近世代数之等价关系与集合的分类

近世代数之等价关系与集合的分类1第一页，共十九页，编辑于2023年，星期五一、等价关系元素的一个条件．如果对中任意一个有序元素对

的一个关系(relation)．如果与满足条件，则称

与有关系，记作；否则称与无关系．关

系也称为二元关系．

，我们总能确定与是否满足条件，就称是

定义1.1.1

设是一个非空集合,是关于的

2第二页，共十九页，编辑于2023年，星期五例1

设是一个非空集合，的所有子集组成的

集合记为．因为对的任意两个子集，，

或有且仅有一个成立，所以集合的包含关系“”

是的一个关系．进一步讨论可以发，这个关系还

具有下面两条性质：(1)反身性，即对的任一子集，有；(2)传递性,即对的任意子集,,,如果

,,则有．

3第三页，共十九页，编辑于2023年，星期五例2

在整数集中,规定．因为这个关系也具有反身性和传递性．

例3

在整数集中,规定(即与互

素)．因为与有且仅有一个成立,所

以是的一个关系．这个关系既不满足反身性也不满

足传递性,但却满足所谓的对称性,即对任意两个整数

,由，可推出．

与有且仅有一个成立,所以“|”是的一个关系．

4第四页，共十九页，编辑于2023年，星期五定义1.1.2

设是非空集合的一个关系,如

果满足

(E1)反身性,即对任意的,有；(E2)对称性,即若,则；

(E3)传递性,即若,且,则．则称是的一个等价关系(equivalencerelation),并且如果,则称等价于,记作．5第五页，共十九页，编辑于2023年，星期五定义1.1.3

如果～是集合的一个等价关系,对,令称子集为的一个等价类(equivalenceclass)．

的全体等价类的集合称为集合在等价关系下的商集

(quotientset),记作．

6第六页，共十九页，编辑于2023年，星期五例４

易知,三角形的全等,相似,数域上阶方阵的等,相似,相合等都是等价关系,而例1,例2,例3及本节开头所述的关系都不是等价关系．

7第七页，共十九页，编辑于2023年，星期五例５

设是正整数,在整数集中,规定这个关系为同余关系(congruencerelation),并记作

(2)若,则；

(3)若,有

,则．

与等价当且仅当与被除有相同的余数,因此称所以是的一个等价关系,显然

(1)对任意整数,则(读作“同余于,模”)．整数的同余关

系及其性质是初等数论的基础

8第八页，共十九页，编辑于2023年，星期五二、集合的分类定义1.1.4

如果非空集合表成若干个两两不

相交的非空子集的并,则称这些子集为集合的一种

分类(partition),其中每个子集称为一个类

(class).

如果

的子集族构成的一种分类,则记作9第九页，共十九页，编辑于2023年，星期五例6设为数域上全体阶方阵的集合,令

表示所有秩为的阶方阵构成的子集.

(1);(2)．所以是的一种分类．例7

是整数集的一

种分类．

10第十页，共十九页，编辑于2023年，星期五于,且,同一元素在两个子集中重复出现,

例8对实数集,令子集,.由

所以不是的一种分类．

11第十一页，共十九页，编辑于2023年，星期五三、集合的等价关系与集合的分类这两个概念之间

联系定理1.1.1集合的任何一个等价关系都确定

了的一种分类,且其中每一个类都是集合的一个等

价类.反之,集合的任何一种分类也都给出了集合

的一个等价关系,且相应的等价类就是原分类中的那

些类．

12第十二页，共十九页，编辑于2023年，星期五证首先,为集合的一个等价关系,则(1)对任意的,由反身性知,所以

(2)如果,从而由对称性知再由传递性知

又对任意的,则,.这说明,不同的类没有公共元素．

.于是,因此.则有．同理,所以于是同样由传递性得13第十三页，共十九页，编辑于2023年，星期五从而由(P1),(P2)知,全体等价类形成的一种

分类,显然每一个类都是的等价类．其次,如果已知集合的一种分类,在中规

定关系“～”：

对任意的,由于与本身属于同一类,所以

.如果,即与属于同一类,自然与也

属于同一类,所以.最后,如果,,14第十四页，共十九页，编辑于2023年，星期五即与属于同一类,与属于同一类,因而与同在

所在的类中,所以．因此“～”是的一个等价

关系.显然,由此等价关系得到的等价类就是原分类中那些类．15第十五页，共十九页，编辑于2023年，星期五例９设试确定集合上的全部等价

关系．

解由定理1.1.1知，只要求出的全部分类,也

即求出的所有可能的子集分划即可．

(1)如果分划为一个子集,则有;(2)如果分划为两个子集,则有(3)如果分划为三个子集,则有

16第十六页，共十九页，编辑于2023年，星期五因此,上共有五个不同的等价关系,它们是17第十七页，共十九页，编辑于2023年，星期五注如果用表示一个具有个元素的集合上

的不同等价关系的个数,则有下列的递推公式:其中,为二项式系数,并规定

18第十八页，共十九页，编辑于2023年，星期五参考文献及阅读材料[1]闵嗣鹤,严士健