新教材数学苏教版课件922向量的数乘

向量的数乘必备知识·自主学习1.向量的数乘运算(1)定义导思1.向量的数乘运算的定义是什么?2.向量的数乘运算的运算律有哪些?3.两个向量共线的充要条件是什么?文字表述一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个_____,这种运算叫作向量的数乘,记作____.规定长度|λa|=________方向当λ>0时,λa的方向与a的方向_____;当λ<0时,λa的方向与a的方向_____;当λ=0时,λa=__.方向λ>1把向量a沿着向量a的相同方向放大0<λ<1把向量a沿着向量a的相同方向缩小-1<λ<0把向量a沿着向量a的相反方向缩小λ<-1把向量a沿着向量a的相反方向放大向量λa|λ||a|相同相反0(2)应用:①与向量的加减法综合运算;②用其几何意义研究向量共线问题.2.向量数乘的运算律设λ,μ为实数,则(1)λ(μa)=______;(2)(λ+μ)a=________;(3)λ(a+b)=________.特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.λμaλa+μaλa+λb3.向量的线性运算(1)定义:向量的_____、_____、_____统称为向量的线性运算.(2)运算结果:向量线性运算的结果仍是_____.(3)运算律:对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有

=______________.加法减法数乘向量λμ1a±λμ2b4.向量共线定理(1)条件:a为非零向量;(2)如果有一个实数λ,使b=λa,那么b与a是共线向量;(3)如果b与a是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.【思考】(1)两个向量共线的充要条件中的“a≠0”是否可以去掉?提示:不能,定理中之所以限定a≠0是由于若a=b=0,λ存在,但不唯一,若a=0,b≠0,则λ不存在.(2)与非零向量a共线的单位向量怎样表示?

提示:由于单位向量的长度总等于1,所以与非零向量a共线的单位向量应为

(3)如果条件是向量b是非零向量,应如何表示呢?提示:只需将b=λa改为a=λb.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)实数与向量也可以加减,如λ+a,a-λ. ()(2)若λa=0,则a=0(λ∈R). ()(3)向量-8a的模是向量4a的模的2倍. ()(4)若ma=mb(m∈R),则a=b. ()提示:(1)×.实数与向量不能进行加减运算,λ+a,a-λ是没有意义的.(2)×.λa=0的一种情况是a=0,另一种情况是λ=0.实际上,λa=0的充要条件是λ=0或a=0.(3)√.由向量的数乘运算的几何意义可知.(4)×.当m=0时,a与b不一定是相等向量.2.(多选题)下列各式计算正确的有 ()A.×6a=-42a

-8b=7a+15bC.a-2b+a+2b=2a

=8a+4b【解析】选ACD.进行线性运算,分别进行验算.7

-8b=7a+7b-8b=7a-b.3.(教材二次开发:练习改编)把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a的积:(1)a=-6e,b=8e可表示为________;

(2)a=-

e,b=-

e可表示为________.

【解析】(1)因为a=-6e,b=8e,所以

,所以可表示为b=-

a;(2)因为a=-

e,b=-

e,所以所以可表示为b=

a.答案:(1)b=-

a

(2)b=

a关键能力·合作学习类型一向量的线性运算(数学运算)【题组训练】1.(2020·石嘴山高一检测)

(2a+8b)-(4a-2b)等于 ()a-6bb-3ab-3aa-2b2.已知向量x,y满足3x-2y=a,-4x+3y=b,则x=________,y=________.(用a,b表示)

3.如图,已知向量a与b,求作向量3a-

b.【解析】1.选B.原式=a+4b-4a+2b=6b-3a.2.由已知得①×3+②×2得x=3a+2b,①×4+②×3,得y=4a+3b.所以x=3a+2b,y=4a+3b.答案:3a+2b

4a+3b

3.作向量=3a,=

b,则即为所求向量,如图:【解题策略】向量线性运算的方法(1)几何意义法依据向量加法、减法和数乘运算的几何意义,直接作图.(2)类比法向量的线性运算类似于整式的运算,例如:去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的“系数”.(3)方程法向量也可以通过列方程来求解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当地运用运算律,简化运算.【补偿训练】已知向量a,b,x,且(x-a)-(b-x)=x-(a+b),则x=________.

