结构力学1课件

第五章静定结构的位移计算§5-5

图乘法目的：用弯矩图面积乘积代替积分条件：各杆为等直杆各杆截面物理参数（EI、EA、GA）为常数内力图Mp、MK中至少有一个是直线设：M

=

x

tan

aP

ds

=EI

EI

MMP

dsMM

1(对于直杆)=EI

PMM

dx1EIEIP

P=

1

x

tana

M

dx

=

tana

xM

dxcxEI=

tan

a

w(内力图是直线)cEI=

1

w

y图乘法求位移公式为:D =

K

P

EIw

M

M

c图乘法的适用条件是什么?(截面物理参数为常数)利用图乘法应注意：要满足3个条件；形心的纵距需取自直线图形；正、负号规定：两个内力图在基线同侧时，乘积为正。当内力图是由迭加得到时，图乘也可用迭加法。对于两个图形都是梯形的情况（同侧）w

1w

22

21

1pM

M

d

x

=

w

y

+w

y3321=

(c

+

2d

)

y

y

=

(2c

+

d

)当内力图是由迭加得到时，图乘也可用迭加法。对于两个图形都是梯形的情况（异侧）31

y

=

(-2c

+

d

)w

1y1AaCBbDcdMK

图M

图w

2y2

M

k

M

d

x

=

w

1

y

1

+w

2

y

22(c-2d

)3y

=3

2

3

2

23

2

3

2a

a F

a2

2

a

1

a

2F

a2

1

a

22

21

F

a2EI

2+

P

·(

· -

·

)

+

P

·(

· -

·

)

P

·D

DH

=例3：计算图示结构D

点水平位移6EIF

a3=

P

(‹

)PM

(kN.m)aEI＝常数ABFPFPCDa/2a/2FPFPFP=1PF

a2FPaDM

(kN.m)0.5a0.5a0.5a几种特殊图形的形心位置二次抛物线曲线顶点指切线斜率等于零的点。ABEI

ql

2

/

4l例4

计算图示结构B

点转角q=1Mk(kN.m)ql

2

/

4ql

2

/

8Mp(kN.m)1

2

ql

2

1

1jB

=

EI

(-

3

·l

·

8

·

2

+

2

lql

2

2

ql31)

=

(

)4

3

24EI例5

计算图示结构C

点竖向位移qL2L

qL4·

L

·

=4

48EIDCV=

1

·

2

·EI

3

8qL2=

1

·

2

·EI

3DCVL

5

L

5qL4·

·(

·

)

·

2

=8

2

8

4

384EI(

fl

)FP=1qMP(kN.m)l/2l/2CABqEIqL2/8L/4MC(kN.m)例6

计算图示结构C

点竖向位移EI

2

6

12EIDCV1F

L2

L

F

L3·

P

· =

P

=1

1

L

L

5F

LEI

2

2

2

6CV·

·

·D

=(

fl

)48EI5F

L3·

P

=

P

l/2l/2CABFPEIMP(kN.m)FPFP=1FPLMC(kN.m)L/2例

7

计算图示结构A点竖向位移1

qL3

3L

qL4·

=3

4

4EID

AV

=

EI

·D

AV

=(

·

·

+

·

·

)

=(

fl

)24EI1

1

qL3

3L

1

qL3

2L

7qL4EI

3

2

4

2

2

31

qL3

2L

2

qL3

L=

(

· -

·EI

2

3

3

8D

AV·

)

=2

24EI(

fl

)7qL4qABFP＝0.5qLEILMA(kN.m)FP=1LPM

(kN.m)qL2qL2/2qL2/8例

8

计算图示结构

C点竖向位移Aql/2Cl/2

Bql

2

/

2Mp(kN.m)l

/

21MC(kN.m)1

1

ql

2

1

l

1

ql

3=

(fl)2

2

2

24

EIDc

=

EI

3

lql

2

/

8(

fl).

.

.+

.

