2023年高考数学必背知识第二章直线和圆的方程（公式、定理、结论图表）

第二章直线和圆的方程(公式、定理、结论图表)

I、思维导图

确定直城位置的几确定圆的几何要

何要素：点、方向素：圆心、半径

L直线的倾斜角和斜率v

两点间的距离公式圆的标准方程

直线的点直线的两

斜式方程”点式方程

点到直线、两条

直段的一般式方程-------------国的一奴方程

平行直段的距离

两条直线的圆与圆的一

।位置关系位置关系I।

।>直线与圆的位置关系，।

知识梳理

一.直线的倾斜角

1.倾斜角的定义

(1)当直线，与X轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线/向上的方向之间所成的角a叫做直线

)的倾斜角.

(2)当直线/与X轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

2.直线的倾斜角a的取值范围为0°Wa<180

直线的斜率

1.斜率的定义：把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母攵表示，即

/=tana.

2.斜率的计算公式：

定义

斜率的定义式A=tana(a工万)

过两点力），P（x,为）（项WX2）的直线的斜率公式为左=当二旦

两点式22

五2一为

【注意】任何直线都有倾斜角，但当倾斜角等于5时，直线的斜率不存在.

3.倾斜角与斜率的关系

y口

--------1

图示

X/

07T^h唉1V

倾斜角a=0°0°<<7<90°a=90°90°<67<180°

斜率k=0k>0不存在k<0

三.直线的平行于垂直

定义

当人存在时，两直线平行，则

平行

当人不存在时，则两直线的倾斜角都为90°

当"存在时，两直线垂直，贝蛛=-1

垂直

当％不存在时，则一条直线倾斜角为90。，另一条直线倾斜角为0。

【注意】在计算两直线平行的题时，注意考虑重合的情况.

四.直线的方程

直线方程适用范围

点斜式y-y0=k(x-x0)不能表示与X轴垂直的直线

斜截式y=kx+b不能表示与X轴垂直的直线

♦f二工一西

两点式不能表示与X轴、y轴垂直的直线

>2一弘工2一西

xyi

截距式不能表示与X轴垂直、>轴垂直以及过原点的直线

ab

一般式Ax+By+C=0无局限性

五.特殊的直线方程

已知点尸（与，凡），则

类型直线方程

与X轴垂直的直线X=X。

与y轴垂直的直线y=yo

六.方向向量与直线的参数方程

除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密

的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.

如图1,设直线/经过点P(x°,为)，；=(小，〃)是它的一个方向向量，Hx,0是直线/上的任意一点，则向

量不与；共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数/，使&=♦,即(X-Xo,y-y0)=t(>n,〃)，

....,x=x+mt

所以n°①.

y=y0+nt

在①中，实数。是对应点P的参变数，简称参数.

由上可知，对于直线/上的任意一点Hxy),存在唯一实数，使①成立；反之，对于参数f的每一个确定的

值，由①可以确定直线/上的一个点Ax,y).我们把①称为直线的参数方程.

七.直线的平行与垂直

斜截式一般式

/j：y=kxx+b}A：4x+"y+G=0（4，为不同时为0）

直线方程

,2：y=k?x+z?2l2-A2X+B2y+C2=0（4，%不同时为0）

(注意可能重合)

