2023届高考数学二轮复习讲义全册学案

第一讲：集合

【考点梳理】

1.集合及其关系

（1）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.

（2）集合间的基本关系

表示

文字语言记法

关系

子集集合A的元素都是集合B的元素/q5或83/

集合/是集合8的子集，但集合3中至少

基本关系真子集/q8或5q4

有一个元素不属于A

相等集合4,6的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任何集合/

空集

的子集0

注意：（1）空集是任何集合的子集：（2）空集是任何非空集合的真子集：（3）若有限集/中有〃个元

素，则集合/的子集个数为2",真子集的个数为2"-1.

2.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

符号A\JBAC\BGA

表示

图形

表示O(33

意义{x|xeA^xeB}{x\xe力且XGB}{x\xeU,x任A)

性质=A,A\JA=A/0族=。，40%=A

A\JB=A^>B^AAC\B=A<=>B

【典型题型讲解】

考点一：集合的概念：集合表示，元素的性质

【典例例题】

例1.集合4=三eN*）,用列举法可以表示为/=.

例2.已知集合力=卜,2«4},集合8={x|xeN•且x-1e/},则8=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

例3.设集合/=若I5且2"则实数机的取值范围是（）

2

A.2<m<5B.2<m<5C.2<m<5D.2<m<5

【方法技巧与总结】

1.列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.

2.描述法，注意代表元素.

3.研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。

【变式训练】

1.已知集合力={0,1,2},B={at\a&A,b&A\,则集合5中元素个数为（）

A.2B.3C.4D.5

2.设集合/={x|/-x-6<0,xeZ},5|=ln（x2+1）,则集合8中元素个数为（）

A.2B.3C.4D.无数个

3.定义集合48的一种运算：A®B={x\x=a2-b,aeA,beB},若4={-1,0},B={1,2},则N区5中的元

素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

4.已知集合4={1,2},5={2,4},C={z|z=x〉,xe4/e8},则C中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

5.设集合/={-2,-I,l,2,3},B={y\y=\0Q2\x\,xeA},则集合8元素的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

考点二：集合与集合之间的关系

【典例例题】

例1.（2022•广东潮州•高三期末）已知集合/={0,1,2},B=若B=A,则机等于（）

A.0B.0或1C.0或2D.1或2

例题2、（2022・四川•高三阶段练习）集合/={力2-以-5<0}的一个真子集可以为（）

A.{x|-l<x<5}B.{x|-5<x<l}C.{x|-l<x<4}D.{x|-5<x<0}

例题3.（2022•全国•高三专题练习）设集合N={xeZ|（x-l）（x-5）40},则集合N的子集个数为（）

A.16B.32C.15D.31

【方法技巧与总结】

1.注意子集和真子集的联系与区别.

3

2.判断集合之间关系的两大技巧：

(1)定义法进行判断

(2)数形结合法进行判断：数轴、韦恩图

【变式训练】

1.设集合/={x|x>a},B={x|(x-l)(x-2)>0},若4"则实数4的取值范围是().

A.(-oo,l)B.(75

C.(2,+oo)D.[2,+co)

2.已知集合Z={xeZ|x2<4},B={\,a},BQA,则实数a的取值集合为()

A.{-2,-1,0}B.{-2,-1}C.{一1,0}D.{-1}

3.侈选)已知集合“=卜€郎2-3丫-18<0},8={xeR.+ax+a2-27<0},则下列命题中正确的是(〉

A.若4=B,则。=-3B.若46,则"=一3

C.若8=0,则aW-6或aN6D.若8冬4时，则一6<a4-3或.26

考点三：集合的运算：交集、并集、补集运算

【典例例题】

例1.(2022・广东•金山中学高三期末)已知集合/={x"=ln(x-l)},集合8=•=(：),x>-2，，则

AQB=()

A.0B.[1,4)C.(1,4)D.(4,-HO)

例2.(2022•全国•高三专题练习(理))已知集合N={X|X2-2X-840},3=,则4口8=()