. )

=5ql

3(

.1

1 3ql

2EI

3

8ql

2

ll

3

l

l2

4

2

2

8

4 128

EID

C

=例

8

计算图示结构

C点竖向位移Aql/2Cl/2

Bql

2

/

2Mp(kN.m)l

/

21Mk(kN.m)ql

2

/

8ql

2

/

8ql

2

/

2

ql

2

/

32ql

2

/

2ql

2

/

8(-Dc

=1

2

l ql

2

1

lEI

3

2

32

2

21

l ql

2

2

l+)

=+2

2

2

3

2l ql

2

1

l2

8

3

2

384

EI(fl)17

ql

4例

8

计算图示结构

C点竖向位移ql

2

/

2pM

(kN.m)l

/

21Mk(kN.m)ql

2

/

8(fl)384

EI17

ql

4qql

2

/

8ql

/

2qql

2

/

8ql

2

/

4ql

/

2ql

2

/

8ql

2

/

81

(1lql

23lEI

328421lql

22l+22432Dc

=l ql

2

1

l+

)

=2

8

2

2例

9

计算图示结构

C点竖向位移1

1

qL2

L

3

LEI

3

8

2

4

2(

·

· ·

·DCV=(

fl

)384EI11qL4=ABCqLL/2qL2/8MP(kN.m)MC(kN.m)L/21

qL2

2

L2

8

3

2·

·

L

·

)+1D

K

=

(F

NK

e

+

FQK

g

+

M

K

k

)ds

-

RK

D*

*

*

*R第五章静定结构的位移计算§5-6

非荷载因素作用时的位移计算一、温度改变时的位移计算位移计算的一般公式：(b)在荷载作用下：EI=

MPEA

GAFPPNPkFQPg

=Pe

=kD

=

0R(c))ds**EIM

MGAkFFQK

*EAF

FKP+

QP

+NKNPKD

=

(荷载位移公式一、温度改变时的位移计算位移计算的一般公式：由于温度改变：DR

=

0KtQKtNKKD

=

*g

+

M

*k

)dst*(F

e

+

F对于静定结构，在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收

缩的结果。温度位移公式D

K

=

(F

NK

e

+

FQK

g

+

M

K

k

)ds

-

RK

D*

*

*

*R(b)一、温度改变时的位移计算本节讨论：et

ds

=

dlt

=

?

gt

ds

=

dht

=

?

kt

ds

=

dqt

=

?dlt

=

et

dsdht

=

gt

dsdqt

=

kt

ds

1

ktds、、kdsFQk*kM

*FNk*FNk*Mk*FQk*tKtQKtNKKD

=

*k

)ds*g

+

M*(F

e

+

F图示结构，设外侧温度改变

t1

，内侧温度改变

t2

，某时刻温度

另一时刻温度t1、t2

是温度改变值，而非某时刻的温度。+10

C+10

C+

25

C+

35

C1t

=

25

-10

=15

Ct2

=

35

-10

=

25

C1t0

=

t1

+

dt

=

t1

+(t2

-

t1

)hh设温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。hbhh1h2图示结构，设外侧温度改变

t1

，内侧温度改变

t2

，t1t2t2

-

t1dtt0截面上、下边缘温差：

杆轴线处温度改变值t0

：(令t2

>t1

)1

1h

t

=

h1t2

+

t1

(h

-

h1

)=

ht1＋h1t2

-hht0

=

(t1

+

t2

)

