微专题(一)　小船渡河模型

微专题(一)小船渡河模型eq\x(模型建构)1．三个速度v船(船在静水中的速度)、v水(水流速度)、v合(船的实际速度)．如图①所示．2．渡河时间(1)船头与河岸成α角时，渡河时间为t＝eq\f(d,v船sinα)(d为河宽)．(2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝eq\f(d,v船)(d为河宽)．3．最短航程(1)若v水<v船，则当合速度v合垂直于河岸时，航程最短，xmin＝d.船头指向上游与河岸的夹角α满足cosα＝eq\f(v水,v船).如图②所示．(2)若v水>v船，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移xmin＝eq\f(v水d,v船).如图③所示．题型一小船渡河问题的分析与求解【典例1】[一题多变]小船在水速较小的河中横渡，并使船头始终垂直河岸航行，到达河中间时突然上游来水使水流速度加快，则对此小船渡河的说法正确的是()A．小船要用更长的时间才能到达对岸B．小船到达对岸的时间不变，但位移将变大C．因小船船头始终垂直河岸航行，故所用时间及位移都不会变化D．因船速与水速关系未知，故无法确定渡河时间及位移的变化[拓展1]在【典例1】中小船在静水中的速度v1＝5m/s，水流速度v2＝3m/s，河的宽度为60m，请问小船渡河的最短时间是多少？[拓展2]在【典例1】中小船渡河位移最短时，小船的渡河时间是多少？方法技巧求解小船渡河问题的两个关键点(1)小船渡河时间仅与河宽和船沿垂直于河岸方向上的速度大小有关，与河水流动的速度无关．(2)小船渡河用时最短与位移最短是两种不同的运动情景，时间最短时，位移不是最短．

练1如图所示，一条小船渡河，河水流速v1＝3m/s，船在静水中速度v2＝4m/s，船头方向与河岸垂直．关于小船的运动，下列说法正确的是()A．小船的实际运动轨迹与岸垂直B．小船相对于岸的速度大小为1m/sC．小船相对于岸的速度大小为5m/sD．小船相对于岸的速度大小为7m/s练2端午赛龙舟是中华民族的传统，若某龙舟在比赛前划向比赛位置的途中要渡过60m宽且两岸平直的河，龙舟在静水中划行的速率为3m/s，河水的流速为4m/s，下列说法中正确的是()A．该龙舟以最短时间渡河通过的位移为60mB．该龙舟渡河的最大速率为7m/sC．该龙船渡河所用时间最短为15sD．该龙舟不可能沿垂直于河岸的航线抵达对岸练3如图所示，一条小船位于d＝200m宽的河正中A点处，从这里向下游100eq\r(3)m处有一危险区，当时水流速度为v1(1)若小船在静水中速度为v2＝5m/s，小船到岸的最短时间是多少？(2)若小船在静水中速度为v2＝5m/s，小船以最短的位移到岸，小船船头与河岸夹角及所用时间？(3)为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是多少？解题通法小船渡河问题分析思路题型二小船渡河问题与图像的综合【典例2】小船横渡一条河，为尽快到达对岸，船头方向始终与河岸垂直，为避免船撞击河岸，小船先做加速运动后做减速运动，使小船到达河对岸时恰好不与河岸相撞．小船在静水中的行驶速度v1如图甲所示，水的流速v2如图乙所示，则下列关于小船渡河的说法正确的是()A．小船的运动轨迹为直线B．河宽是150mC．小船到达对岸时，沿河岸下游运动了60mD．小船渡河的最大速度是13m/s练4一快艇从离岸边100m远的河流中央向岸边行驶．已知快艇在静水中的速度图像如图甲所示，河中各处水流速度相同，且速度图像如图乙所示．则()A．快艇的运动轨迹一定为直线B．快艇的运动轨迹可能为直线，也可能为曲线C．快艇最快到达岸边，所用的时间为20sD．快艇最快到达岸边，经过的位移为100m