A.{x|-4<x<2}B.{XT«X42,XW-3}

C.{x|3<x<4}D.{x|-3<x<4}

例3.(2022•广东•铁一中学高三期末)设集合工=k|11<1},8=1卜2-4x-1220},则NU([8)=()

A.(-8,6)B.(-2,6)C.(0,6)D.(0,e)

【方法技巧与总结】

1.会用数形结合求集合的交集与并集运算

2.全集和补集是不可分离的两个概念

【变式训练】

4

1.（2022・广东中山•高三期末）设全集U与集合”,N的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）

A.McNB.MuNC.D.(。加)0都

={.金-(a+1)2x+2^a+,<q,若/口8=0,则实数。的取值范围是（

2.已知集合4=)

A.(2,+oo)B.{l}o(2,+(»)

C.{l}U[2,+oo)D.[2,+oo)

3.已知集合[=[£<j,8={x|logF41},全集U=R,则(Q/)n8=()

A.{x|14x43}B.{x[0<x<l}C.{x|0<x<l}D.{x|l<x43}

4.设集合A、8均为U的子集，如图，Nn&f)表示区域()

5.建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》

票房收人已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取

了100人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》

的有50人，数据如图，则图中。=；b=；c=.

【巩固练习】

一、单选题

1.己知全集/={1,2,3,4,5},M={2,3},N={3,4,5},则〃U(1N)=()

A.{1,2}B.{1,2,3}C.{1,2,3,5}D.{2,3,4,5)

2.已知集合4={a,=a+Ly>2},集合3={*=x+l,x>2},则/八&5)=()

5

A.(1,3]B.S，3]

C.(1,+<»)D.(1,3)

3.已知I集合U={x[l<x<6,xeN},/={2,3},S={2,4,5},则&月)口8=()

A.{4,5}B.{2,3,4,5}C.{2}D.{2,4,5}

4.若全集U=R,集合/={x|y=G^,xeN},8=*|x43},则图中阴影部分表示的集合为（）

A.{4,5}B.{0,1,2}C.{0』,2,3}D.{3,4,5}

5.已知集合八{止l<x<5},3={xeZ[l<x<8},则/口8的子集个数为（）

A.4B.6C.8D.9

6.已知全集0=1<,集合4=卜卜=产+3"£/?},8=h卜2Vx<4},则图中阴影部分表示的集合为（

2

7.已知集合/=卜|*一3工一4=0},B={x\a<x<a}f若4ng=0,则实数a的取值范围是（）

A.(-oo,-l]B.[4,+QO)C.(-oo,-l)u(2,4)D.[-l,2]u[4,+oo)

8.设集合力={小>力，8=卜卜2_3X+2>0},若4G,则实数a的取值范围是().

A.(-8,1)B.(-ao,l]

C.(2,+oo)D.[2,+oo)

二、多选题

6

9.已知集合A,8满足XcB=。，ZUB=Q,全集U=R,则下列说法中可能正确的有（）

A.Q/没有最大元素，有一个最小元素B.A有一个最大元素，8没有最小元素

C.A有一个最大元素，B有一个最小元素D.A没有最大元素，8也没有最小元素

10.设k]表示不大于x的最大整数，已知集合股=卜|一2<同<2},N={Hf—5x<0},则（）

A.[lg200]=2B.〃cN={x[0<x<2}

C.[Ig2-lg3+lg5]=lD.M<JN={X\-1<X<5]

7

8

第二讲：常用逻辑用语

【考点梳理】

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若pnq,则P是＜7的充分条件，9是〃的必要条件

p是q的充分不必要条件p=>g且q冷P

〃是q的必要不充分条件p由q旦qnp

p是q的充要

poq

条件

p是q的既不充分也不必要

p#q且q#p

条件

2.全称命题和特称命题

(1)全称量词和存在量词

量词名称常见量词符号表示

全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等V

存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等3

(2)全称命题和特称命题

名称

全称命题特称命题

形式

对M中任意一个X,存在A/中的一个％,

结构

有p(x)成立使p(%o)成立

VxA/,p(x)

简记G3x0eM,p(x0)

否定叫eA/JpOo)弋x三MJp(x)

【典型题型讲解】

9

考点一：充分条件与必要条件的判断

【典例例题】

例1.（2022•广东•金山中学高三期末）“a>0”是“点（0,1）在圆工2+产-2办一2了+。+1=0外”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【方法技巧与总结】

1.要明确题中题意，找出条件P和结论<7.

