第二章 轴向拉压应力与力学性能

第二章轴向拉压应力与力学性能第一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五第二章拉伸与压缩第一节概述第二节轴力与轴力图第三节截面上的应力第四节材料拉伸时的力学性能第十一节应力集中概念第六节拉、压杆的强度条件第九节装配应力和温度应力第五节材料压缩时的力学性能第七节杆的变形胡克定律第八节拉、压杆超静定问题第十节拉伸（压缩）时的应变能第二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五2.1概述在不同形式的外力作用下，杆件的变形与应力也相应不同。杆件受力或变形的一种最基本形式为轴向拉伸或压缩。

拉杆第三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五1.受力特征杆件上外力合力的作用线与杆件轴线重合。2.变形特征沿轴线方向的伸长与缩短。3.简化力学模型拉伸压缩2.1概述本章研究拉、压杆的内力和应力，材料在拉伸和压缩时的力学性能，以及拉压杆的强度、刚度计算等。第四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五—轴力由杆件在水平方向的平衡，有1、轴力

截面法FN

的作用线必与轴线重合对于轴力FN，规定拉为正，压为负。2、轴力求解与轴力图当杆件不同截面上的轴力各不相同时，用轴力图表示沿杆件轴线方向轴力的变化规律。得：2.2轴力与轴力图第五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五例1:2.2轴力与轴力图第六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五例2：图示杆件，沿轴线方向的作用力为：

P1=2.5kN，P2=4kN，P3=1.5kN。试求:

AC、CB段的内力，并作出其轴力图。解：由截面法求解x11(1)1—1截面（受拉）(2)2—2截面22（受压）(3)轴力图xFN

/kN①选定一坐标系：纵坐标——轴力FN横坐标——截面位置x——拉压杆件的轴力图②在坐标系标出各截面的轴力值，画出轴力随截面位置的变化曲线。注意：假设轴力方向时，将其假设成受拉，由FN的正负判断其拉压性质。第七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五杆件表面：1、变形现象观察与分析纵向纤维均匀伸长横向线段仍为直线，且垂直于杆轴线；推断：内部纵向纤维也均匀伸长，横截面上各点沿轴向变形相同。2、平面假设拉伸压缩杆件变形前后，各截面仍保持平面。横截面上每根纤维所受的内力相等——横截面上应力均匀分布。3、横截面上的应力应力的合力等于截面上的轴力：由于横截面上应力均匀分布，所以有：

FN

——截面上的轴力；A——横截面的面积。σ——横截面上的正应力。说明：（1）适用于杆件压缩的情形；（3）当F=FN(x)，A=A(x)时，（2）不适用于集中力的作用点处；2.3截面上的应力第八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五4、斜截面上的应力——斜截面的面积——斜截面上的应力将斜截面上的应力分解为：——斜截面上的正应力；——斜截面上的切应力。讨论：则：ap2.3截面上的应力第九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五ABC2m121.5mB例3：图示结构，钢杆1为圆形截面，直径d=16mm；木杆2为正方形截面，面积为100×100mm2

；重物的重量P=40kN。尺寸如图。求：两杆的应力。解：（1）求两杆的轴力用截面m-m截结构，取一部分研究，由平衡条件，有：mmxy（2）求两杆的应力（拉应力）（压应力）第十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五5、圣维南(Saint-Venant)原理（红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状）应力分布示意图：只要轴力大小相等，杆端加力方式不同，一般只对杆端附近区域的应力分布有影响（约离杆端1~2个杆的横向尺寸），在离开力系作用区域较远处，应力分布几乎相同。aPσaPσbσPc2.3截面上的应力第十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五万能试验机电拉试验机通过该实验可以绘出载荷—变形图和应力—应变图。试验设备2.4材料拉伸时的力学性质第十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五标准压缩试件dLbbL高度L与d或b的比值在1～3之间标准拉伸试件2.4材料拉伸时的力学性质第十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五2.4材料拉伸时的力学性质第十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五塑性材料拉伸曲线的四个阶段2.4材料拉伸时的力学性质第十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五拉伸图：P~Δl曲线应力应变曲线：A——试件原始的截面积l——试件原始标距段长度应力—应变图可以消除横截面面积A与标距l对载荷—变形图的影响。曲线2.4材料拉伸时的力学性质第十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五低碳钢拉伸曲线的四个阶段：（1）弹性阶段（Ob段）特点：变形是弹性的，卸载时变形可完全恢复。Oa段——直线段，应力应变成线性关系。——材料的弹性模量——Hooke定律——直线段的最大应力，称为比例极限；——弹性阶段的最大应力，称为弹性极限。一般材料，比例极限与弹性极限很相近，近似认为：2.4材料拉伸时的力学性质第十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五e（2）屈服阶段（bd段）屈服阶段的特点：应力变化很小，变形增加很快，卸载后变形不能完全恢复。——屈服阶段应力的最小值，称为屈服极限；重要现象：应力在试件表面出现与轴线成45°的滑移线。低碳钢：屈服极限

