量子力学概论

量子力学概论第一页，共五十七页，编辑于2023年，星期五量子力学史话1927年这场华山论剑，爱因斯坦终究输了一招。并非剑术不精，实乃内力不足。

——《上帝掷骰子吗》

作者：曹天元

出版：辽宁教育出版社

第二页，共五十七页，编辑于2023年，星期五这说的是1927年在布鲁塞尔举行的第五届索尔维会议的结果吗？在这次会议上，爱因斯坦和玻尔这两个当时世界上最顶尖的物理学家，进行了科学史上著名的学术辩论。在这次辩论中，玻尔所代表的新生量子论学派获得了更广泛的支持，而维护经典理论的爱因斯坦则被认为不合时宜，站到了对立面。第三页，共五十七页，编辑于2023年，星期五几乎可以肯定，世界上没有第二张照片，能像这张一样，在一幅画面内集中了如此之多的、水平如此之高的人类精英。

第四页，共五十七页，编辑于2023年，星期五补充：第五届索尔维会议简介索尔维是一个很像诺贝尔的人，本身既是科学家又是家底雄厚的实业家，万贯家财都捐给科学事业。诺贝尔是设立了以自己名字命名的科学奖金，索尔维则是提供了召开世界最高水平学术会议的经费。这就是索尔维会议的来历。

第五页，共五十七页，编辑于2023年，星期五人们通过经验和猜测的方法建立了量子理论，这是科学的幸运，但也因此导致了这个理论的异常神秘和不可捉摸，人们需要进一步理解它的真实含义。在量子力学建立之后，它的缔造者们便忙于弄清楚这个理论的含义，他们尤其想知道理论与经验之间的联系，以及理论本身是否具有一致性等等。正是对这些问题的思索和解决产生了关于量子力学的正统观点，由于这些观点主要是由当时在哥本哈根工作的物理学家，包括玻尔、海森伯、泡利、狄拉克等人所提出，因此也被称为量子力学的哥本哈根解释。

第六页，共五十七页，编辑于2023年，星期五关于量子力学的正统观点下述简短的对话可以帮助我们了解正统观点的概要。

问：量子力学中的波函数是一种什么波？

答：它是一种几率波，代表着通过实验测量所获得的所有可能结果的几率情况。

问：在量子力学中如何谈论粒子的运动？

答：我们不能同时谈论粒子的位置和速度，它们受不确定关系的限制。

问：那么粒子究竟是怎样运动的？

答：这个问题没有意义。我们只能提供互补性的描述，而且这种描述与实验有关。

第七页，共五十七页，编辑于2023年，星期五一、它是几率波

“粒子的运动遵循几率定律，而几率本身则按因果律传播。”

——玻恩，1926年第八页，共五十七页，编辑于2023年，星期五面对神秘的波函数，玻恩首先发现了它与经验之间的微妙联系。玻恩认为，波函数只是一种存在于数学空间中的几率波，而不是如它的发现者——薛定谔所认为的那样，是存在于真实空间中的物质波。

第九页，共五十七页，编辑于2023年，星期五尽管玻恩是矩阵力学的共同创建人之一，但是他却对薛定谔的波动力学情有独钟，并相信这一理论是量子规律更深刻的表达形式。然而，玻恩并未附和薛定谔的经典波解释，他的同事弗兰克关于原子和分子碰撞的实验使他确信粒子图像不能被简单地抛弃，相反，必须找到使粒子和波相调和的方法。这时，爱因斯坦关于“鬼波”的想法启发了他，使他认识到通过几率途径可以将粒子与波合理地联系起来。

第十页，共五十七页，编辑于2023年，星期五1926年6月，玻恩在一篇关于粒子散射问题的文章中首次提出了量子力学的几率波解释。为了说明波函数如何与粒子联系起来，玻恩着手利用薛定谔方程来解决量子理论中的稳定散射问题。在此过程中他认识到，散射波振幅的平方可以看作是散射粒子偏转通过空间区域的几率。于是玻恩发现，波函数绝对值的平方将代表在空间某区域中发现粒子的几率，即波函数是一种几率波而非真实的波。玻恩后来回忆这一发现时说，“爱因斯坦的观念又一次引导了我。他曾经把光波的振幅解释为光子出现的几率密度，从而使粒子和波的二象性成为可以理解的。这个观念马上可以推广到波函数Ψ上：|Ψ|2必须是电子（或其它粒子）出现的几率密度”。

