量子力学基础级

量子力学基础级1第一页，共七十三页，编辑于2023年，星期五爱因斯坦的光量子假说光的波－粒两象性。2第二页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第四节.实物粒子的波动－粒子两象性1924年11月24日，巴黎大学理学院举行博士论文答辩会。答辩的内容令参加答辩的教授惊讶万分。答辩人叫LouisdeBroglie,是一名世袭的法国亲王，原来是学历史的，后来转攻物理学。3第三页，共七十三页，编辑于2023年，星期五德布洛意物质波假说德布洛意认为，爱因斯坦把原来仅具有波动性的电磁波赋予了粒子性，并成功地解释了光电效应，那么反过来，粒子应该有波动性！即波粒两象性同样适用于实物粒子！在爱因斯坦理论中，光的波粒两象性集中体现在以下公式中德布洛意假定所有实物也都具有波动性，也符合上述公式4第四页，共七十三页，编辑于2023年，星期五德布洛意物质波假说与实物粒子相联系的波称为德布洛意波(物质波)5第五页，共七十三页，编辑于2023年，星期五德布洛意物质波假说由于德布洛意的想法太过创新，答辩委员们都将信将疑，但其从物理学最基本原理的假定出发所作的推理的严密性确实无懈可击，答辩委员会还是决定授予德布洛意博士学位。6第六页，共七十三页，编辑于2023年，星期五德布洛意物质波假说虽然论文答辩通过了，但由于没有实验证据，教授们也认为物质波的概念没有什么实际意义。直到爱因斯坦由于朗之万的推荐，注意到了德布洛意的思想，意识到这一思想的深刻意义，才引起物理学界的重视。三年后电子的波动性获得实验证实，物质波概念也第一次获得实验验证，两年之后，即1929年，德布洛意获得诺贝尔奖。7第七页，共七十三页，编辑于2023年，星期五实物粒子波动性实验1927年美国的戴维孙和革末实验证实了实物粒子波动性观察到在晶体表面电子的衍射现象与x射线的衍射现象相类似电子枪探测器镍单晶加速电极----电子具有波动性8第八页，共七十三页，编辑于2023年，星期五实物粒子波动性实验同年，小汤姆逊的电子束穿过多晶薄膜后的衍射实验，得到了与x射线实验极其相似的衍射图样x-射线电子戴维孙和小汤姆逊同获1937年诺贝尔物理学奖大量实验证实除电子外，中子、质子以及原子、分子等都具有波动性，且符合德布洛意公式----一切微观粒子都具有波动性9第九页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第二章

波函数和薛定格（Schrödinger）方程

第一节德布洛意波的统计解释爱因斯坦和德布洛意都把波和粒子混在一起，那么到底应该如何理解？（1）经典粒子具有“颗粒性”、“原子性”，即它在空间占据一个小小的局部位置。有确定的大小，有固有质量、电荷等等，而且在它们与其他物质相互作用时是整体地发生作用，即所谓的“整体性”（2）经典粒子具有一条确切的运动轨道。（3）经典粒子的状态用它的物理量来表征。这些物理量在任何时刻均取确定值，且可以取连续变化的值。状态的运动方程为牛顿第二定律。10第十页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第一节德布洛意波的统计解释从经典波动概念来看：（1）经典波是指可以在空间任何地方进行传播的周期性扰动（如水波、声波、电磁波等）（2）经典波总是意味着某种实际的物理量在空间分布的周期性变化。描述波的物理量是频率ν和波矢。不同原因引起的波动遵守各自的波动方程，如电磁波遵守麦克斯韦方程。波动的最基本的特征是呈干涉和衍射的现象。干涉和衍射的本质在于波的叠加性。

11第十一页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第一节德布洛意波的统计解释从经典理论的观点出发，“微粒性”和“波动性”是完全无法统一起来的。但在微观粒子一身之上却兼有二职，即表现有微粒性又表现有波动性，这种现象应该如何理解呢？物理学家费曼（Feynman）曾说过：“电子即不是粒子也不是波”

，同样也可以说电子既是粒子也是波。但它即非经典意义下的粒子，也非经典意义下的波。电子所表现出来的“粒子性”只是指经典粒子的“原子性”和“整体性”，即总是以具有一定的质量、电荷等属性的客体存在着。电子所出现的“波动性”也只是仅仅指波的“叠加性”。

