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期五确定四个参数：第五十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期五开环传递函数为：第五十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期五三、最小相位和非最小相位系统

前面例子中，所考虑的系统传递函数的零点和极点均在s平面的左半边。该系统称为最小相位系统。

实际上，若系统极点在左边s平面内，系统有零点在右边s平面上，系统仍为稳定的。我们把具有右半s平面零点的系统称为非最小相位系统。

下图8(a)和(b)所示的两个零—极点图具有相同的幅值特性。然而，它们的相位特性是不同的。见图(c)。第五十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期五例4.已知某最小相位系统的开环对数幅频曲线，求系统开环传递函数。说明：红色曲线为幅频响应的渐近线。含有哪些环节？解：确定参数？根据幅频曲线渐近线及精确曲线知，系统含有下列基本环节：低频段渐近线的斜率为20dB/dec且过0dB时频率为1，则知K=1。第五十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期五①②对直线段①：斜率为20dB/dec，且过（1，0）点。则其方程为：由曲线知：对直线段②：由曲线知：由曲线知：Mp=20-12=8dB传递函数为：第五十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期五8.3频域性能指标

讨论系统频率响应，绘制频率响应图的目的是为了分析和设计控制系统。系统的频率响应与系统的时域响应是什么关系？或者说，时域性能指标在频率响应中如何表现？这就是本节要回答的问题。二阶系统闭环传递函数为

从前面几章讨论中发现，在引入主导极点概念之后，控制系统动态特性可以二阶系统参数表示。这也符合绝大多数实际工程中控制系统的情况。本节同样以二阶系统为标准，定义频域性能指标，讨论频域指标与时域指标之间的关系。第五十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期五一、频域性能指标二阶系统的频率响应为1.谐振峰值Mp是频率响应的最大幅值，出现在谐振频率ωr处。2.谐振频率ωr3.系统带宽ωB带宽是频率响应的幅值从低频值下降时的频率，是对系统复现输入信号能力的度量。二、频域性能指标与系统时域响应间的关系①

阶跃响应的超调量随谐振峰值增加而增加。

两者都只与阻尼ζ有关，阻尼减小必然引起振荡加剧。第五十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期五由知②带宽、谐振频率ωr与系统动态响应速度直接相关。增加时，系统阶跃响应的上升时间将减小，系统响应速度加快。Bw对于二阶系统（标准化带宽）与ζ变化规律如图，近似为线性关系。在ζ一定的情况下，ωn越大，带宽将越宽。带宽越宽，调节时间越短。从而在控制系统频域设计时，通常要求：1）相对较小的谐振幅值，例如：；2）相对较大的带宽，使得系统的时间常数足够小。（）第五十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期五③闭环系统稳态误差与频率响应的关系。

对于图示的二阶系统，斜坡输入时的稳态误差由速度误差系数决定。

由前几章讨论已知，系统对输入信号的稳态误差，与系统增益和系统开环传递函数中积分环节的个数有关。该系统的稳态误差为

将开环传递函数写成绘Bode图时的标准形式（利用时间常数表示）该I型系统的增益就为速度误差系数。

第六十页，共七十一页，编辑于2023年，星期五一般情况下：若N型反馈系统的开环频率特性函数为

那么根据系统不同的型N和输入信号类型，增益就是相应的稳态误差系数。换句话说：决定了系统稳态误差。例如：0型系统I型系统构成系统开环频率特性的低频部分。而且其与0dB线交点的频率结论：系统误差系数等于该系统开环Bode图的低频增益。强调：系统稳态误差与该系统开环频率特性相关；动态指标与闭环频率特性相关。第六十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期五三、频率响应的对数幅相图—Nichols图频域响应除前面介绍的极坐标图、Bode图表示为，经常换用对数幅相图表示。它以一定范围的频率为参数，绘制对数幅值随相角变化的曲线。对数幅相图给出的幅值和相角信息等价于Bode图，优势在于能够更直观的研究闭环系统的相对稳定性。

Matlab提供了绘制对数幅相图的函数：

Nichols(sys)，