圆周角和直径的关系及圆内接四边形1

3.4圆周角和圆心角的关系第三章圆BS九(下)教学课件第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形如图是一个圆形，给你一个三角板，你有办法确定这个圆的圆心吗？情境引入直径所对应的圆周角

如图，AC是圆O的直径，则∠ADC=

，∠ABC=

.90°90°

推论：直径所对的圆周角是直角.反之，90°的圆周角所对的弦是直径.新课讲解1思考

回归到最初的问题，你能确定圆形的圆心吗？利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心.新课讲解问题

如图，☉O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交☉O于B,

求AB、BC的长．B解：(1)∵AC是直径，∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，新课讲解例1在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，(2)∵AC是直径,∴∠ABC=90°.∵BD平∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC

.∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.B解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.

归纳新课讲解如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(

)A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.C新课讲解练一练圆内接四边形及其性质

四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.思考：圆内接四边形有什么特殊的性质吗？新课讲解2如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.

(2)当ABCD为一般四边形时，猜想：∠A与∠C,

∠B与∠D之间的关系为

.

∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º(1)当ABCD为矩形时，∠A与∠C,

∠B与∠D之间的关系为

.

∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º新课讲解证明：圆内接四边形的对角互补.已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.求证∠BAD+∠BCD=180°.证明：连接OB、OD.根据圆周角定理，可知12由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180°新课讲解CODBA∵∠A＋∠DCB＝180°，E∠DCB＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有何关系？新课讲解想一想圆内接四边形的对角互补.推论归纳总结1．四边形ABCD是☉O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=

，∠D=

.2．⊙O的内接四边形ABCD中，

∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠D=

.

70º100º90º新课讲解练一练3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝

120°，那么∠BCD是(

)A．120°B．100°C．80°D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.A新课讲解3.在☉O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.OABDC解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°∴∠C=180°－∠CBD－∠BDC=130°∴∠A=180°－∠C=50°（圆内接四边形对角互补）随堂即练

如图，AB为☉O的直径，CF⊥AB于E，交☉O于D，AF交☉O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于☉O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为☉O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.新课讲解例21.如图，AB是☉O的直径,C

、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.50°ABOCD2.如图，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是☉O的直径，则∠AEB等于（）A.70°

B.110°C.90°

D.120°BACBODE随堂即练3.在☉O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.OABDC解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°∴∠C=180°－∠CBD－∠BDC=130°∴∠A=180°－∠C=50°（圆内接四边形对角互补）随堂即练

已知∠OAB等于40°,求∠C

的度数.ABCOD随堂即练变式4.如图，△ABC内接于☉O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为☉O的直径，AD=6，那么AB的值为（）A．3 B．C．D．2A随堂即练5.如图，点A、B、D、E在☉O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是☉O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；随堂即练(2)在上述题设条件下，当△A