【全国百强校】湖北省黄冈市黄冈中学2016届高三5月第一次模拟考试理数试题解析（解析版）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，全集，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因,故,故应选C.考点：集合的运算.2.已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（）A．B．C．D．【答案】B考点：复数的有关概念及运算.3.已知，，则下列结论正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数【答案】D【解析】试题分析：因,故,故,应选D.考点：函数的奇偶性及判定.4.过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂线的延长线与轴的交点坐标为，则此双曲线的离心率是（）A．B．2C．D．【答案】A【解析】试题分析：设,则,故,即,故,应选A.考点：双曲线的几何性质.5.现有4种不同的颜色为我校校训四个主题词（如图）涂色，则相邻的词语涂色不同的概率为（）A．B．C．D．【答案】C考点：两个计数原理和排列数组合数及概率公式的运用.6.如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是，动点从点出发沿着圆弧按的路线运动（其中五点共线），记点运动的路程为，设，与的函数关系为，则的大致图象是（）【答案】A考点：函数的图象及运用.7.执行如图所示的程序，若，则输出的值是（）A．3B．4C【答案】C【解析】试题分析：因,这时,运算结束,故应选C.考点：算法流程图的识读和理解.8.设，且，则（）A．B．C．D．【答案】D考点：两角和与差的正切公式及三角变换.9.不等式组的解集记为，有下面四个命题：；；；.其中的真命题是（）A．B．C．D．【答案】C考点：线性规划及有关知识的综合运用.【易错点晴】线性规划的有关知识是高中数学中重要的内容和考点,也是数形结合的良好素材.解答本题时首先要充分利用题设中提供的不等式组并将其在平面直角坐标系中表示出来,然后运用的检验和验证的数学思想方法对题设中提供的所有答案逐一验证和推理,最后选择出正确的答案是.在这里对问题中提供的信息要充分掌握和深刻理解是必须的.10.已知点是抛物线与圆在第一象限的公共点，且点到抛物线焦点的距离等于，若抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，为坐标原点，则直线被圆所截得的弦长为（）A．2B．C．D．【答案】C考点：直线圆及抛物线等有关的综合运用.【易错点晴】本题考查的是圆与抛物线的位置关系等有关知识的综合运用.解答时充分依据题设条件所提供的有效信息,先利用抛物线的定义将问题进行合理转化,再次运用等价转化的数学思想将最小值问题也进行了转化.从而使得问题简单明了,最后通过将点代入抛物线方程可得,建立的直线方程借助圆心距与半径弦长之间的关系求出弦长.求的值是解答本题的难点也是关键之所在,解决这个难点的方法值得借鉴和学习.11.已知函数，若对任意的，在区间总存在唯一的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由题设,即,由于,故,所以且,因在上单调递增,故,所以,故,应选D.考点：函数的零点的有关知识及综合运用.12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（）A．B．C．D．【答案】C可得,由此可得,所以,所以外接球的半径,应选C.考点：三视图的识读和理解及几何体体积的计算.【易错点晴】本题以网格纸上的几何图形为背景,提供了一个三棱锥的几何体的三视图,要求求其外接球的半径,是一道较为困难的难题.难就难在无法搞清其几何形状,只知道是一个三棱锥(四面体)是没有任何用的.通过仔细观察不难看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,正的边长为,其外接圆的半径,同样正的外接圆的半径是,由球的对称性可知球心必在对角线上,且经过六个点,设球心到平面的距离为；球心到平面的距离为,而两个平面和之间的距离为,则由球心距垂面圆半径之间的关系可得,所以,即,又,将其代入可得,由此可得,所以,所以外接球的半径,其中计算时可用等积法进行.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.在的展开式中，含项的系数为.【答案】考点：二项式定理及展开式的运用．14.在一个俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话，一次我们和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗子？”这四个人的回答如下：第一个人说：“我们四个人全都是骗子”；第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子”；第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子”；第四个人说：“我是老实人”.请判断一下，第四个人是老实人吗？.（请用“是”或“否”作答）【答案】是【解析】试题分析：依据题设条件可知前三个人的说法都是在撒谎,因说别人是骗子的都是不诚实的,所以依据题设中的规则第四个人说的是真话,即第四个人是老实人,所以应填是.考点：推理及运用．15.已知分别是的中线，若，且，则与的夹角为.