2.充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.

【变式训练】

1.已知"，〃是两条不重合的直线，a是一个平面，”ua,则是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知a>0且亦1,“函数/（力=优为增函数”是“函数g（x）=x"i在（0,+8）上单调递增，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.在等比数列｛。“｝中，已知“2020>0，贝1」“。2021>。2024''是"。2022>。2023”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

考点二：充分条件与必要条件的应用

【典例例题】

例1.“加<20”是“2/-/nx+1>0在xe（1,+8）上恒成立'’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【方法技巧与总结】

1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.

2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.

【变式训练】

1.若1+±40是（x-a）2<4成立的一个充分不必要条件，则实数。的取值范围为（）

A.（f,4]B.[1,4]C.（1,4）D.（1,4]

2.（多选）“关于X的不等式一一2"+〃>0对\/“£1<恒成立”的一个必要不充分条件是（）

10

A.0<«<1B.0<a<1

C.0<”!D.a>0

2

3.已知集合4=卜尸幺一|》+1/€1,2]1,B={x\x+m2>\].若“xe/T是“xe8”的充分条件，则实数

机的取值范围为.

考点三：全称量词命题与存在量词命题的真假

【典例例题】

例1.已知0<b<a<l,下列四个命题：①也6(0,饮)，a'>hx,②Wxe(0,1),log“x>log〃x,③玉w(0,l),

ah

x>x>©3xe(0,Z>),a'>logax.

其中是真命题的有()

A.①③B.②④C.①②D.③④

【方法技巧与总结】

1.全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.

2.全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可.

【变式训练】

40tanv

1.已知命题?I：存在%>0,使得与+—V4,命题P2：对任意的XER,都有,命题P3：

XQl-tan'x

存在与eR,使得3sin毛+4cos$=6,其中正确命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

2.已知函数“X)和g(x)的定义域均为卜,可，记/(x)的最大值为峪,g(x)的最大值为“2,则使得

“〃|>知2”成立的充要条件为()

A.Vx,e[a,h],Vx2e[a,Z>],/(x1)>g(x2)B.&\a,b\,3x2e[a,b\,/(x,)>g(x2)

C.3xt&[a,b],Vx2e[a,/>],/(x,)>g(x2)D.Vxe[a,fe],/(x)>g(x)

3.下列命题中，真命题为()

A.存在XoWH,使得/"SO

B.直线£，工，平面a,平面an/?=b,则平面al£

4

C.y=sin2x+―(xw攵£攵£Z)最小值为4

sinx

D.a>\,6>1是必>1成立的充分不必要条件

11

4.（多选题）下列命题中的真命题是（）

A.VxSR,2x'>0B.VxSN*,(x-l)2>0

C.mxeR,lgx<lD.3xGR,tanx=2

考点四：全称量词命题与存在量词命题的否定

【典例例题】

例1.（2022•广东佛山•高三期末）设命题p:*wR,/>2x,则P的否定为（）

A.VxeR,x2<2vB.VxeR,x2<2xC.3xeR,x2<2XD.3XGR,X2<2X

【方法技巧与总结】

1.全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定.

2.全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否.

【变式训练】

1.已知命题p：V??GN*,n22f则「。为（）

A.V〃任N*,n2+n<2B.V"£N",n2+n<2

C.叫)史N*,〃；+〃o<2D.eN*,片+〃o<2

2.已知命题，：VxeR,sinx+cosx>V2»则r7为(

A.VxeR,sinx+cosx<\/2B.HrR,sinx+cosx<y/2

C.Vx《R,sinx+cosx<>J2D.3XGR,sinx+cosx<42

3.命题“壬Cow（0,y）,In/Nq—l”的否定是（）

A.3x0G(0,+OO),Inx0<x0-1B.3x0^(0,+oo),lnx0>x0-1

C.Vxe(0,+oo),lnx<x-lD.Vx0(0,+8),lnx>x-l

考点五：根据全称（特称）命题的真假求参数

【典例例题】

例1.若命题“VXER,以2+拈0，，为真命题，则实数。的取值范围为（）

A.a>0B.a>0C.a«0D.a<1

例2.命题P：3x0€7?,使得ax；-4%+2<0成立.若P是假命题，则实数“的取值范围是（）

A.（-8,2]B.[2,+oo）C.[-2,2]D.（-®,-2]U[2,+=o）

【方法技巧与总结】

1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级

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即可.

