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文档简介
近世代数课件子群的陪集第一页,共十四页,编辑于2023年,星期五9.1子群的左陪集我们看一个群和的一个子群.我们规定一个的元中间的关系:,当而且只当的时候
给了和,我们可以唯一决定,是不是属于,所以是一个关系,并且:第二页,共十四页,编辑于2023年,星期五,所以Ⅰ,所以ⅡⅢ………….所以,第三页,共十四页,编辑于2023年,星期五这样,是一个等价关系.利用这个等价关系,我们可以得到一个的分类:[a],[b],[c]……,这里称为a的等价类(2)
引理1[a]=aH={ah|h属于}证明:(1)第四页,共十四页,编辑于2023年,星期五定义1由上面的等价关系所决定的类叫做子群的左陪集.由引理1左陪集既是等价类,又是子集的乘法aH.由等价类的性质可以推出左陪集的一些重要性质:
(1)(2)(3)(5)任意两个左陪集或者(4)第五页,共十四页,编辑于2023年,星期五例1
,,,,,,
那么(注意我们规定的乘法顺序和书上的相反),,,第六页,共十四页,编辑于2023年,星期五注意(12)H=??(123)H=???(132)H=??这样,子群把整个分成(1)H,(13)H,(23)H三个不同的左陪集.这三个左陪集放在一起显然正是,因此,它们的确是的一个分类.第七页,共十四页,编辑于2023年,星期五9.2子群的右陪集比照左陪集,给出右陪集,以及性质右陪集是从等价关系:
,当而且只当的时候定义2由等价关系所决定的类叫做子群的右陪集.包含的陪集我们用符号来表示.性质2(1)------(5)第八页,共十四页,编辑于2023年,星期五9.3子群的指数引理2之间存在1-1映射.证明:………..的左陪集所作成的集合记做,的右陪集所作成的集合叫做第九页,共十四页,编辑于2023年,星期五定理1和之间存在1-1映射.是一个与间的一一映射.因为:证明构造::(1)所以右陪集的象与的选择无关,是一个到的映射;第十页,共十四页,编辑于2023年,星期五(ⅱ)的任意元是的元的象,所以是一个满射;(ⅲ)证完.定义一个群的一个子群的右陪集(或左陪集)的个数叫做在里的指数.第十一页,共十四页,编辑于2023年,星期五9.4拉格朗日定理下面我们要用左陪集来证明几个重要定理.定理2假定是一个有限群的一个子群.那么的阶和它在里的指数都能整除的阶,并且证明的阶既是有限,的阶和指数也都是有限正整数.的个元被分成个左陪集,而且由引理,每一个左陪集都有个元,所以证完第十二页,共十四页,编辑于2023年,星期五定理3一个有限群的任一个元的阶都整除的阶.证明………证完.例3对于有限群的阶N的一个因子k,可以没有k阶子群,也可以没有k阶元素.第十三页,共十四页,编辑于2023年,星期五例4对于有限群循环
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