12第十二页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第一节德布洛意波的统计解释物质波在空间某处的强度与在该处发现粒子的几率成正比，即与位置的几率成正比。量子力学就是在物质波假说及其统计解释的基础上建立和发展起来的。

根据实验资料的分析，德国物理学家玻恩在1927年提出了物质波的统计解释：13第十三页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第一节德布洛意波的统计解释14第十四页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第二节状态及状态的描述所谓已知状态，无论是经典的还是量子的，无非是指已知特征体系物理性质的全部物理量。

在经典力学中，质点的力学状态，是用它的全部物理量（如位置、动量、能量等等）及其随时间变化的表征。只要知道了质点的轨道函数和初始条件，就可以完全知道其他如动量、能量等物理量及其随时间的变化，达到完全描述该质点状态的目的。15第十五页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第二节状态及状态的描述对体系物理量进行测量的结果或者理论计算的结果都表明，质点在完全相同的条件下，在任何时刻，标志其物理性质的全部物理量都取完全确定的值。在量子理论中，描述量子体系状态的不是相应物理量的取值，而是相应物理量的取值几率，以及物理量取值几率随时间的变化。16第十六页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第二节状态及状态的描述也就是说要想知道量子体系在某一宏观条件下，在某一时刻的状态，只要知悉在此时刻所有力学量的几率分布就可以了。随着时间的变化体系的状态发生变化，其力学量的取值几率也变化了。与经典力学相似，为了能够定量地描述量子体系的状态，同样应该要求用来描述状态的函数能够预言出量子体系所有力学量的取值几率分布及其随时间的变化。17第十七页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第二节状态及状态的描述描述波的数学表达式称为波函数（r,t)，波的强度就是波振幅的平方在量子理论体系中用波函数来作为描述状态的函数。18第十八页，共七十三页，编辑于2023年，星期五波函数沿x方向传播的平面波波动方程为上式为下面复数形式的实数部分为区别一般的波，奥地利物理学家薛定格提出用物质波波函数描述微观粒子的运动状态.1933年获得诺贝尔物理学奖19第十九页，共七十三页，编辑于2023年，星期五波函数经典波描写实在物理量在空间中的传播过程根据波恩的统计解释，微观粒子的位置几率正比于波的强度,那么在t时刻，在r点发现粒子的几率就是几率波不代表实在物理量的传播过程，波函数本身没有直接的物理意义20第二十页，共七十三页，编辑于2023年，星期五波函数

对能量为E、动量为p的自由粒子，其平面物质波波函数为自由粒子在三维空间运动时有21第二十一页，共七十三页，编辑于2023年，星期五波函数波函数的强度为----几率密度是的共轭复数根据波恩的统计解释，微观粒子的位置几率正比于波的强度,那么在t时刻，在r附近的小体积元

内发现粒子的几率就是22第二十二页，共七十三页，编辑于2023年，星期五波函数

在整个空间总能找到粒子，应有从而，粒子的几率密度公式为23第二十三页，共七十三页，编辑于2023年，星期五波函数如果粒子的状态用（c为复常数）来描述，事实上，两个波函数给出的全部物理信息是完全相同的。这说明，波函数相差一个常数因子时，所描述的状态是一样的！24第二十四页，共七十三页，编辑于2023年，星期五波函数波函数的标准条件单值:某时刻粒子出现在某点的概率唯一有限:粒子出现的概率应有限（平方可积）连续:不应出现突变(可导)波函数的这个特点使得我们可以选择一个恰当的常数因子构成波函数，以使这样选出的波函数可以大大简化我们的计算。这样的波函数就是归一化波函数，相应的常数称归一化因子，选择归一化因子的过程叫归一化过程。25第二十五页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第二节状态及状态的描述正像经典力学中轨道函数和初始条件可以完全描述质点的状态，在量子体系中，利用波函数和初始条件就可以描述粒子体系的所有物理量取值几率，也就知道的量子体系的状态。量子理论的第一条基本原理：量子体系的任意状态，总可以用相应的波函数加以完全的描述。26第二十六页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第二节状态及状态的描述对于波函数为的一个粒子，在t时刻在空间r处发现该粒子的几率是量子理论的第二条基本原理是状态叠加原理，若量子体系具有一系列互异的可能状态：

