空间几何体的体积

柱、锥、台和球体的体积复习回顾1.正方体的体积公式V正方体=a3(这里a为棱长)2.长方体的体积公式V长方体=abc(这里a,b,c分别为长方体长、宽、高)或V长方体=sh(s,h分别表示长方体的底面积和高)正方体的棱长为2，求它的体积长方体的长为3，宽为4，高为5，求它的体积。等底等高的三角形面积相等等面积法：

取一摞作业本放在桌面上(如图所示)

，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从以上事实中你得到什么启发？一.祖暅原理祖暅原理：幂势既同，则积不容异.

也就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和纽带，原理中含有三个条件，条件一是两个几何体夹在两个平行平面之间；条件二是用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个平面；条件三是两个截面的面积总相等，这三个条件缺一不可，否则结论不成立.祖冲之（公元429年─公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。生于宋文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。祖暅，祖冲之之子，圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的“祖暅原理”（或刘祖原理）。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年。祖暅的儿子祖皓，续传家学，后来也成了数学家。

等底面积、等高的两个柱体是否体积相等？体积相等等高、等截面面积（不受截面形状影响）二.棱柱和圆柱的体积柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积.即V柱体=S·h.hh底面半径是R，高为的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱=πR2h.三.锥体体积ABCC1A1B1以三棱柱为例2．锥体体积锥体底面积为S，高为h的三棱锥的体积为三.棱锥和圆锥的体积1.如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体=Sh.2.如果圆锥的底面半径是R，高是h，则它的体积是V圆锥=πR2h.四.棱台和圆台的体积1.V台体=；其中S、S’分别为台体上、下底面面积，h为台体的高.

V柱体=shS=S/S/=0SS’SS数形五.球的体积V球=，其中R为球的半径.例1.如图所示，在长方体ABCD－A’B’C’D’中，用截面截下一个棱锥C－A’DD’，求棱锥C－A’DD’的体积与剩余部分的体积之比。ADCBC/D/B/A/CA/D/DSh例1.如图所示，在长方体ABCD－A’B’C’D’中，用截面截下一个棱锥C－A’DD’，求棱锥C－A’DD’的体积与剩余部分的体积之比。解：已知长方体可以看作是直四棱柱ADD’A’－BCC’B’。设底面ADD’A’的面积是S，高为h，则它的体积为V=Sh.因为棱锥C－A’DD’的底面面积是S，高是h，所以棱锥C－A’DD’的体积是

VC－A’DD’=

所以棱锥C－A’DD’的体积与剩余部分的体积之比是1：5.练习1:如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC的体积为____________．

BACA1B1C1

解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，

因此约有5.8×103÷(7.8×2.956)≈252(个)答：螺帽的个数约为252个.

练习题：1．设六正棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（

）（A）6（B）

（C）2（D）2B2．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是

.3.若球的大圆面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的（

）（A）3倍（B）9倍

（C）27倍（D）3倍D4.圆台的上、下