——是衡量材料强度的重要指标。2.4材料拉伸时的力学性质第十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五（3）强化阶段（de段）特点：要继续增加变形，须增加拉力，材料恢复了抵抗变形的能力。——强化阶段应力的最大值，称为强度极限；是衡量材料强度另一重要指标。低碳钢：卸载定律：在强化阶段某一点d

卸载，卸载过程应力应变曲线为一斜直线，直线的斜率与比例阶段基本相同。冷作硬化现象：在强化阶段某一点d

卸载后，短时间内再加载，其比例极限提高，而塑性变形降低。（4）局部变形阶段（ef段）特点：名义应力下降，变形限于某一局部，出现颈缩现象，最后在颈缩处拉断。e2.4材料拉伸时的力学性质第十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五低碳钢的强度指标与塑性指标：强度指标：——屈服极限；——强度极限；塑性指标：

设试件拉断后的标距段长度为l1，用百分比表示试件内残余变形（塑性变形）为——称为材料的伸长率或延伸率，是衡量材料塑性能的重要指标；塑性材料：脆性材料：低碳钢：典型的塑性材料。

设试件原始截面的面积为A，拉断后颈缩处的最小面积为A1，用百分比表示的比值——称为断面收缩率；也是衡量材料塑性能的指标；e2.4材料拉伸时的力学性质第二十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五例4：第二十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五第二十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五第二十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五脆性金属拉伸应力应变曲线动画：铸铁拉伸实验强度极限

b是衡量强度的唯一指标。没有明显的直线段，拉断时的应力较低；没有屈服和颈缩现象；拉断前应变很小，伸长率很小；2.4材料拉伸时的力学性质第二十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五其它材料拉伸曲线动画：其它拉伸曲线有些材料不存在明显的屈服阶段，工程中通常以卸载后产生数值为0.2%的残余应变的应力作为屈服应力，称为屈服强度或名义屈服极限。2.4材料拉伸时的力学性质第二十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五低碳钢压缩曲线1.E、s与拉伸时相似，e

、p

亦如此。2.屈服以后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，试件不能被压断。3.测不到强度极限

b和断裂极限

k

。4.测低碳钢的力学性质时，一般不做压缩实验，而只做拉伸实验。5.无法测定强度极限。2.5材料压缩时的力学性质第二十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五铸铁压缩曲线1.压缩强度极限远大于拉伸强度极限，可以高4-5倍。

2.材料最初被压鼓，后来沿450~550方向断裂，主要是剪应力的作用。脆性材料的抗压强度一般均大于其抗拉强度。2.5材料压缩时的力学性质第二十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五作业(习题)P61-622-1(c)、(f)，2-6,2-8第二十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五1、失效与许用应力失效——构件不能正常工作辽宁盘锦大桥垮落现场

2.6拉、压杆的强度条件第二十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五塑性材料：脆性材料：根据分析计算所得的应力,称为工作应力。极限应力u对塑性材料：对脆性材料：一般地，安全系数由实际情况确定。

为了确保安全,构件应有适当的强度储备,把工作应力限制在比u

更低的范围，将u除以一个大于1的系数

n，这个系数称为安全系数，得到的应力称为许用应力：且；2.6拉、压杆的强度条件第三十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五2、强度条件与强度计算(1)强度条件说明：对等截面杆，应取截面来计算；对轴力不变的杆件，应按最小截面（A=Amin）设计计算。——按危险截面设计计算。(2)强度计算的三类问题（1）强度校核（2）截面设计（3）确定许用载荷（结构承载能力计算）则结构不安全2.6拉、压杆的强度条件第三十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五解：（1）作轴力图（2）校核强度故此杆满足强度要求，安全。例5A1=300mm2，