【解析】因为(x-a)-(b-x)=x-(a+b),所以2x-a-b=x-a-b,即x=0.答案:0类型二用已知向量表示未知向量(逻辑推理、数学运算)【典例】已知在▱ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点.若试用e1,e2表示四步内容理解题意条件:结论:表示

思路探求由及为△MAN的中线可求解.四步内容书写表达因为M,N分别是DC,BC的中点,所以.因为所以又因为AO是△AMN的中线,所以注意书写的规范性:①向量书写正确;②最终结果尽量按先e1后e2的顺序.题后反思用已知向量表示未知向量,是向量加减法与数乘运算的综合应用【解题策略】用已知向量表示相关向量(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.【跟踪训练】如图所示,四边形OADB是以向量为邻边的平行四边形.又

试用a,b表示

【解析】所以因为所以所以【补偿训练】设M,N,P是△ABC三边上的点,它们使若试用a,b将表示出来.【解析】因为所以由此可得,因为所以同理可得

【拓展延伸】两个结论1.在△ABC中,若D是线段BC的中点,则2.若O是△ABC重心,则

【拓展训练】已知在△ABC中,点M满足若存在实数m使得

成立,则m=________.

【解析】因为所以点M是△ABC的重心,所以所以m=3.答案:3

类型三向量共线的应用(逻辑推理、数学运算)角度1判断向量共线或三点共线

【典例】已知非零向量e1,e2不共线.(1)若a=

e1-

e2,b=3e1-2e2,判断向量a,b是否共线;(2)若求证:A,B,D三点共线.

【思路导引】(1)利用向量共线定理判定向量共线;(2)先判断与共线,进而证明A,B,D三点共线.【解析】(1)因为b=3e1-2e2=6

=6a,所以向量a,b共线.(2)因为=2e1+8e2+3=5

=5,所以与共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线.【变式探究】把本例(1)的条件改为“a=3e1+4e2,b=6e1-8e2”,判断a与b是否共线?【解析】若a与b共线,则存在λ∈R,使a=λb,即3e1+4e2=λ(6e1-8e2),所以(6λ-3)e1=(4+8λ)e2.因为e1与e2不共线,所以

所以λ不存在,所以a与b不共线.角度2运用向量共线求参数

【典例】若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同,则当t为何值时,a,tb,

(a+b)三向量的终点在同一条直线上.【思路导引】根据已知的三个向量的终点在同一条直线上建立a,b的关系,然后根据a,b不共线列方程求t.【解析】设所以要使A,B,C三点共线,只需所以-

a+

b=λ(tb-a).

即由a,b不共线,必有λ-

=λt-

=0.否则,不妨设

则a=由两个向量共线的充要条件知,a与b共线,与已知矛盾.由解得所以当t=

时,三向量终点在同一条直线上.【解题策略】1.判断向量共线或三点共线的方法(1)判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一实数λ,使得a=λb(b≠0).(2)一般来说,要判断A,B,C三点共线,只需看是否存在实数,使得(或=λ等)即可.2.利用向量共线求参数的基本步骤(1)根据向量共线的充要条件建立共线向量之间的等量关系(通常要引入一个参数).(2)依据下述结论列方程组求参数.结论:如果λb=μa,且a与b不共线,则实数λ和μ都是0.理由:若λ,μ是两个不同时为零的实数.不妨设λ≠0,则b=

a.由两个向量共线的充要条件知,a与b共线,与已知矛盾.所以实数λ和μ都是0.【题组训练】1.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量a=2e1-e2,与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线,则λ的值为 ()

【解析】选D.因为向量a与b共线,所以存在唯一实数u,使b=ua成立.即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2,所以(2u-1)e1=(λ+u)e2,又因为e1与e2不共线.所以解得λ=-

.2.(2020·西安高一检测)设e1,e2是两个不共线向量,=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.(1)证明:A,B,D三点共线;(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.【解析】所以因为与有公共点,所以A,B,D三点共线.

(2)因为B,D,F三点共线,所以存在实数λ,使=λ,所以3e1-ke2=λe1-4λe2,所以(3-λ)e1=(k-4λ)e2,又因为e1,e2不共线,所以解得λ=3,k=12.【拓展延伸】关于A,B,C三点共线条件的变形式平面上三点A,B,C共线的充要条件是:存在实数α,β,使得=α+β,其中α+β=1,O为平面内任意一点.【拓展训练】已知A,B,P三点共线,O为直线外任意一点,若=x+y,求x+y的值.【解析】设则则所以x+y=-λ+1+λ=1.1.已知a=5e,b=-3e,c=4e,则2a-3b+c= ()eeee【解析】选C.因为2a-3b+c=2·5e-3·(-3e)+4e=10e+9e+4e=23e.课堂检测·素养达标2.如图,在平行四边形ABCD中,E为CD边的中点,且=a,=b,则= ()A.a+

b B.a-

bC.b+

a D.b-

a【解析】选D.因为E为CD边的中点,所以所以3.已知a=2e1+e2,b=e1-2e2,则a+b=________,a-b=________,2a-3b=_______