平行k、=42且4wb2AXB2-A2B}=0

垂直k、,k?=—144+B'B2=0

八.利用平行与垂直解决问题

斜截式一般式

直线方程/j：y=kx+m/,：Ax+By+C=O（A,8不同时为0）

若直线则可设i的方程为：

若直线4/〃一则可设，2的方程为：/2//A，2

平行

4：Ax+By+A=0（/1C）

y=kx+A（A

若直线则可设，2的方程为：

若直线则可设，2的方程为：

垂直1,

V=X+A/）：Bx-Ay+A=0

k

九.两条直线的交点

对于直线均不同时为Ax+By+C=0（A,不同时为求交点即解

4：4x+86+G=0（4,0）,/2：222240）,

方程叱该方程组的解与两直线的位置关系如下：

方程组解的个数位置关系

一个解相交

无解平行

无数解重:合

.三个距离公式

条件距离公式

两点之间的距离公式已知两点6（孙为）,P2（x2,y2）旧用=］（再-々）2+（%-乃）？

已知一点尸（与，为），以及直线

,\^xQ+By0+C\

点到直线的距离公式I一升+/

1:Ax+By+C=0

已知直线6：4<+8y+G=0,

,_|“与+a。+q

两平行线的距离公式

w〃+炉

以及/2：4c+m，+C2=0

十一.对称

条件方法

尸（孙耳），P\x,乃）两点关于

2[2x=X]+x

两点关于另外一点对称02

⑵0=必+y2

加（两，为）对称

产区，乂），P'（x2,为）两点关于直线1.P,尸,两点的中点在直线/上；

两点关于一直线对称

/:4r+8y+C=0对称（斜率存在）2.PP,两点所在直线与直线/垂直

两直线关于另一直线对1三.条直线交于同一点；

称（三直线不平行）2到.角公式

十二.两点关于一直线特殊的对称

点的坐标直线方程对称点坐标

y=xP'CVo，/)

P(x(),y0)

P(Xo，Vo)y=-x-Xo)

y=x+加

P（x。，No）PXyo-m,x0+m)

y=-x+

产（飞，No）「'(』+〃?，-x0+m)

十三.到角公式

设/卜3的斜率分别是如左2，4到/，的角为8,贝Utan6=wJ）.

1+k2kl2

十四.圆的定义

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆（定点为圆心，定长为半径）.圆心决定圆的

位置,半径决定圆的大小.

十五.圆的标准方程

圆的标准方程圆心半径

(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)(a,b)r

六.圆的一般方程

圆的一般方程圆心半径

DEg”2-4F

x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)11I

222

七.二元二次方程与圆的方程

1.二元二次方程与圆的方程的关系:

二元二次方程4V2+8盯+。2+DX+&+F=O,对比圆的一般方程/+y2+Dx+Ey+F=o,

D2+E2-4F>0,我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方

程.

2.二元二次方程表示圆的条件：

A=C*0

二元二次方程及2+8盯+。2+6+&+尸=0表示圆的条件是｛B=0

（好+-4⑴>0

十八.点与圆的位置关系

圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（£>2+£2-4F>0）.平

面内一点P（x。，外）到圆心的距离为d.

判断方法

位置关系

几何法代数法（标准方程）代数法（一般方程）

点在圆上222

d-r(x0-a)+(y0-Z»)=/-Xo+yo+Dxo+Eyo+F=O

点在圆外222

d>r(x0-a)+(y0-b)>r器+V；+Dx。+Ey^+?>0

点在圆内a2

d<r(x0~)+(yo-4<尸Xo+yo+Dxo+Eyo+F<0

九.与圆有关的最值问题

1.与圆的几何性质有关的最值问题

类型方法

圆外一定点到圆上一动点距离的最值最大值：d+r；最小值：d-r（d为该定点到圆心的距离）

圆上一动点到圆外一定直线距离的最值最大值：d+r；最小值：d-r（d为圆心到直线的距离）

过园内一定点的弦的最值最大值：直径；最小值：与过该点的直径垂直的弦

2.与圆的代数结构有关的最值问题

类型代数表达方法

截距式求形如mx+ny的最值转化为动直线斜率的最值问题

斜率式求形如匕%的最值转化为动直线截距的最值问题

x-n

距离式求形如(x-a)2+(y-b)2=r2的最值转化为动点到定点的距离的平方的最值问题

【注意】截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后,都可转化为动直线与圆相切时取得最值.同时,需要

注意若是斜率式.则需考虑斜率是否存在.

二十.直线与圆的位置关系

位置关系图示几何法代数法

d=r

相切△=0

（〃为圆心到直线的距离）

d<r

相交△>0

（d为圆心到直线的距离）

d>r

相离A<0

（“为圆心到直线的距离）

二十一.相切-求切线方程

过定点PQo,打）作圆C:（x-a）2+（y-b）2=r2的切线，则切线方程为:

尸与圆的位置关系切线条数切线方程（方法）

尸在圆上1条&-a)(x-a)+仇-b)(y-b)=r2

【分两种情况讨论】：

1.斜率存在，设为点斜式，再通过1=「或A=°求出斜率即可；

P在圆外2条2.斜率不存在•

【说明］：若情况1有一解,则情况2必有一解；若情况1有两解.

则情况2必无解.

二十二.相交一求弦长

2

弦长公式：直线与圆相交于48两点，则户=产+d2（1为圆心到直线的距离）.