A2=140mm2试校核强度。已知：[]=160MPa，第三十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五例6已知：AAB=50mm2

，ABC=30mm2

，[]AB=100MPa，[]BC=160MPa求：结构的许可载荷[P]。解：取铰B

为研究对象因此，取B解得：第三十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五例7：简易悬臂起重机，撑杆AB为空心钢管，外径105mm，内径95mm。钢索1和2平行，且设钢索可作为相当于直径d=25mm的圆杆计算。材料的许用应力同为[]=60MPa。试确定起重机的许可吊重。解：画出滑轮A的受力图，斜撑AB受压，轴力为N，钢索1受力为F1，F2=P，有yxF2F1PN450300150APAB45030015021解得：第三十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五例7：简易悬臂起重机，撑杆AB为空心钢管，外径105mm，内径95mm。钢索1和2平行，且设钢索可作为相当于直径d=25mm的圆杆计算。材料的许用应力同为[]=60MPa。试确定起重机的许可吊重。yxF2F1PN450300150APAB45030015021现确定许可吊重：同理，钢索1允许的拉力为：结论：允许吊重17k

N。第三十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五ll1轴向变形由材料的拉伸试验，在线弹性阶段有——胡克定律E——材料的弹性模量——胡克定律即为杆件轴向变形的计算公式轴向应变横截面应力：（1）胡克定律只适用于线弹性，即EA——

杆件的抗拉刚度，表征杆件抵抗变形的能力。（2）说明：bb1一、轴向变形、胡克定律沿轴线方向的变形（3）对于轴力、横截面积或弹性模量沿杆轴逐段变化的杆有：2.7拉、压杆的变形胡克定律第三十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五横向变形：横向应变：横向应变与纵向应变的关系：——称为横向变形系数或泊松比μ

和E

，是材料的两个弹性常数，由实验测定。μ是一个无量纲量，对于大多数材料，0<μ<0.5。当应力不超过比例极限时，有二、横向变形与泊松比μ钢材的E约为200GPa,μ为0.25-0.33垂直于轴线方向的变形说明：理论与试验均表明，对于各向同性材料，E、G、μ存在如下关系：ll1bb12.7拉、压杆的变形胡克定律第三十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五2.7拉、压杆的变形胡克定律xFN

/kN解：计算杆的变形：60kN80kN50kN30kN1m2m1.5m①②③计算杆的应变：例8：A=500mm2；Ｅ＝200GPa，μ＝0.3，（1）杆的总变形；（2）杆的横向应变。求：第三十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五2.7拉、压杆的变形胡克定律例9:已知：E1=200GPa，A1=127mm2，l1=1.155m

,E2=70GPa，A2=101mm2，P=9.8kN。试求：A点的位移。解：(1)、计算各杆的轴力（截面法）xy(2)、计算杆的变形1杆的伸长(受压)2杆的缩短第三十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五(3)、节点A的位移与结构原尺寸相比为很小的变形，称为小变形。在小变形条件下，通常可按结构原有几何形状与尺寸计算约束力与内力，并可采用切线代圆弧的方法确定位移（又称J.V.Williot图解法，1877，法国）。2.7拉、压杆的变形胡克定律第四十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五例10已知：杆AB

和BC

的拉压刚度EA

相同，且B

点受集中力P。试求：B点的位移。解：1、计算各杆的轴力B点的平衡方程为2、计算AB、BC杆的变形AB杆的变形BC杆的变形B2.7拉、压杆的变形胡克定律第四十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五3、求节点B

的位移切线代圆弧确定B的新位置，如图所示。B

点的水平位移为B

点的铅垂位移为B3即为B

点的新位置，为计算方便，作辅助线BB’，则2.7拉、压杆的变形胡克定律例10已知：杆AB

和BC

的拉压刚度EA

相同，且B

点受集中力P。试求：B点的位移。第四十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五作业(习题)P63-652-11，2-15,2-19,2-25第四十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五一、静定与静不定概念能由静力平衡方程求出全部未知量的问题——称为静定问题系统的未知量数≤

系统所具有的独立平衡方程数不能由静力平衡方程求出全部未知量的问题——称为静不定问题系统的未知量数＞

系统所具有的独立平衡方程数静不定次数=系统的未知量数－系统所具有的独立平衡方程数1l23BCDAA一次静不定二次静不定AEABCDaaaE刚性杆2.8拉、压超静定问题第四十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五二、静不定问题的求解思路:

