平面直角坐标系与函数

第三章函数第一节平面直角坐标系与函数真题演练考点研读命题探究总纲目录随堂检测真题演练命题点一平面直角坐标系中点的坐标特征1.(2020河南)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,边BC在x轴上,顶点A,B的坐标分别

为(-2,6),(7,0).将正方形OCDE沿x轴向右平移,当点E落在AB边上时,点D的坐

标为

(

B)A.

B.(2,2)

C.

D.(4,2)解析如图,设正方形O'C'D'E'是正方形OCDE沿x轴向右平移后,点E落在AB

边上时的正方形,

∵顶点A,B的坐标分别为(-2,6),(7,0),∴AC=6,OC=2,OB=7,∴BC=9,∵四边形OCDE是正方形,∴DE=OC=OE=2,∴E'O'=O'C'=2,∵E'O'⊥BC,∴∠BO'E'=∠ACB=90°,∴E'O'∥AC,∴△E'BO'∽△ABC,∴

=

,即

=

,∴BO'=3,∴OC'=7-2-3=2,∴点D'的坐标为(2,2),即当点E落在AB边上时,点D的坐标为(2,2),故选B.2.(2015河南)如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1,O2,O3,…组成一条平滑的曲线.点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒

个单位长度,则第2015秒时,点P的坐标是(

B)

A.(2014,0)

B.(2015,-1)C.(2015,1)

D.(2016,0)解析半径为1个单位长度的半圆的周长为

×2π×1=π,∵点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒

个单位长度,∴点P每秒走

个半圆.当点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为1秒时,点P的坐标为(1,1);当点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为2秒时,点P的坐标为(2,0);当点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为3秒时,点P的坐标为(3,-1);当点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为4秒时,点P的坐标为(4,0);当点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为5秒时,点P的坐标为(5,1);当点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为6秒时,点P的坐标为(6,0);……∵2015÷4=503……3,∴第2015秒时,点P的坐标是(2015,-1).故选B.命题点二函数图象的分析与识别(高频考点)3.(2018河南)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速

度匀速运动到点B.图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关

系图象,则a的值为

(

C)

图1

图2A.

B.2

C.

D.2

解析如图,过点D作DE⊥BC于点E.

由题易知AD=DC=a,在菱形ABCD中,当点F在AD上时,y=

BC·DE,即a=

·a·DE,∴DE=2.由题意知DB=

,在Rt△DEB中,BE=

=1,∴EC=a-1.在Rt△DEC中,DE2+EC2=DC2,∴22+(a-1)2=a2,解得a=

.故选C.4.(2017河南)如图1,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A,图

2是点P运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的

最低点,则△ABC的面积是

12

.

图1图2解析由题图可得BC=BA=5,当BP⊥AC时,BP=4.如图,过点B作BD⊥AC于D,则BD=4,∴AD=CD=

=

=3,∴AC=6,∴S△ABC=

AC·BD=

×6×4=12.

5.(2020河南)小亮在学习中遇到这样一个问题:如图,点D是

上一动点,线段BC=8cm,点A是线段BC的中点,过点C作CF∥BD,交DA的延长线于点F.当△DCF为等腰三角形时,求线段BD的长度.小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习

函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整:(1)根据点D在

上的不同位置,画出相应的图形,测量线段BD,CD,FD的长度,得到下表中的几组对应值.BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中发现:①“当点D为

的中点时,BD=5.0cm”.则上表中a的值是

5.0

;②“线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由;(2)将线段BD的长度作为自变量x,CD和FD的长度都是x的函数,分别记为yCD

和yFD,并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象,如图所示.请在同一坐

标系中画出函数yCD的图象;(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出:当△DCF为等腰三角形时,线段BD长度的近似值(结果保留一位小数).解析(1)①5.0∵点D为

的中点,∴

=

,∴BD=CD=a=5.0cm.②∵点A是线段BC的中点,∴AB=AC,∵CF∥BD,∴∠F=∠BDA,又∵∠BAD=∠CAF,∴△BAD≌△CAF(AAS),∴BD=CF,∴线段CF的长度无需测量即可得到.(2)函数yCD的图象如图所示.