第十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期五氢原子中电子的几率密度图

第十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期五玻恩的几率波解释第一次把几率概念引进基础物理学，“粒子的运动遵循几率定律，而几率本身按因果律传播”。这里，几率的出现并不是由观察者的无知或理论本身的无能所导致的，而必须看作是自然本身的一种本质特征。于是，量子力学一般只预言一个事件的几率，而对这个事件的发生不作任何决定论的断言。这是一次极不寻常的思想冒险，它向人们展示了一个潜在的、不确定的量子世界，在这个世界中代表几率的波函数主宰着一切。

第十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期五1954年，玻恩“由于量子力学方面的基础研究工作，特别是对波函数的统计解释”获得了诺贝尔物理学奖。

第十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期五二、必须理解的薛定谔：“要是必须承认这该死的量子跃迁，我真后悔卷入到量子理论中来。”

玻尔：“但是，我们大家却全都感谢你，你的波动力学代表了一次巨大的进步。”

——1926年10月，哥本哈根

第十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期五玻尔和薛定谔之间的辩论，在哥本哈根火车站就开始了，而且后来每天从清晨继续到深夜。薛定谔是在玻尔家中下榻的，而这就使得他们之间的讨论几乎是永不间断的。而且，尽管玻尔在别的方面和人相处时是最体谅人和最和蔼可亲的，但是这一回我却觉得他是一个寸土不让的狂热者，他不准备向他的对手做出任何妥协，也不准备容忍最小的含糊性。简直难以形容双方展开辩论时的那种感情的强烈程度，也难以形容在他们的每一句话中人们可以觉察出来的那些根深蒂固的信念第十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期五辩论就这样夜以继日地进行了若干个小时而没有达成任何一致的意见。过了两天，薛定谔生病了，……不得不卧床休息。玻尔夫人照料他，给他端茶送水，而玻尔则坐在床边，并且认真地对薛定谔说：‘但是你肯定必须理解……’

第十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期五三、不能同时谈论电子的位置和速度

“粒子的位置测定得越精确，它的动量就知道得越不精确，反之亦然。”

——海森伯，1927年

第十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期五薛定谔离开哥本哈根后，玻尔和海森伯继续深入地讨论了这些问题。在他们看来，电子有时象粒子，有时象波的表现仍然是一个严重的亟需解决的佯谬。“就象一位从某种溶液中一点一点地浓缩他的毒物的化学家那样”，海森伯和玻尔不断尝试着“浓缩这种佯谬的毒性”，他们渴望知道大自然是怎样避免矛盾的。夜以继日的讨论，以及彼此之间的意见不一使他们都彻底累坏了。1927年2月中旬，玻尔决定到挪威去滑雪，好让彼此的精神都放松一下。这个决定很快被证明是十分明智的，因为不久之后，海森伯便发现了不确定关系，而玻尔也在挪威大峡谷“找到”了互补原理。

第十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期五玻尔与海森伯在讨论

第二十页，共五十七页，编辑于2023年，星期五海森伯发现，量子力学对基于经典力学的那些物理概念，如位置和速度，施加了一种应用限制。人们不再能同时谈论电子的位置和速度，因为它们不能以任意精度被同时测定，并且这两个量的不确定度的乘积将大于普朗克常数除以粒子的质量。这一关系后来被称为海森伯不确定关系。有趣的是，泡利在1926年10月致海森伯的信中曾预先给出了一个更通俗的陈述，他说，“一个人可以用p眼来看世界，也可以用q眼来看世界，但是当他睁开双眼时，他就会头昏眼花了第二十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期五根据海森伯的看法，利用量子力学中的波函数所表示的电子态不允许人们赋予电子以确定的性质，如位置、动量等等。人们所能做的仅仅是谈论几率，即在适当的实验条件下于某个位置找到电子的几率，或发现电子的速度为某一值的几率。

第二十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期五四、粒子和波是互补的

“一些经典概念的任何一种确定的应用，都会预先排除另外一些经典概念的同时应用，而这另外一些概念在其他方面却是阐明现象所同样必需的。”

——玻尔，1929年

第二十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期五玻尔认为，对微观现象的说明必须利用互补性思想，粒子图像和波动图像是对同一个微观客体的两种互补描述。具体地说，用不同实验装置得到的关于微观客体的资料可以详尽无疑地概括关于微观客体的一切可设想的知识，但是，当企图把这些资料结合成单独一种图像时它们却显得是相互矛盾的。于是，任何一幅单独的经典实在图像，如粒子或波，都无法提供关于微观现象的详尽说明，人们只能用互补的经典图像来提供这种完备的说明。如果单独使用粒子图像或波动图像，它们的应用必将受到限制，这种限制由海森伯的不确定关系所精确表征。

