2024年广东省-北京师范大学东莞石竹附属学校高三数学第一学期期末联考模拟试题含解析

2024年广东省-北京师范大学东莞石竹附属学校高三数学第一学期期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设等差数列的前n项和为，且，，则()A．9 B．12 C． D．2．已知满足，则的取值范围为（）A． B． C． D．3．在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（）．A． B． C．4 D．94．双曲线x26-y23=1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝A．3 B．2C．3 D．65．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（）A． B． C． D．6．执行如下的程序框图，则输出的是（）A． B．C． D．7．如图网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（）A． B． C． D．8．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是（）A．B．C．D．9．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数除以正整数所得的余数是”记为“”，例如.执行该程序框图，则输出的等于（）A．16 B．17 C．18 D．1910．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．11．在四面体中，为正三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为（）A． B． C．24 D．12．已知是函数的极大值点，则的取值范围是A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．中，角的对边分别为，且成等差数列，若，，则的面积为__________．14．数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，且.若任意，成立，则实数的取值范围为__________.15．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且，过点分别作于点，于点，连接，则三棱锥的体积的最大值为__________．16．展开式中，含项的系数为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形(如图所示)，其中.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道（为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.18．（12分）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．19．（12分）在四棱锥中，底面是平行四边形，底面．（1）证明：；（2）求二面角的正弦值．20．（12分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业.（1）求发生调剂现象的概率；（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望.21．（12分）在中，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．22．（10分）在中，内角，，所对的边分别是，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由，可得以及，而，代入即可得到答案.【题目详解】设公差为d，则解得，所以.故选：A.【题目点拨】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.2、C【解题分析】

设，则的几何意义为点到点的斜率，利用数形结合即可得到结论.【题目详解】解：设，则的几何意义为点到点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图可知当过点的直线平行于轴时，此时成立；取所有负值都成立；当过点时，取正值中的最小值，，此时；故的取值范围为；故选：C.【题目点拨】本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在．3、B【解题分析】

根据题意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得结果.【题目详解】根据题意，，则在中，又,则则则则故选：B【题目点拨】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.4、A【解题分析】

由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.【题目详解】双曲线的渐近线方程为y＝±22x，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r＝±答案：A【题目点拨】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.5、B【解题分析】

利用复数的除法运算化简z,复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.【题目详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为故选：B【题目点拨】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.6、A【解题分析】

列出每一步算法循环，可得出输出结果的值.【题目详解】满足，执行第一次循环，，；成立，执行第二次循环，，；成立，执行第三次循环，，；成立，执行第四次循环，，；成立，执行第五次循环，，；成立，执行第六次循环，，；成立，执行第七次循环，，；成立，执行第八次循环，，；不成立，跳出循环体，输出的值为，故选：A.【题目点拨】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.7、C【解题分析】

利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD，算出长度.【题目详解】几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为故选：C.【题目点拨】本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.8、D【解题分析】

由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为,故选D．9、B【解题分析】

由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，代入四个选项进行验证即可.【题目详解】解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整数.若输出，则不符合题意，排除；若输出，则，符合题意.故选:B.【题目点拨】本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.10、B【解题分析】

由题意得出的值，进而利用离心率公式可求得该双曲线的离心率.【题目详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，因此，该双曲线的离心率为.故选：B.【题目点拨】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.11、A【解题分析】

推导出，分别取的中点,连结，则，推导出，从而，进而四面体的体积为，由此能求出结果.【题目详解】解：在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，，，分别取的中点，连结，则，且，，，，平面，平面，，四面体的体积为：.故答案为：.【题目点拨】本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.12、B【解题分析】

方法一：令，则，，当，时，，单调递减，∴时，，，且，∴，即在上单调递增，时，，，且，∴，即在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意；当时，存在使得，即，又在上单调递减，∴时，，所以，这与是函数的极大值点矛盾．综上，．故选B．方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】

由A，B，C成等差数列得出B＝60°，利用正弦定理得进而得代入三角形的面积公式即可得出．【题目详解】∵A，B，C成等差数列，∴A+C＝2B，又A+B+C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°．故由正弦定理，故所以S△ABC，故答案为：【题目点拨】本题考查了等差数列的性质，三角形的面积公式，考查正弦定理的应用，属于基础题．14、【解题分析】

当时，，可得到，再用累乘法求出，再求出，根据定义求出，再借助单调性求解．【题目详解】解：当时，，则，，当时，，，，，，（当且仅当时等号成立），，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查已知求，累乘法，主要考查计算能力，属于中档题．15、【解题分析】

由已知可得△AEF、△PEF均为直角三角形，且AF＝2，由基本不等式可得当AE＝EF＝2时，△AEF的面积最大，然后由棱锥体积公式可求得体积最大值．【题目详解】由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥AE，又PB⊥AE，则AE⊥平面PBC，于是AE⊥EF，且AE⊥PC，结合条件AF⊥PC，得PC⊥平面AEF，∴△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝2，而S△AEF＝（AE2+EF2）＝AF2＝2，当且仅当AE＝EF=2时，取“＝”，此时△AEF的面积最大，三棱锥P﹣AEF的体积的最大值为：VP﹣AEF＝＝＝．故答案为【题目点拨】本题主要考查直线与平面垂直的判定，基本不等式的应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．16、2【解题分析】

变换得到，展开式的通项为，计算得到答案.【题目详解】，的展开式的通项为：.含项的系数为：.故答案为：.【题目点拨】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）当时，，米时，发酵馆的占地面积最小；当时，时，发酵馆的占地面积最小；当时，米时，发酵馆的占地面积最小.【解题分析】

（1）设米，总费用为，解即可得解；（2）结合（1）可得占地面积结合导函数分类讨论即可求得最值.【题目详解】（1）由题意知:矩形面积米，设米，则米，由题意知:，得，设总费用为，则，解得:，又，故，所以发酵池边长的范围是不小于15米，且不超过25米；（2）设发酵馆的占地面积为由（1）知:，①时，，在上递增，则，即米时，发酵馆的占地面积最小；②时，，在上递减，则，即米时，发酵馆的占地面积最小；③时，时，，递减；时，递增，因此，即时，发酵馆的占地面积最小；综上所述：当时，，米时，发酵馆的占地面积最小；当时，时，发酵馆的占地面积最小；当时，米时，发酵馆的占地面积最小.【题目点拨】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况.18、（Ⅰ）(t为参数)，；（Ⅱ）1.【解题分析】

（Ⅰ）直接由已知写出直线l1的参数方程，设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得，即ρ＝4cosθ，然后化为普通方程；（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，再由参数t的几何意义可得|AP|•|AQ|的值．【题目详解】（Ⅰ）直线l1的参数方程为，（t为参数）即（t为参数）．设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），则，即，即ρ=4cosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x≠0）.（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得，即，t1，t2为方程的两个根，∴t1t2=-1，∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-1|=1．【题目点拨】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．19、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）利用正弦定理求得，由此得到，结合证得平面，由此证得.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，再转化为正弦值.【题目详解】（1）在中，由正弦定理可得：，，底面，平面，；（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，，设平面的法向量为，由可得：，令，则，设平面的法向量为，由可得:，令，则，设二面角的平面角为，由图可知为钝角，则，，故二面角的正弦值为.【题目点拨】本小题主要考查线线垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查空间想象