二十三.圆与圆的位置关系

两圆的半径分别为外，-2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系及其判断方法为:

位置关系图示几何法公切线条数

外离d>r+r四条

0。]2

外切d=r}-^r2三条

相交h-r2kde八+r2两条

内切-引一条

内含0<d<r}-r2无

二十四.两圆的公共弦

1.公共弦方程：将两圆的方程隹差，所得到的直线方程就是两圆的公共弦方程.

2.公共弦长：取其中一个圆，利用圆的弦长公式即可求出.

二十五、直线与圆的综合应用的一般步骤:

步骤具体内容

第一步设直线方程，注意讨论直线斜率是否存在

第二步联立直线与圆方程消元化简

第三步根据韦达定理写出两根之和与两根之积

第四步根据题中所给的条件，带入韦达定理

＜解题方法与技巧〉

一.具有某种共同属性的一类直线的集合，我们称之为直线系，这一属性可通过直线系方程体现出来，

它们的变化存在于参数之中，常见的直线系有：

⑴过已知点八电㈤的直线系y-%=*x-xo）（4为参数）.

⑵斜率为k的平行直线系方程y=kx+帅为参数）.

⑶与已知直线4r+为+C=0平行的直线系方程为4r+为+A=0"为参数，A

（4）与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+A=0（A为参数）.

⑸过直线"4x+8y+Q=0与0月/+班+@=0的交点的直线系方程：h4x+8y+Q+a（也x

+&y+G）=0（4为参数乂但不包含直线A2X+郎+G=0）.

典例1：已知正方形中心为点朋-1,0）,一条边所在直线的方程是x+3y-5=0,求其他三边所在直线的方

程.

［思路点拨］已知正方形的中心坐标和一条边所在直线的方程，由正方形的性质——中心到各边的距离

相等，用待定系数法列方程求解.

I-1X1+3XQ-5I6

［解析］正方形中心到直线x+3y-5=0的距离d=

勺心+32而

设与直线x+3y-5=0平行的直线方程为x+3y+Q=0.

由正方形的性质，得

wVI2+32=V%10

解得Q=-5（舍去）或G=7.

所以与直线x+3y-5=0相对的边所在的直线方程为x+3y+7=0.

设与直线x+3y-5=0垂直的边所在的直线方程为3x-y+G=0.由题意，得

I-1X3-0XI+GI__6

,+产而，

解得G=9或G=-3.

所以另两边所在直线的方程为3x-y+9=0和3x-y-3=0.

二.利用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：

第一步：选择圆的方程的某一形式；

第二步：由题意得a,b,或。，E,⑹的方程（组）；

第三步：解出a,b,d或D,E,F）；

第四步：代入圆的方程.

注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的

半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线

过切点等.

典例2：已知圆的半径为而，圆心在直线y=2%上，圆被直线x-y=0截得的弦长为43,求圆的方

程.

［思路点拨］利用待定系数法设出圆的标准方程，根据条件列式求解.

［解析］法一：设圆的方程是（"牙+（y-M'lO.

因为圆心在直线y=2x上，所以6=2a.①

x-y=0,

由方程组

(x-a)2+(y-t>)2=10,

得2半一2(a+0x+/+10=0,

所以为+也=a+6,xt•x2=---------.

2

由弦长公式得他•\/（a+6）2-2（才+）-10）=4也,

化简得（a-济=4.②

解①②组成的方程组，

得a=2,6=4或@=-2,b=-4.

故所求圆的方程是(x-2)2+(y-4猿=10或(x+2)2+(y+4)2=10.

法二：设圆的方程为(x-a)2+(y-/>)2=io,

则圆心为(a,b),半径二=而，

圆心(a,6)到直线x-y-0的距离d=厂".

V2

由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得

八图",即y8=10,

2

所以(a-4=4.

又因为。=2a,所以a=2,6=4或a=-2,b=-4.

故所求圆的方程是(x-21+(7-4猿=10或(了+2产+a+4产=10.

三、直线与圆、圆与圆的位置关系

1.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上(即为切点)，

则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.

2.求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来

解决问题.

典例3：已知点M3』),直线ax-了+4=0及圆(x-+①-2(=4.

⑴求过加点的圆的切线方程；

⑵若直线财-/+4=0与圆相交于48两点，且弦45的长为2毡，求a的值.

［思路点拨］⑴分斜率存在与不存在两种情况讨论.

(2)构造直角三角形求解.

［解析］⑴圆心41,2),