自动控制原理总结之判断系统稳定性方法

..>判断系稳定性的方法稳定性判据〔时域〕赫尔维茨判据系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正；将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即则方程无正根，系统稳定。赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。例；假设系统的特征方程为试判断系统是否稳定。解：系统特征方程的各项系数均为正数。根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。由△得各阶子行列式；各阶子行列式都大于零，故系统稳定。劳思判据〔1〕劳思判据充要条件：A、系统特征方程的各项系数均大于零，即ai>0；B、劳思计算表第一列各项符号皆一样。满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。〔2〕劳思计算表的求法：A、列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行，即：B、计算劳思表系数bi的计算要一直进展到其余的bi值都等于零为止。用同样的前两行系数穿插相乘，再除以前一行第一个元素的方法，可以计算c，d，e等各行的系数。〔3〕劳思判据的两种特殊情况A、劳思计算表第一列出现零的情况因为不能用零作为除数，故第一列出现零时，计算表不能继续排下去。为解决该问题，其方法是用一个小的正数ε代替0进展计算，再令ε→0求极限来判别第一列系数的符号。B、劳思计算表中出现*一行各项全为零的情况此时，劳思表将在全为零的一行处中断，其解决方法是将不为零的最后一行的各项组成一个"辅助方程式〞，将该方程式对s求导数，用求得的各项系数代替原来为零的各项，然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项，对称根可由辅助方程求得。例1：系统特征方程为判别系统是否稳定，假设不稳定，求不稳定根的数目。解：根据特征方程可知，其各项系数均为正。列写劳思计算表并计算得：当ε→0时，故第一列有两次变号，系统特征方程有两个正根，系统不稳定。例2：控制系统的特征方程为试判定系统的稳定性。解：根据系统的特征方程可知，其各项系数均为正。列写劳思计算表并计算得：因s3行各项全为零，故以s4行的各项作系数，列写辅助方程如下：将A(s)对s求导，得：再将上式的系数代替s3行的各项系数，继续写出以下劳思计算表：从劳思表的第一列可以看出，各项均无符号变化，故特征方程无正根。但是因s3行出现全为零的情况，故必有共轭虚根存在。共轭虚根可通过辅助方程求得其共轭虚根为，这四个根同时也是原方程的根，他们位于虚轴上，因此该控制系统处于临界状态，系统不稳定。根轨迹法〔复域〕系统稳定的充要条件：所有的闭环极点都在S平面的左半平面。例：系统的开环传递函数为QUOTE，试应用根轨迹法分析系统的稳定性。解：QUOTE(K*=2k)做根轨迹：有三条根轨迹〔n=3m=0n-m=3〕实轴上QUOTE为根轨迹段渐近线的夹角与坐标：QUOTE别离点坐标d：解得d1d2=-1.58〔舍去〕因为d2不在根轨迹上与虚轴的交点坐标：令S=jw代入到式中得：解得：QUOTE故QUOTE根轨迹图如下所示：频率特性奈氏判据〔奈奎斯特判据〕Z=P-2N系统稳定时Z=0由开环传递函数在S平面的极点个数P，奈氏曲线绕〔-1，j0〕的圈数N，得到闭环传递函数在S平面的极点的个数ZP通过G(S)可知N：顺时针为负，逆时针为正当V≠0时，需要做增补线W:0QUOTE从幅相曲线QUOTE位置开场沿逆时针方向画V×90°的圆弧增补线〔理论半径为QUOTE〕计算圈数时要包括所画圆弧的增补线在内。例：*单位负反响系统的开环传递函数为QUOTE试用奈氏判据判别闭环稳定性。解:W：QUOTE幅值趋于0，相角趋于-270°。N=-1，P=0，Z=P-2N=2故闭环系统不稳定。对数频率判定系统稳定性在截止频率之前，在对数幅频曲线L(W)＞0.对应的频率范围对应的相角是否穿越-180°在V≠0时，也需要做增补线，从对数相频特性曲线上QUOTE处开