第四节对弧长的曲线积分

第四节对弧长的曲线积分第一页，共三十页，编辑于2023年，星期五G

表示的几种几何形体以及其上的积分：D闭区间[a,b]L(平面有界闭区域)（平面有限曲线段）（有限曲面片）(空间有界闭区域)(空间有限曲线段)二重积分三重积分对弧长的曲线积分对面积的曲面积分第二页，共三十页，编辑于2023年，星期五几何形体上的积分重积分对弧长的（第一类）曲线积分对面积的（第一类）曲面积分第三页，共三十页，编辑于2023年，星期五当G为平面或空间有限光滑(或分段光滑)曲线(L或)时，积分称为对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,即当L(或)为简单闭曲线时,对弧长的积分记为第四页，共三十页，编辑于2023年，星期五计算思路：化为定积分来计算点在L上变化复习弧长微分概念对弧长的曲线积分的计算第五页，共三十页，编辑于2023年，星期五(1)直角坐标情形对x取有弧长微分公式

以直代曲一、弧长微分过点M作切线，第六页，共三十页，编辑于2023年，星期五(2)参数方程情形曲线弧为且在上具有连续导数弧长微分公式第七页，共三十页，编辑于2023年，星期五(化为定积分)（1）参数方程情形其中且设曲线二、对弧长曲线积分的计算1.平面曲线积分第八页，共三十页，编辑于2023年，星期五(化为对t的定积分)因此计算公式第九页，共三十页，编辑于2023年，星期五第一类曲线积分的计算公式注1:故右端的定积分存在.第十页，共三十页，编辑于2023年，星期五注2:在第一型曲线积分的计算中,定积分的下限一定要小于上限.第十一页，共三十页，编辑于2023年，星期五（2）直角坐标情形化成参数方程若第十二页，共三十页，编辑于2023年，星期五例1计算其中L的方程是解先求参数形式的弧微分第十三页，共三十页，编辑于2023年，星期五第十四页，共三十页，编辑于2023年，星期五例2计算其中L是以为顶点的三角形边界.L是分段光滑弧段,解第十五页，共三十页，编辑于2023年，星期五在OA上，故在AB上，故第十六页，共三十页，编辑于2023年，星期五故在BO上，因此第十七页，共三十页，编辑于2023年，星期五2.空间对弧长的曲线积分计算(参数情形)曲线平面情形的推广第十八页，共三十页，编辑于2023年，星期五例3计算其中是螺线的第一圈解第十九页，共三十页，编辑于2023年，星期五第二十页，共三十页，编辑于2023年，星期五以圆弧的圆心为坐标原点,例4

有一段铁丝成半圆形L，半径为R，其上任一点的线密度的大小等于该点到其两端点连线的距离，求其质量.L的对称轴为y轴.则建立坐标系:解线密度为质量为第二十一页，共三十页，编辑于2023年，星期五

L(半圆弧)

的参数方程为第二十二页，共三十页，编辑于2023年，星期五小结对弧长的曲线积分的计算----化为定积分1.把积分路径L代入被积函数；2.根据积分路径L的不同的表示形式，求出弧微分.3.定出定积分的上下限，下限小于上限.第二十三页，共三十页，编辑于2023年，星期五(1)曲线弧为参数方程的计算(2)曲线弧的方程为显函数方程的计算将显函数方程化为参数形式：第二十四页，共三十页，编辑于2023年，星期五思考题1.以下两式正确否？（1）区域则(错误)（2）曲线则(正确)第二十五页，共三十页，编辑于2023年，星期五

2.若有不均匀的椭圆形构件，其上一点的线密度则此椭圆形构件的平均线密度是

提示：平均线密度=质量M/曲线长L平均线密度第二十六页，共三十页，编辑于2023年，星期五平均线密度第二十七页，共三十页，编辑于2023年，星期五讨论题

由此给出对弧长的曲线积分的几何意义.已知一柱面的准线（平面曲线）和高，可以利用积分求出它的面积吗？提示：由定积分的几何意义推广.答：柱面的侧面积（准线y=y(x)为底边，z=f(x,y)为高的面积）y=y(x)第