2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.

【变式训练】

1.若命题“VxeR,"2+120”为真命题，则实数。的取值范围为()

A.0>0B.a>0C.a<0D.a<1

2.若命题“存在xeR,使/+2x+机40”是假命题，则实数机的取值范围是()

A.(-℃,1]B.(-oo,l)C.。,+8)D.[1,+℃)

3.若命题T“e[T,3],加-(2a-l)x+3-"0”为假命题，则实数x的取值范围为()

A.[-1,4]B.0,gC.[-1,O]Up4D.[-l,0)U(g,4

4.若tanxNm”是真命题，则实数机的最大值为

34

5.已知定义在尺上的函数万(x)满足2双x)+//(x)>0且4(1)=1，其中人(幻>上的解集为4函数

ee

/(x)=/-x+l,g(x)="a>l),若女使得/(xJ=g(X2),则实数a的取值范围是

x-1

6.若命题“叫Jg,』，tan是假命题，则实数机的取值范围是

7.若“x。+2-a>0”为假命题，则实数。的最小值为.

【巩固练习】

一、单选题

1.命题FxeR,国-2021<2022丫”的否定是()

A.3xeA,|x|-2021>2022%B.Vxe??,|x|-2021>2022%

C.VxeA,|x|-2021>2022xD.3xeR,|x|-2021>2022%

2.“x>l”是的()

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.若命题“VXE[1,4]时，f〉加,，是假命题，则用的取值范围()

A.m>\6B.m>1

C.m<l6D.m<l

4."0<。<4”是“WeR使ax；-ax0+lM0成立”为假命题的()

A.充要条件B.充分不必要条件

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C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.若不等式卜-1|<。的一个充分条件为0<x<l,则实数。的取值范围是()

A.a>0B.a>0C.a>1D.a>1

6.已知函数/(x)=---3ix+8f,则“函数/(x)的图象恒在x轴的下方”是“-2</<0"的()

A.既不必要又不充分条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充要条件

7.若。>0,6>0,贝『'。+6<2"的一个必要不充分条件是()

A.一"F—<1B.ab<\C.a2+b2<2D.y/a<y/2—b

ab

8.若命题“VxeR,&_丘-1<0”是真命题，则实数4的取值范围是()

A.(-4,0)B.(-4,0]

C.(-oo,-4]o(0,+oo)D.(-oo,-4)o[0,+oo)

二、填空题

9.已知命题“\/》€尺,/-奴+1±0"为真命题，则实数a的取值范围是.

10.已知p：24x410,q：a-l<x<a+l,aeR,且p是4成立的必要非充分条件，则实数。的取值范

围是.

11.若命题“玉eR,/-2'+，"<0"为真命题，则实数用的取值范围为.

12.已知P：|x-4|>6,q：x2-2x+l-«2>0(a>0),若P是0的充分不必要条件，则实数。的取值范围为

14

15

第三讲：复数

【考点梳理】

1、复数的有关概念

(1)形如a+的数叫做复数，其中a,b分别是复数的实部和虚部.若b=0,则a+bi为

实数；若则a+初为虚数；若a=0且b^O,则a+应为纯虚数.

[a=c

(2)复数相等：a+bi-c+di<^>\(a,h,c,de7?).

b=d

(3)a+bi的共输复数为a-bi(a,beR).

(4)复数z=a+hi(a,beR)与复平面的点Z(a,b)一—对应.

(5)复数z=a+hi(a,h^R)的模|z|=y/a2+b2

注意：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小.