(3)函数yCF的图象如图所示.当△DCF为等腰三角形时,BD长度的近似值为3.8cm或5.0cm或6.2cm.考点一有序实数对与平面直角坐标系考点二平面直角坐标系中点的坐标特征考点三函数及其图象考点四函数自变量的取值范围和函数值的确定考点研读考点一有序实数对与平面直角坐标系1.有序实数对:有顺序的两个实数a和b组成的实数对叫做①

有序实数对

,

利用有序实数对可以准确地表示一个点的②

位置

.温馨提示

有序实数对和平面直角坐标系中的点是一一对应的.2.平面直角坐标系:在平面内画两条互相垂直、原点③

重合

的数轴,就组

成了平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴,竖直的数轴称为y轴或纵

轴,两条坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.考点二平面直角坐标系中点的坐标特征1.坐标平面内点的坐标特征(1)各象限中点的坐标的符号特征

(2)坐标轴上的点的坐标特征

如图所示:(3)象限角平分线上点的坐标特征

_________2.坐标平面内对称点的坐标特征

口诀速记:关于谁对称谁不变,关于原点对称全都变.3.坐标平面内平移的点的坐标特征

注:a>0.口诀速记:左右平移,横坐标左减右加,纵坐标不变;上下平移,纵坐标上加下减,横坐标不变.简记为“左减右加,上加下减”.4.点到坐标轴及原点的距离(1)点P(a,b)到x轴的距离为|b|;(2)点P(a,b)到y轴的距离为

|a|

;(3)点P(a,b)到原点的距离为

.考点三函数及其图象1.函数的概念在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有

唯一确定

的值与它对应,那么称x是

自变量

,y是关于x的函数.温馨提示

(1)变量:某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量.(2)常量:某一变化过程中保持不变的数值的量叫做常量.2.函数的表示方法函数有三种表示方法,分别是列表法、

图象法

、解析法,在解决一些与函数有关的问题时,有时可以同时用两种或两种以上的方法来表示函数.3.函数的图象一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每个对应值分别当作点的横、

纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图象,就是这个函数的图象.4.函数图象的画法:列表、

描点

、连线.考点四

函数自变量的取值范围和函数值的确定1.函数自变量的取值范围的确定函数表达式类型自变量的取值范围整式型(如y=3x+5)一切实数分式型

使分母

不为0

的一切实数偶次根式型(一般为二次根式,如y=

)被开方数必须是

非负数(大于或等于0的数)

0次幂或负整数指数幂型底数不为0混合型

使所有式子同时有意义,可列不等式组求其

解集

实际问题型除使函数表达式本身有意义外,还要考虑问题的

实际意义2.函数值的确定y是关于x的函数,如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.易错警示函数自变量的取值范围确定时的常见错误识别正误(正确的画“√”,错误的画“✕”).1.在函数y=

中,自变量x的取值范围是x>-1且x≠0.

(

✕)2.在函数y=(x+1)0+

中,自变量x的取值范围是x≤0.

(

✕)3.汽车油箱容量为40升,每百千米耗油8升,则汽车油箱剩余油量Q(升)与行驶

的路程x(百千米)的关系式为Q=40-8x(x>0).

(

✕)命题探究探究点一平面直角坐标系中点的坐标特征探究点二函数自变量的取值范围的确定探究点三函数图象的分析与识别(高频考点)探究点一平面直角坐标系中点的坐标特征例1已知点P(a-3,2-a)关于原点对称的点在第四象限,则a的取值范围在数轴

上表示正确的是

(

C)

解析∵点P(a-3,2-a)关于原点对称的点在第四象限,∴点P(a-3,2-a)在第二

象限,∴

解得

∴不等式组的解集是a<2,在数轴上表示如选项C所示.故选C.1-1已知点P(m+2,2m-4)在x轴上,则点P的坐标是

(

A)A.(4,0)

B.(0,4)

C.(-4,0)

D.(0,-4)解析∵点P(m+2,2m-4)在x轴上,∴2m-4=0,解得m=2,∴m+2=4,∴点P的坐标是(4,0).故选A.1-2在平面直角坐标系中,将点A(1,-2)向上平移3个单位长度,再向左平移2

个单位长度,得到点B,则点B的坐标是

(

A)A.(-1,1)

B.(3,1)

C.(4,-4)

D.(4,0)解析

将点A(1,-2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到(1-2,

-2+3),即B(-1,1).故选A.方法技巧熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解答此类问题的关