————————————专题强化练————————————1．已知河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2>v1，下面用小箭头表示小船船头的指向，则下图中能正确反映小船用最短时间渡河、最小位移渡河的情境分别是()A．①②B．①⑤C．④⑤D．②③2．河宽d＝60m，水流速度v1＝4m/s且保持不变，小船在静水中的行驶速度为v2＝3m/s，则下列说法正确的是()A．小船能垂直到达正对岸B．若船头始终垂直于河岸渡河，渡河过程中水流速度加快，渡河时间将变长C．小船渡河时间最短为20sD．小船渡河的实际速度一定为5m/s3．小船要渡过200m宽的河面，水流速度是4m/s，船在静水中的航速是5m/s，则下列判断正确的是()A．要使小船过河的位移最短，过河所需的时间是50sB．要使小船过河的位移最短，船头应始终正对着对岸C．小船过河所需的最短时间是40sD．如果水流速度增大为6m/s，小船过河所需的最短时间将增大4．如图所示，小船从A处过河，船头指向与上游河岸成θ角，正好到达正对岸的B处，小船在静水中的速度大小为v1.现水流速度稍微变大，为使小船过河后仍然正好到达正对岸的B处，下列方法中可行的有()A．保持v1不变，同时增大θ角B．保持v1不变，同时减小θ角C．保持θ角不变，减小v1D．增大θ角，减小v15．河水由西向东流，河宽为800m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝eq\f(3,400)x(m/s)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船在静水中的速度大小恒为v船＝4m/s，则下列说法中正确的是()A．小船渡河的轨迹为直线B．小船在河水中的最大速度是5m/sC．小船在距离南岸200m处的速度大小小于它在距北岸200m处的速度大小D．小船渡河的时间是160s6．某小船在河宽为d、水速恒定为v的河中渡河，第一次用最短时间从渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为v1，所用时间为t1；第二次用最短航程从同一渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为v2，所用时间为t2，结果两次恰好抵达对岸的同一地点，则()A．第一次所用时间t1＝eq\f(d,v)B．第二次所用时间t2＝eq\f(d,v2)C．两次渡河的位移大小为eq\f(v2,v1)D．两次渡河所用时间之比eq\f(t1,t2)＝eq\f(v\o\al(2,2),v\o\al(2,1))7．用跨过定滑轮的绳子把湖中小船向右拉的过程中，如图所示，若保持人拉绳子的速度v不变，则小船的速度()A．不变B．逐渐增大C．逐渐减小D．先增大后减小

微专题(一)小船渡河模型【典例1】【解析】因为小船船头垂直于河岸，则渡河时间t＝eq\f(d,v船)，水流速增大，渡河时间不变，沿河岸方向的位移增大，则最终渡河的位移变大，故B正确，A、D错误；因小船船头始终垂直河岸航行，渡河时间不会随着水流速度增大而变化，故C错误．【答案】B[拓展1]解析：经分析可知，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短．最短时间：t1＝eq\f(d,v1)＝12s.答案：12s[拓展2]解析：经分析可知，当小船的合速度方向与河岸垂直时，小船渡河的位移最短，此时的合速度为v＝eq\r(v\o\al(2,1)－v\o\al(2,2))＝4m/s，渡河时间t＝eq\f(d,v)＝15s.答案：15s练1解析：船实际运动的方向为v1与v2的合速度的方向，故A错误；小船相对于岸的速度即合速度v＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2))＝5m/s，故B、D错误，C正确．答案：C练2解析：该龙舟以最短时间渡河时，船头方向与河岸垂直，则最短时间为tmin＝eq\f(d,v静水)＝eq\f(60,3)s＝20s，此时该龙舟沿河岸方向的位移x＝v水tmin＝4×20m＝80m，则该龙舟通过的位移大于60m，选项A、C错误；只有船速和水流速度同向时，龙舟的最大速率才为7m/s，则该龙舟渡河的最大速率不可能达到7m/s，选项B错误；因水流的速度大于船速，可知该龙舟不能垂直于河岸渡河，即龙舟不可能沿垂直于河岸的航线抵达对岸，选项D正确．