则它们的线性组合也是该体系一个可能的状态。27第二十七页，共七十三页，编辑于2023年，星期五量子力学中的状态叠加原理比经典波动理论的叠加原理所包含的内容要深刻得多。设量子体系处于用描述的状态，测得某一力学量值为L1；而该体系处于描述状态时，测得该力学量之值为L2，则和的叠加态为当该体系处于用描述的状态时，测该力学量的值已不再得到唯一的一个值了，或者是L1或者是L2，但不会出现其他的值，并且出现L1的几率和出现L2的几率是相对确定的。这里要注意：叠加导致了观测结果的不确定性。28第二十八页，共七十三页，编辑于2023年，星期五不确定关系（测不准原理）经典力学：运动物体具有完全确定的位置、动量、能量、角动量等微观粒子：由于波动性，粒子以一定的几率在空间出现----粒子在任一时刻不具有确定的位置同样，动量、能量和角动量等也是不确定的。29第二十九页，共七十三页，编辑于2023年，星期五不确定关系（测不准原理）1927年德国物理学家海森伯由量子力学得到位置与动量不确定量之间的关系1932年获诺贝尔物理学奖30第三十页，共七十三页，编辑于2023年，星期五不确定关系（测不准原理）说明：不确定性关系说明微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量；粒子位置的不确定量越小，动量的不确定量就越大，反之亦然不确定性关系仅是波粒二象性及其统计关系的必然结果，而不是测量仪器对粒子的干扰，也不是仪器的误差所致31第三十一页，共七十三页，编辑于2023年，星期五不确定关系（测不准原理）[例]设电子在原子中运动的速度为106m/s，原子的线度约为10-10m，求原子中电子速度的不确定量解：原子中的电子位置的不确定量由不确定性关系32第三十二页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第三节薛定格方程在经典理论中，质点在时刻，具有特定的位置和动量，当它受力后，在时，它的位置和动量均可唯一确定，这一因果关系由牛顿方程给出33第三十三页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第三节薛定格方程在量子体系中也存在着因果关系。不过因为波函数具有统计的意义，因此只能给出统计的因果关系：在给定的力场下，量子体系在初始时刻的状态，唯一地决定了它在以后任意时刻的状态。在量子体系中与牛顿第二定律具有相似作用的方程就是薛定格方程。

34第三十四页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第三节薛定格方程自由粒子：设自由粒子沿x方向运动，波函数为又35第三十五页，共七十三页，编辑于2023年，星期五自由粒子的薛定格方程在势场U(x,t)中：粒子的总能量为即又36第三十六页，共七十三页，编辑于2023年，星期五自由粒子的薛定格方程----势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程推广到三维空间37第三十七页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第三节薛定格方程则薛定格方程可写成量子力学的第三个基本原理：所有量子状态的波函数均满足薛定格方程。薛定格方程揭示了微观领域中的物质运动规律，提供了定量地系统地处理一系列量子现象的理论基础。引入拉普拉斯（Laplace）算符动能算符以及哈密顿(Hamilton)算符38第三十八页，共七十三页，编辑于2023年，星期五算符化规则量子力学中的算符表达式及方程式，一般地可以利用算符化规则从经典力学中相应的表达式得到。经典力学中的动量，在量子力学中用算符代之，即(1)

基本的算符化规则是：经典力学中的能量E，在量子力学中用算符代之，即其中39第三十九页，共七十三页，编辑于2023年，星期五算符化规则利用算符化规则，薛定格方程就可以从经典力学方程，得到，即

使用算符化规则时要注意两点：1）要在笛卡儿坐标系中应用算符化规则。2）对称化规则。若在经典公式中出现项，则应该用代之后再算符化。40第四十页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第四节几率流密度与粒子数守恒定律薛定格方程是非相对论量子力学的基本方程。在低能情况下，不存在实物粒子的产生和消灭的现象，所以在随时间变化的过程中，粒子数将始终保持不变。称为粒子数守恒。就一个粒子来说，在整个空间发现这个粒子的几率不随时间变化，它总等于1，这就是几率守恒。粒子数守恒和几率守恒是对一个物理事实的两种不同说法。41第四十一页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第四节几率流密度与粒子数守恒定律42第四十二页，共七十三页，编辑于2023年，星期五几率流密度43第四十三页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第四节几率流密度与粒子数守恒定律对上式在空间任意有限体积V中作积分高斯定理将上式的有限体积扩展到整个无穷大空间，由于波函数具有平方可积性，按照J的定义，其在无限远的面上趋于零。44第四十四页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第四节几率流密度与粒子数守恒定律如果初始时刻t0时波函数已经归一化则任意时刻，波函数自动满足归一化条件凡满足薛定格方程的波函数，其归一化在时间过程中始终保持不变。45第四十五页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第四节几率流密度与粒子数守恒定律单位时间内，在体积V中增加或（减少）的几率，等于单位时间内穿过体积V的包围面S而流进（或流出）V的几率。右边的积分表示穿过整个封闭面S的几率流量。J的方向表示几率流动的方向，J的绝对值是单位时间流过与其垂直的单位面积的几率大小，所以我们称J为几率流密度连续性方程46第四十六页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第四节几率流密度与粒子数守恒定律表示粒子的（平均）电荷密度表示粒子的（平均）电流密度电荷守恒定律的表达式47第四十七页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第三章