2、复平面及复数的几何意义

(1).复平面

Z:a+hi

(2)复数的几何意义

①复数z=a+hi(a,beR).一对应.复平面内的点Z(a,b).

②复数z=a+bi(a,be&).一一对应.平面向量友.

(3)复数的模：①定义：向量反的模叫做复数z=a+应的模或绝对值.

22

②记法：复数z=a+bii的模记为|z|或|a+bi|③公式：\z\=\a+bi\=y/a+b

(3)共辄复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共扼复数.虚部不等于0

的两个共辗复数也叫共辗虚数.

2.表示：z的共物复数用[表示，即若z=a+bi(a,beR),则三

3、复数加法与减法的运算法则

(1)设Z]=a+bi,Z2=c+力(a,b,c,deR)是任意两个复数，则

®+z2=(a+c)+(b+d)i；0z,-z2=(a-c)+(b-d)i

(2)对任意4/2/3wC,有

①Z|+Z2=Z2+Zt-②(Z[+z2)+z3=Z,+屹2+Z3)工

4、复数加减法的几何意义

16

如图，设复数Z-Z2对应向量分别为。4，OZ2,四边形0Z1ZZ2为平行四边形，向量应与复数Z1+Z2

对应，向量技I与复数Z|-Z2对应.

5、复数乘法的运算法则和运算律

(1)复数的乘法法则

设Z]=@+bi,Z2=c+di(a,b,c,deT?)是任意两个复数，则

z,z2=(a+bi)(c+di)=(ac-M)+(ad+hc)i.

2.复数乘法的运算律

对任意复数4*2/3eC,有

交换律

Z\Z2-Z2Z1

结合律(z,z2)z3=z,(z2z3)

乘法对加法的分配律Zt(z2+z3)=ZXZ2+ZjZ3

6、复数除法的法则

设Z]=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d&R,且zc+diwO)是任意两个复数,

a+biac+bdhe-ad

---------=---------------1-------------i(c+diw0)

c+dic2+d2c2+d~

7、方程的虚数根

对所有的实系数一元二次方程。工2+/+。=0(。k0),若△=/_4ac<0,则此方程没有实根，但有两个

虚根，且两根x=_2土""一"i，故实系数方程的虚根成对出现.

2a2a

8、常用结论

①(1土i)2=±2i②⑴=i③/"+i"+l+i"+2+i"+i=0(/7eZ)

1-z

【典型题型讲解】

考点一：复数的相关概念

【典例例题】

例1.已知4，%为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是()

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①若|z441,则-14441：②若4=4,则Z|WR；

③若㈤+上|=0,则Z|=Z2=0：④若Z[+Z?是虚数，则4/2都是虚数.

A.①④B.②C.②③D.①②③

例2.已知a+3i（l+i）=2+bi,A,i为虚数单位），则实数2。一6的值为（）

A.5B.6C.7D.8

【方法技巧与总结】

复数模、共飘复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题

时要将复数的实部和虚部都认识清楚.

【变式训练】

1.已知复数4和Z2，则%>z「是飞-的>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知awR,若复数z=/+2a+ai是纯虚数，则。=（）

A.0B.2C.0或-2D.-2

3.若4=（〃『+〃?+l）+（〃?-4）i,Z2=3-3i,则/”=1是4=z2的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

考点二：复数的运算

【典例例题】

2

例1.（2022・广东•金山中学高三期末）（多选）下面是关于复数z（i为虚数单位）的命题，其中真

-l+i

命题为（）

A.回=J5B.z2=2i

C.z的共粗复数为1+iD.z的虚部为t

例2.（2022•广东东莞•高三期末）（多选）已知复数马石刍，司是马的共规复数，则下列结论正确的是（）

A.若Z|+Z2=0,则|zj=%|B.若z?=不，则㈤玉|

C.若z?=Z|Z2，则%|=%间D.若％+1|=卜+1|,则㈤=同|

【方法技巧与总结】

z,=a+bi,z2=c+di（a,b,c,deR）,贝!J

18

(1)z]±z2=a±c+(b±d)i(2)-z2=ac-bd(ad+bc)i

/c、Z|ac+bdbe-ad八、

⑶—=-~p+—^，(公0)

z2c~+d~c"+d~

【变式训练】

1.(2022•广东汕尾•高三期末)若复数z满足z=2M其中(i为虚数单位)，则复数z的共辗复数为()