/

2对于矩形截面杆件h1

=

h2

=

h

/

2Dt

=

t2

-

t11

2

2

1=hh

t

+

h

t轴线伸长：ds

hk

=

dq

=

aDtthdl

t

=

t0ads转角：错动：dh

t

=

0=弯曲应ds变:h

hatD2tds

-at1ds

aDt图示结构，设外侧温度改变

t1

，内侧温度改变

t2

，截面上、下边缘温差：Dt

=t2

-t1杆轴线处温度改变值t0

：hh1h2t1t2t2

-

t1dth1h2ht1ds

t21at

ds2at

dsat0ds微段ds的应变正应变：剪应变:0=

t

adsdltte

=dqt

=

dsgt

=

0a

fi

线膨胀系数(单位长度内,温度改变1度时的长度变化)h=

Dtagt

=

0

ktet

=

t0aDk

=

F

Nk

t0a

ds

+

hM

k

Dt

a

dsDt

h=

t0aF

ds

+M

k

dsNka(e)M

kDt

hF

Nk=

–t0a

S

–

a

S对等截面直杆沿杆长温度不变MK

图面积F

NK图面积)dstKtQKtNKKD

=

*k*g

+

M*(F

e

+

F上式中的正、负号：(e)M

khDtF

NkDK

=

–t0a

S

–

a

S1）

M

及温度变化使杆件同一侧纤维伸长（弯曲方向相同），则乘积取正号，反之为负。2）t0以温度升高为正，降低为负，轴力以拉力为正，压力为负。t

=

0

C1t2

=10

C对梁和刚架：对

桁 架：M

K–

aDt

SN

KKD =

–

at

Sh0D

K

=

–

at0

F

NK

l几种情况：温度引起的轴向变形影响不能忽略(e)M

khDtF

NkDK

=

–t0a

S

–

a

S例1

：计算图示结构C点竖向位移已知：t2

=30o

C,t1

=-10o

C,a

=10-5

,h

=0.5m=10o

Ct200h

0.5D

=

-S t

a

-

S

Dt

a

=

(-11.6

·10

-

28·

40

)·10-5

=

-2356

·10-5N

K

M

KCV(m)

(›)M

KsF

=

0.5·10

·

2

+

0.2

·8

=11.6NKs

=

1

·

2

·

4

·

2

+

1

·

2

·10

·

2

=

282

2Dt

=

t

-t

=

40o

C2

1MK0.2A10m4m

4m=

t1

+

t2t1t2FP=12C

2FNKFP=10.50.5---例2：计算图示桁架结构C点竖向位移2a

·

2

-CV12a

·

2

+

·

2a

·

2

-

2a)ta

=

0222

·22

·D

=

(已知：各杆均匀升温t

度，线膨胀系数相同。aABCaaaaFP=1-0.5-0.70.50.7-1对于静定结构，支座移动不产生内力和应变。e=g

=k

=0(

f

)D

K

=

-

RK

D

R二、支座移动时的位移计算位移计算的一般公式：刚体虚功方程问题：当结构有制造误差时,如何求位移？D

K

=

(F

NK

e

+

FQK

g

+

M

K

k

)ds

-

RK

D*

*

*

*R(b)例3：制造误差引起的位移计算每个上弦杆加长8mm,求由此引起的A点竖向位移。-8

/11

-8

/1111=

(-

8

)·8·

411mA6

·8m

=

48m1=

-23.27mm(›)D

A

=

(F

NK

e

)ds

=

F

NK

dl

=

F

N

K

dl

=

F

N

K

l第五章静定结构的位移计算§5-7

广义位移计算例

1

计算图示结构C、D两点竖向位移之和，梁的抗弯刚度=EI。qL

qL4·

L

·

=

-4

48EI2

qL2DC

=

-

3EI

·82

qL2L

qL4·

L

·

=

-4

48EIDD

=

-

3EI

·8qL4DCD

=

DC

+

D

D

=

-

24EI

(›)qL2/8MP图M

C图0.5LPF

=1DM

图L/2A

BL0.5LCL/2FP=1D(›)L

qL4·

L

·

=

-2

24EI82

qL2DCD

=

-

3EI

·关键：虚荷载的施加方法例

1

计算图示结构C、D两点竖向位移之和，梁的抗弯刚度=EI。qL2/8MP图qL/2L/2LABCDFP=1FP=1M

CD图0.5L所以，为了求两个截面的相对位移，只需要在该两个截面同时加一对大小相等，方向相反，性质与所求位移相应的单位荷载即可。下面给出几种情况的广义单位荷载：1

11)qΔφ求Δφ求ΔAV-ΔBV(A，B截面相对竖向位移）1A1B1A1B求ΔAV+ΔBV(A，B截面竖向位移之和）ABΔAV

ΔBV原结构3)1/lA1/lB单位荷载+ΔBV求

qAB

=(ΔAV)/l2)ABlΔAVΔBV例2

计算图示结构CD两点相对水平位移，各杆EI为常数。(fi

‹

)82

qL2DCD

=

3EI

·qL3h·

L

·(-h)

=

-12EI例

3

计算图示结构C点相对转角，各杆EI为常数。已知：t2

=30o

C,t1

=-10o

C,a

=10-5

,h

=0.5mhM

cCq

=

SF

NCs

=

0.1·8

=

0.8·10

·

2

+

8

=1812CsM

==10o

C