答案：D练3解析：(1)当船头与河岸垂直时，时间最短，t1＝eq\f(d,2v2)＝20s(2)设船头与河岸的夹角为θ，渡河时间为t2，合成图如图：可知，cosθ＝eq\f(v1,v2)；θ＝37°t2＝eq\f(d,2\r(v\o\al(2,2)－v\o\al(2,1)))＝eq\f(100,3)s≈33.3s(3)设小船避开危险区，合速度与水流方向的夹角为α，则tanα＝eq\f(d,2x)＝eq\f(\r(3),3)，α＝30°当船头分运动与合运动垂直时，取得最小值．如图所示：最小速度v2min＝v1sinα＝2m/s答案：(1)20s(2)37°33.3s(3)2m/s【典例2】【解析】小船在静水中先做加速运动后做减速运动，具有加速度，又水的流速恒定，且方向与小船在静水中的速度方向垂直，小船的实际运动是两者的合运动，是曲线运动，A错误；研究小船垂直于河岸方向的运动，根据速度—时间图像中图线与时间轴围成的面积表示位移大小，可得河宽d＝eq\f(1,2)×30×10m＝150m，B正确；根据运动的等时性可知，小船沿河岸方向运动了30s，则沿河岸方向运动的距离x＝3×30m＝90m，C错误；根据矢量合成法则可知，小船在静水中的速度最大时，渡河速度最大，为eq\r(102＋32)m/s＝eq\r(109)m/s，D错误．【答案】B练4解析：快艇的轨迹一定为曲线运动，A、B两个选项错误；要使到达河岸的时间最短，则v船应垂直于河岸，s＝eq\f(1,2)at2，解得t＝20s，C选项正确；快艇最快到达岸边，位移必定大于100m.答案：C[专题强化练]1．解析：船的实际速度是v1和v2的合速度，v1与河岸平行，对渡河时间没有影响，所以v2与河岸垂直(即船头指向对岸)时，渡河时间最短，为tmin＝eq\f(d,v2)，式中d为河宽，此时合速度与河岸成一定夹角，船的实际路线应如④所示；由v2>v1知，最小位移即为d，应使合速度垂直河岸，则v2应指向河岸上游，实际路线如⑤所示，综合可得选项C正确．答案：C2．解析：由于船速小于水速，小船的合速度不可能垂直于河岸，故选项A错误；当船头垂直于河岸时，小船渡河时间最短为tmin＝eq\f(d,v2)＝20s．当水速增大时，渡河时间不受影响，故选项B错误，C正确；由于船速方向未知，无法求解小船的渡河速度，故选项D错误．答案：C3．解析：要使小船过河的位移最短，小船的船头应斜向上游，使小船与水的合速度与河岸垂直，这时合速度v合＝eq\r(v\o\al(2,船)－v\o\al(2,水))＝3m/s，船过河所需的时间t＝eq\f(d,v合)＝eq\f(200,3)s，A、B错误；若使船以最短时间渡河，船头必须垂直河岸过河，过河时间tmin＝eq\f(d,v船)＝eq\f(200,5)s＝40s，C正确；小船过河所需的最短时间与水流速度的大小无关，D错误．答案：C4．解析：由题意可知，小船相对静水的速度为v1，船头与上游河岸成θ角时，其航线恰好垂直于河岸，若水流速度稍微增大，为保持航线不变，且能到达对岸，如图所示，可以保持v1大小不变，减小θ角，或者保持θ角不变，增大v1；若增大θ角，v1大小也必须增大．故A、C、D错误，B正确．答案：B5．解析：水流的速度与其到较近河岸的距离有关，小船垂直河岸的速度恒定，则小船在沿河岸方向做变速运动，在垂直河岸方向做匀速运动，则小船的合运动为曲线运动，选项A错误；根据v水＝eq\f(3,400)x(m/s)得，小船在河中央时水流速度最大，即为v水＝3m/s，故小船的最大速度v＝eq\r(v\o\al(2,船)＋v\o\al(2,水))＝5m/s，选项B正确；无论小船是在距南岸200m处还是在距北岸200m处，水速均为v水′＝1.5m/s，则小船的合速度大小相等，选项C错误；小船渡河的时间t＝eq\f(d,v船)＝200s，选项D错误．答案：B6．解析：两次渡河的示意图分别如答图甲、乙所示，渡河最短时间t＝eq\f(d,v静)，所以t1＝eq\f(d,v1)，A错误；第一次渡河时有tanα＝eq\f(v1,v)，第二次渡河时有eq\f(v2,v)＝sinα，所以eq\f(1,cosα)＝eq\f(v1,v2)，第二次渡河时间为t2＝eq\f(d,v2cosα)＝eq\f(dv1,v\o\al(2,