第八节 多元函数的极值

第八节多元函数的极值第一页，共四十五页，编辑于2023年，星期四二元函数极值的定义一、多元函数的极值极值是局部特性第二页，共四十五页，编辑于2023年，星期四(1)(2)(3)例1函数处有极小值．在例２函数处有极大值．在处有极大值．在例３处无极值．在函数第三页，共四十五页，编辑于2023年，星期四回忆：一元函数极值的必要条件费马定理定义第四页，共四十五页，编辑于2023年，星期四多元函数取得极值的条件证第五页，共四十五页，编辑于2023年，星期四第六页，共四十五页，编辑于2023年，星期四仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：第七页，共四十五页，编辑于2023年，星期四第八页，共四十五页，编辑于2023年，星期四例4求函数的极值．解求得驻点，在点处第九页，共四十五页，编辑于2023年，星期四所以，在处函数没有极值．在点处又所以，在处函数有极大值．且第十页，共四十五页，编辑于2023年，星期四解第十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期四第十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期四第十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期四但在（0,0）点取得极小值注：函数的极值点也可能是偏导数不存在的点.例综上讨论可知，函数的极值点的存在范围：驻点、偏导数不存在的点第十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期四二、有界闭区域上函数的最值对于该区域内任一点,若恒有不等式则称为函数在D内的最大值最大值与最小值统称为最值.在平面区域内有定义,设函数使函数取得最值的点(x0,y0)

称为最值点.则称为函数在D内的最小值最值是整体特性第十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期四求最值的一般方法：如何求连续函数z=f(x,y)在闭区域D上的最大值、最小值呢？如果f(x,y)在D上可微，可先求出函数在该区域内的一切驻点处的函数值及函数在区域边界上的最大值与最小值.在这些函数值中的最大的就是函数在D上的最大值，最小的就是函数在D上的最小值.第十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期四解如图,第十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期四第十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期四第十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期四解由第二十页，共四十五页，编辑于2023年，星期四第二十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期四

在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域D内部取到最值，而函数在D内又只有唯一的驻点，则可判定函数在该驻点即取得最值.第二十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期四例9某厂要用铁板做成一个体积为2的有盖长方体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？此水箱的用料面积解：设水箱的长为x,宽为y,则其高为第二十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期四时，A取得最小值，根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域D(x>0,y>0)内取得.又函数在D内只有唯一的驻点，因此可断定当就是说，当水箱的长、宽、高均为时，水箱所用的材料最省。第二十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期四实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．二、条件极值、拉格朗日乘数法1.条件极值第二十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期四条件极值：对自变量有附加条件的极值．无条件极值：

对自变量除有定义域限制外，无任何其它条件限制的极值．第二十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期四求如k=1,求如k=2,求下的极值。”条件极值在数学上的提法第二十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期四

从理论上讲，条件极值都可化为无条件极值求解.其思路是，将其转化为无条件极值.但是当条件为方程(组)给的隐函数时，转化有困难，从而产生了下述方法——

Lagrange乘数法。

以下先分析Lagrange乘数法的原理，从

而得出条件极值的必要条件,然后讲乘数法

的具体作法。2.拉格朗日乘数法第二十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期四则应有第二十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期四于是问题转化为求的无条件极值则而由方程两边求导，得第三十页，共四十五页，编辑于2023年，星期四第三十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期四于是得到下的极值的必要条件第三十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期四此结果相当于一个三元函数：取得无条件极值的必要条件,函数，F

称为Lagrange称为乘数，称为Lagrange乘数法.而把作为取条件极值的必要条件的方法第三十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期四第三十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期四第三十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期四解则第三十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期四解第三十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期四第三十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期四第三十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期四可得即第四十页，共四十五页，编辑于2023年，星期四例8截旋转抛物面其截口是一个椭圆,求截口椭圆上的最高点和最底点。解求最高点和最底点的目标函数是第四十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期四但这个极值问题受限于两个约束条件，是条件极值问题，设其Lagrange函数为利用条件极值取得极值的必要条件第四十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期四令

从可知若矛盾

所以因而得到：