【答案】【解析】试题分析：由题设,解之得,因,即,也即,故,即,所以,应填.考点：向量的数量积公式及运用．【易错点晴】平面向量是高中数学中较为重要的知识点和考点.本题以三角形的中线长为背景精心设置了一道两向量数量积的值的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,综合运用向量的三角形法则和平行四边形法则,并依据题设这条件中的特创造性地建立关于已知和未知之间的方程组,通过解方程组求出了向量,然后再代回又建立了所求问题的方程,最后通过解方程求出与的夹角为.整个求解过程体现了和充满了方程思想.16.在四边形中，，，则的最大值为.【答案】考点：正弦定理余弦定理及三角变换公式的灵活运用．【易错点晴】本题以四边形为背景精心设置了一道求边长最大值的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,特别是题设中的,解答时仔细观察探寻出与这个等式之间的内在关系.创造性地得出的外接圆的直径为,且是直径所对圆周角是直角这一非常有用的结论和信息,为下一步求的最大值和运用余弦定理奠定了基础.本题隐含的综合难度之大,涉及到的知识点之多是其它题是无法比拟的.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设是数列的前项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).（2）由（1）得：，∴①②①-②得：∴.考点：等比数列的有关知识和综合运用．18.（本小题满分12分）为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零点中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）；①；②；③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品（ⅰ）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望.【答案】（1）性能等级为丙；(2)（i）；（ii）.（ⅱ）由题意可知的分布列为故.考点：线性相关系数及数学期望等知识的综合运用．19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等比三角形，过作平面平行于，交于点.（1）求证：；（2）若四边形是正方形，且，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).设平面的法向量为，由，得，令，得，设平面的法向量为，由，得，令，得，∴，故所求二面角的余弦值是.考点：空间直线与平面的位置关系、空间向量等知识的综合运用．20.（本小题满分12分）已知椭圆的左焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，当轴时，的周长最大值为8.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过点，求当面积最大时直线的方程.【答案】(1)；(2)或.（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得.设，则，且，，所以②令，则②式可化为.当且仅当，即时，等号成立.所以直线的方程为或.考点：直线与椭圆的有关知识及基本不等式的综合运用．【易错点晴】本题设置的目的是考查直线与椭圆的位置关系等基础知识和基本方法,也是检测运算求解能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.解答本题的第一问时,直接运用了题设条件中所提供的信息建立方程求出了；第二问中的问题的求解中借助直线与椭圆的位置关系,建立了关于变量的面积函数,然后通过换元将其转化为变量的函数,借助基本不等式求出取得最大值时的值.使得问题简捷巧妙地获解,解答过程简捷明快,值得借鉴.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）若函数存在单调增区间，求实数的取值范围；（2）若，证明：，总有.【答案】(1)；(2)证明见解析.设函数，，则，当时，，即在上是减函数，当时，，即在上是增函数，所以在上，，所以，即，（当且仅当时上式取等号）②，综上所述，，因为①②不能同时取等号，所以，在上恒成立，所以，总有成立.考点：导数及有关知识在研究函数的单调性和最值等方面的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是含参数的函数解析式为背景,设置了两道问题,其目的是考查导数知识的综合运用及分析问题解决问题的能力.解答本题的第一问时,先将单调递增问题转化为不等式恒成立问题,通过求函数的最值求出参数的取值范围.第二问的不等式证明问题是高中数学问题的难点问题.本题在求证时充分借助题设条件,将欲证不等式进行等价合理转化,然后借助导数这一重要工具逐步分析推证,最后使得问题巧妙获证.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形是圆的内接四边形，是圆的直径，，的延长线与的延长线交于点，过作，垂足为点.（1）证明：是圆的切线；（2）若，求的长.【答案】(1)证明见解析；(2).考点：圆中有关定理和知识的综合运用．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上.（1）若直线与曲线交于两点，求的值；（2）求曲线的内接矩形的周长的最大值.