第六章定积分的几何应用

1第一页，共四十四页，编辑于2023年，星期五类似地,若而在b的左邻域内无界,则定义而在点a的右邻域内无界,存在,若极限[a,b]上的反常积分,记作则称此极限为函数f(x)在

无界函数的反常积分无界点常称为瑕点第二页，共四十四页，编辑于2023年，星期五而在点c的邻域内无界,则定义第三页，共四十四页，编辑于2023年，星期五说明:

(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.第四页，共四十四页，编辑于2023年，星期五不存在例解第五页，共四十四页，编辑于2023年，星期五第六章定积分的应用第一节元素法第六页，共四十四页，编辑于2023年，星期五在第五章，我们学习了定积分的概念和定积分的计算，本章我们将研究如何利用定积分作为工具来解决一些实际问题中有关的计算:实际问题化为积分模型计算定积分。1.什么类型的问题可化为积分模型?2.如何化成积分模型?第七页，共四十四页，编辑于2023年，星期五回顾曲边梯形求面积的问题一、问题的提出abxyo第八页，共四十四页，编辑于2023年，星期五面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值第九页，共四十四页，编辑于2023年，星期五abxyo（4）求极限，得A的精确值面积元素第十页，共四十四页，编辑于2023年，星期五第十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期五具体问题表示为定积分的一般步骤：第十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期五这个方法通常叫做元素法．应用方向：

几何上:平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；物理上:功；水压力；引力等．第十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期五小结元素法的实质是:在小的范围内以常量代替变量,求和取得近似值,再取极限得到精确值第十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期五第六章定积分的应用第二节定积分在几何上的应用第十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期五曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、平面图形的面积1直角坐标系情形第十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期五第十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期五解两曲线的交点面积元素选为积分变量第十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期五例2

解第十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期五解两曲线的交点选为积分变量第二十页，共四十四页，编辑于2023年，星期五于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？第二十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期五解两曲线的交点选为积分变量第二十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期五如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积第二十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期五解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．第二十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期五面积元素曲边扇形的面积2、极坐标系情形第二十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期五解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积第二十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期五解利用对称性知第二十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期五例7解第二十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期五第二十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期五求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）小结第三十页，共四十四页，编辑于2023年，星期五

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台1、旋转体的体积二体积第三十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期五xyo旋转体的体积为第三十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期五解直线方程为第三十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期五第三十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期五解第三十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期五第三十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期五例3.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为利用对称性第三十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期五绕y轴旋转而成的体积为注意上下限!第三十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期五解例4第三十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期五第四十页，共四十四页，编辑于2023年，星期五第四十一页，