键.如根据点的坐标的符号特征与点的位置之间的对应关系即可快速确定该

点的位置或有关字母的取值范围;根据平面直角坐标系中关于x轴、y轴、原

点对称的两点的坐标特征即可确定相关点的坐标或字母的值;根据平面直角

坐标系中的点的坐标平移规律(左减右加,上加下减),即可确定相关点的坐标,

解决相关的问题.探究点二函数自变量的取值范围的确定例2

(2020许昌长葛一模)在函数y=

中,自变量x的取值范围是

x≥0且x≠3

.解析由题意,得x≥0且x-3≠0,解得x≥0且x≠3.2-1下列函数中,自变量x的取值范围是x>3的是

(

D)A.y=x-3

B.y=

C.y=

D.y=

2-2在函数y=

中,自变量x的取值范围是

(

A)A.x>2

B.x≥2

C.x<2

D.x≤2解析由题意得,x-2>0,解得x>2.故选A.2-3

(2020原创)在函数y=

+(x-1)0中,自变量x的取值范围是

x>-2且x≠1

.方法技巧对于含分式、根式等混合型函数求自变量的取值范围的题目类

型,先求出各式的取值范围,再取公共解集是解此类题的关键.探究点三函数图象的分析与识别(高频考点)例3

(2019南阳宛城一模)如图1,在菱形ABCD中,∠B=60°,动点P以每秒1个

单位长度的速度自点A出发沿线段AB运动到点B,同时动点Q以每秒2个单位

长度的速度自点B出发沿B→C→D运动到点D.图2是点P,Q运动时,△BPQ的

面积S随时间t变化的关系图象,则a的值是

(

D)

A.2

B.2.5

C.3

D.2

解析由题图2得,t=4秒时两点停止运动,∴点P以每秒1个单位长度的速度从点A运动到点B用了4秒,∴AB=4.∵点Q运动到点C之前和之后,△BPQ面积的算法不同,即t=2秒时,S关于t的函

数解析式发生变化,∴题图2中点M对应的横坐标为2,此时P为AB的中点,点Q与点C重合,连接AC,在菱形ABCD中,AB=BC=4,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴CP⊥AB,BP=

AB=2,∴CP=

=

=2

,∴a=S=

BP·CP=

×2×2

=2

.故选D.3-1

(2019郑州外国语中学模拟)如图,正方形ABCD的边长为4,点P,Q分别是

CD,AD的中点,动点E从点A向点B运动,到点B时停止运动;同时,动点F从点P

出发,沿P→D→Q运动,点E,F的运动速度相同.设点E的运动路程为x,△AEF的

面积为y,则能大致刻画y与x的函数关系的图象是

(

A)

解析当点F在PD上运动时,△AEF的面积y=

AE·AD=2x(0≤x≤2);当点F在DQ上运动时,△AEF的面积y=

AE·AF=

x(6-x)=-

x2+3x(2<x≤4).故选A.3-2

从某容器口以均匀的速度注入酒精,若液面高度h随时间t的变化情况如

图,则对应容器的形状为(

C)

方法技巧在几何图形中以动点为背景的函数图象的分析与识别类题型,通

常有两类:第一类,直接由几何图形中的动点运动的路线,分析、判断和识别

对应的函数图象,一般解题思路有两种:①根据题干中给出的时间t(或线段

长x),先找因变量与t(或x)之间存在的函数关系,用含t(或x)的式子表示,再找相

对应的函数图象,要注意自变量的取值范围是否需要分类讨论;②根据题干中

给出的时间t(或线段长x),先定性地判断出函数的增减性,再识别出正确的函

数图象.第二类,与“几何图形中的动点——函数图象”相关的计算题,通常

借助几何图形中动点的运动路线与其对应的函数图象所蕴含的数据信息分析求解.随堂检测一、选择题1.如图,在平面直角坐标系xOy中,将四边形ABCD先向下平移,再向右平移得

到四边形A1B1C1D1,已知A(-3,5),B(-4,3),A1(3,3),则点B1的坐标为

(

B)A.(1,2)

B.(2,1)

C.(1,4)

D.(4,1)2.下列曲线中表示y是x的函数的是

(

C)

3.(2019开封二模)小明家、食堂、图书馆在同一条直线上,小明从家去食堂

吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家,如图反映了在这个过程中小明与家之

间的距离y(km)与时间x(min)之间的对应关系,根据图象,下列说法正确的是

(

C)A.小明吃早餐用了25minB.食堂与图书馆之间的距离为0.6kmC.小明读报用了30minD.小明从图书馆回家的速度为0.8km/min解析由题图可得,小明吃早餐用了25-8=17(min),A错误;食堂与图书馆之间的距离为0.8-0.6=0.2(km),B错误;小明读报用了58-28=30(min),C正确;小明从图书馆回家的速度为0.8÷(68-58)=0.08(km/min),D错误.故选C.4.(2020河南模拟)如图1,正方形ABCD,EFGH的中心P,Q都在直线l上.EF⊥l,AC=EH,正方形ABCD以1cm/s的速度沿直线l向右移动,当点C与HG的中点I重合时停止移动,设移动时间