1+21

2.（2022・广东清远•高三期末）已知i为虚数单位，复数z的共轨i复数彳满足（1+。亍=|1+百"，贝i」z=（)

A.1-iB.l+iC.2-2iD.2+2i

3.（2021・广东汕头•高三期末）已知i为虚数单位，复数z满足:z(l-i)=4-3i,则z=()

7+i八7-i-l+inI

A.---B.---C•---D.——

2222

5.已知复数l+i（i为虚数单位）为实系数方程x2+px+q=0的一根，则P+4=（）

A.4B.2C.0D.-2

6.若(l+i)z=l-3i（i为虚数单位），则z二=()

A.-l+2iB.-l-2iC.l+2iD.l-2i

7.若复数z的虚部小于0,|z|=JL且z+Z=4,则反=（）

A.1+3iB.2+iC.1+2/D.l-2z

考点三：复数的几何意义

【典例例题】

例1.复数满足z+同=4+8i,则复数z在复平面内所对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

例2.（2022・全国•模拟预测）如图，在复平面内，复数4，Z2对应的向量分别是方，OB，则五对应的点

位于（）

19

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【方法技巧与总结】

复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究

复数几何意义的最重要的出发点.

【变式训练】

1.在复平面内，复数(l-2i)f对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知i为虚数单位，复数z满足z(l+i)=4-3i,则复数z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若复数z=M-i(“eR)在复平面内对应的点位于实轴上，则。=()

A.4B.2C.-3D.-4

2+i2023

已知复数2=则z的共轨复数［在复平面中对应的点在第()象限

1+i

A.—B.-C.三D.四

5.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2,-1),则z・i=()

A.l+2iB.一l+2iC.5-4iD.3-4i

6.已知复数z=f(i为虚数单位)在复平面内对应的点在第三象限，则实数。的取值范围是()

2+1

A.12，；)B.C.S，-2)口.+纪)

7.已知复数z满足z(a+i)=2+3i,若复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限，则实数0的取值范围

【巩固练习】

一、单选题

20

1.已知复数Z=£r,则Z的虚部为（）

6口技「_V3D.2

A.---1B.----1C・

4242

已知复数2=浮，贝心的共枕复数的虚部为

2.()

2+1

44.八4

A.B.——iC.D.-i

5555

3.已知z=4-i,且az+厉=4+3i,其中。，6为实数，则|。+齿=二（）

A.1B.3C.D.5

4.复数Z满足2z+(z-5)i=o,则|z|=()

A.1B.2C.D.3

5.已知i为虚数单位，则复数对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.已知复数z满足z(l-i)=3-i,贝IJzN=().

A.5B.Vioc.22D.2

7.已知复数Z满足z（l+i）=2+bi（beR）,若Z为纯虚数，则6=（)

A.-1B.1C.-2D.2

复平面内表示复数z="3,则|z|=（）

8.

2-1

A.2&B.2也C.4D.2#>

9.欧拉公式？沼=cos8+isin6(其中e=2.718…,i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建

立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公

式，下列结论中正确的是（）

A.e"的实部为0B.9在复平面内对应的点在第一象限

C.|e'"|=lD.e加的共粗复数为1

二、多选题

10.（2022・河北•高三阶段练习）若复数z在复平面对应的点为Z,则下列说法正确的有（）

A.^rz=i,则z+z?+z'+…+z“=-l+i

B.若|z-l|=2,则Z在复平面内的轨迹为圆

21

C.若27+”,满足|z-2i|=l,则?的取值范围为卜行,3]

D.若|z|=3,则|z+4|+|z-4|的取值范围为[8,10]

-50i

11.（2022・江苏•姜堰中学高三阶段练习）已知复数z==L,则下列说法正确的是（）

3+41

A.复数z在复平面内对应的点在第四象限B.复数z的虚部为-6

C.