根据系统静不定的次数，由变形几何关系，寻求补充方程。然后，与平衡方程联立求解。1l23BCDAA例11：图示桁架。已知：E1=E2，A1=A2，E3，A3，α，P。求各杆的轴力。解：（1）建立系统的平衡方程（1）（2）（2）建立变形几何方程A1（3）——变形协调方程（3）建立变形与轴力的关系方程——物理方程（4）2.8拉、压超静定问题第四十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五联立求解平衡方程（1）、（2）与补充方程（5），得：解题步骤小结：（1）建立系统的平衡方程（2）建立变形协调方程（3）建立物理方程——补充方程（4）联立求解平衡方程和补充方程（4）由变形协调方程和物理方程，得出补充方程：（5）1l23BCDAAA12.8拉、压超静定问题第四十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五ABCDaaaE①②③刚性杆例12:

图示结构，AE为刚性杆，杆①、②和③的抗拉刚度分别为E1A1、E2A2、E3A3，长度均为l。求：各杆的拉力。解：建立平衡方程：（1）建立变形协调方程：AExy（2）（3）将式（4）代入（2）、（3），得（5）建立补充方程（4）建立物理方程第四十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五联立求解方程（1）、（5），可得当3个杆抗拉刚度相等时，有AExy第四十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五⑴平衡方程：解：设1、2杆的轴力分别为N1和N2，例题13：设横梁AB的变形可以忽略，1、2两杆的材料相同，横截面积相等。试求：1、2两杆的内力。AB⑶物理方程⑵几何方程l112`C'Cl2aaaPl12ABN1N2第四十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五⑷联立上式求解，得⑵倾斜放置的杆，以固定端为圆心，以原长+变形量为半径画弧，或者以“切线代圆弧”来建立变形间三角函数关系。结论：⑴垂直（水平）放置的杆，直接计算其变形量；l112`C'Cl2第五十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五abABC例14:

图示两端固定等直杆AB，在截面C

处沿轴线方向作用一集中力P，试求：两端的约束力。ABC解：（1）建立系统的平衡方程（1）（2）建立变形协调方程设AC段的变形为Δl1,BC段的变形为Δl2,应有（2）（3）建立物理方程x（4）建立补充方程（4）联立求解方程（1）和（4），得12（3）第五十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五1、热应力——由于温度变化引起材料热胀冷缩，在结构中产生的应力。求解步骤：lAB1.建立平衡方程2.建立变形协调方程设由于约束力FRA、FRB引起的压缩变形为Δl，温度变化引起的伸长变形为ΔlT，3.建立物理方程Hooke定律：其中：α——线膨胀系数单位：1/°C（单位温度变化、单位长度杆件的线膨胀量）ΔT——温度变化量；l——杆件原长。由于约束的作用，有热应力：l将物理方程代入变形协调方程2.9温度应力与装配应力热应力问题——超静定问题第五十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五变形协调方程：l装配应力问题的变形协调条件lAB2.9温度应力与装配应力2、装配应力——由于构件加工误差而在安装时结构内产生的应力。第五十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五解：设三根杆的内力分别为：N1，N2，N3，AB梁的受力如图，由平衡得：例题15：设横梁AB为刚性梁，1杆由黄铜制成，A1=2cm2，E1=100GPa，α1=16.5×10-6/℃。2，3两杆由碳钢制成，A2=1cm2，A3=3cm2，E2=E3=200GPa，α2=α3=12.5×10-6/℃。设温度升高20℃，P=40kN,c=0.25m,δ=0.2mm，l=2m，a=1.5m，b=1.0m。试求：各杆的应力。l1l2l3N1PABN3N2C变形如图，则协调方程为：（1）（2）（3）各杆变形等于载荷产生的变形与温度引起的变形之和，有：cPl12AB3δab第五十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五将三杆变形表达式带入协调方程得：代入数据，联立方程（1）（2）（3），解得各杆内力分别为：由此得各杆的应力分别为：第五十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五一、应变能概念应变能：弹性体因变形而储存的能量。用Vs表示。由能量守恒定律得：Vs=W其中：W为外力所做功之和。二、外力功与应变能计算以受拉杆件为例来研究轴向载荷在变形过程中所做之功以及杆件的应变能。在缓慢加载过程中f所作总功为：2.10拉伸、压缩时的应变能载荷所作总功在数值上等于△OAB的面积