定态薛定格方程及一维定态问题

第一节定态薛定格方程

从运动学的观点来讨论，量子体系的状态是多种多样的，但其中有一类状态——稳定状态却具有十分重要的实际意义。稳定态是能量取确定值的状态，简称定态。这类状态，即使时间变了，状态的其他性质可以发生很大的变化，但它的能量取值却一定不变。

定态时势能函数与时间无关，即48第四十八页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第一节定态薛定格方程一、定态薛定格方程的建立在保守势场中，可以用分离变量法来求解方程。令＝A49第四十九页，共七十三页，编辑于2023年，星期五一、定态薛定格方程的建立方程（1）的解是

在数学上它叫做算符的本征方程(或称特征方程)

根据一般的波动形式可以说A/h＝ν。由物质波假说，频率ν与粒子的能量E的关系为ν＝E/h。所以A＝E。方程（2）就可以写成定态薛定格方程50第五十页，共七十三页，编辑于2023年，星期五一、定态薛定格方程的建立算符作用在某函数上＝常数乘以同一函数

本征值；本征函数；本征值谱。定态薛定格方程是能量算符的本征方程，两者之间有以下对应关系：定态薛定格方程定态波函数时能量的可测量值E体系在实验上可测得的全部能量值物理上数学上能量算符的本征方程能量算符的本征函数能量算符的一个本征值E能量算符的本征值谱51第五十一页，共七十三页，编辑于2023年，星期五一、定态薛定格方程的建立定态问题实际上就是求解能量算符的本征方程。这个本征方程是微分方程，但它不是一个普通的微分方程，而是含有一个待定常数E，而E本身又有确定物理含义的微分方程。

简并度：如果对应一个E值，有f个线性独立的波函数，满足本征方程，则称对应这个能量E是f度简并的，简并度有时也称退化度。

52第五十二页，共七十三页，编辑于2023年，星期五二、定态的特点和实现定态的条件1、定态的特点（1）任何时刻，能量的取值不变！前面讲过，与时间相关的定态波函数为其中E是分离常数，不仅与无关，而且也与t无关。总之，只要体系所处力场不变（V不变），若在某一时刻，体系的能量取确定值，则在以后的任何时刻，状态的其他性质可以发生很多的变化，但其能量取值却一定不变！53第五十三页，共七十三页，编辑于2023年，星期五二、定态的特点和实现定态的条件（2）对于定态，所有不显含时间t的物理量，其取值几率与平均值都不随时间改变。说明在定态时，位置几率密度与时间无关。2。实现定态的条件初始时刻，状态处于定态，才能保证以后时刻也为定态！54第五十四页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第一节定态薛定格方程1.求波函数的步骤：由体系的势能写出薛定谔方程解方程得一般解根据标准条件和归一化条件确定有关常数项2.求粒子出现概率极大、极小的位置求概率密度函数

令，解出x=xm55第五十五页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第二节梯形位梯形位的位能形式描述电子在金属边缘时的运动，常用这种类型的位加以近似处理V056第五十六页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第二节梯形位57第五十七页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第二节梯形位0V0E>V0时，X>0区域，没有向左运动的波，D＝0E<V0时，X>0区域，为保证波函数有限，D＝058第五十八页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第二节梯形位令当时59第五十九页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第二节梯形位按连接条件60第六十页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第二节梯形位61第六十一页，共七十三页，编辑于2023年，星期五62第六十二页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第二节梯形位当时按连接条件63第六十三页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第二节梯形位X>0的区间，波函数呈指数衰减，很快降低到零，因此可以认为是没有透射波。这时，入射波全部被反射回来。64第六十四页，共七十三页，编辑于2023年，星期五第三节一维势垒－隧道效应(tunneleffect)粒