第二十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期五玻尔的互补板凳

第二十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期五1927年9月，在意大利科摩举行的纪念伏打逝世一百周年的国际物理学会议上，玻尔首次公开阐述了他的互补性思想。同年10月，在布鲁塞尔召开的第五届索尔维会议上，互补性思想开始被大多数物理学家所赞同和接受。玻尔的挚友艾伦菲斯特后来回忆说，“玻尔完全超越了每一个人，他起初根本没有被理解，……然后就一步一步地击败了每一个人。”

第二十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期五五、谁坍缩了波函数？狄拉克：“自然将随意选择它喜欢的一个分支，因为量子力学理论给出的唯一信息只是选择任一分支的几率。”玻尔：“完全理解……整个问题就在于，通过实验，我们引入了某种不允许继续进行的东西。”

海森伯：“我不同意这一点……我宁愿说，观察者本人进行选择，因为直到做出了观察的那一时刻，选择才成为一种物理实在。”

——第五届索尔维会议上的讨论，1927年10月

第二十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期五狄拉克认为，波函数坍缩是自然做出的选择，而海森伯则认为它是观察者选择的结果。玻尔似乎同意狄拉克的观点，然而他更关心的是量子力学的普遍的互补性特征，他尤其强调了关于物理量的定义和观察的互补性质。在玻尔看来，离开观察人们便不能谈论任何东西，这也是与会的大多数物理学家所赞同的。

第二十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期五然而，与会的物理学家们对波函数坍缩过程的认识还很模糊，他们普遍认为这一过程只是一种瞬时的选择过程，不需要进一步的说明。

第二十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期五六、哥本哈根解释一统天下

“我们认为量子力学是一个完备的理论，它的基本的物理和数学假设不再允许修正。”

——

海森伯与玻恩，1927年10月

第三十页，共五十七页，编辑于2023年，星期五海森伯和玻恩当众宣布，“我们认为量子力学是一个完备的理论，它的基本的物理和数学假设不再容许修正。”这一看法为与会的大多数物理学家所赞同。至此，玻恩的几率波解释、海森伯的不确定关系和玻尔的互补原理共同形成了量子力学的正统哥本哈根解释，并从此开始统治人们对量子世界的理解。

第三十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期五量子力学的哥本哈根解释在其后几十年里成为了大多数物理学家所信奉的正统观点，玻尔也因此成为了名副其实的量子教皇。然而，反对者们依然存在，甚至在正统观点刚刚提出之时就已出现。

第三十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期五量子的发现1900年对于科学来说无疑是一个新的开端。这一年，诺贝尔基金委员会成立，从此代表科学界最高荣誉的诺贝尔奖开始颁发；这一年，希尔伯特在国际数学家大会上提出了著名的23个问题，为新世纪勾勒了一幅美丽的数学画卷；也正是在这一年，普朗克发现了量子，人类从此迈入了辉煌的量子时代。

第三十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期五那么量子是什么呢？简单地说，它就是自然的一种本性——分立性或非连续性，而量子的历史就是人们研究这种非连续性的探险历程。对于量子的发现历史，即使是科学史家们都抱怨它过于复杂①，更不用说一个普通的读者了，这一方面说明了量子的发现是如何的艰难，另一方面也说明了顽固的偏见是多么难以抗拒。因此，我们这里并不想让完整却无味的历史来破坏读者的兴致，而是让读者去亲身经历那些最激动人心的伟大时刻，并分享由此所带来的精神快乐。请记住，只有逻辑才清晰可见，而经验的历史总是纷乱复杂的。第三十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期五常经验告诉我们，物体的运动是连续的，物体性质的变化也是连续的。而经典理论——牛顿力学和麦克斯韦电磁场理论也正基于这样的假设，并且它的预测已经被大量的实验所证实。然而，自然并不轻易显露她的神秘和美丽，尽管她会在你付出执著和热情之后给你意想不到的惊喜。

第三十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期五“经过我一生中最紧张的几个星期的工作，黑暗中终于露出光亮，一幅未知的远景开始朦胧地显示出来。”

——普朗克

第三十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期五普朗克演讲的内容是关于物体热辐射的规律，即关于一定温度的物体发出的热辐射在不同频率上的能量分布规律。普朗克对于这一问题的研究已有6个年头了，今天他将公布自己关于热辐射规律的最新研究结果。普朗克首先报告了他在两个月前发现的辐射定律，这一定律与最新的实验结果精确符合（后来人们称此定律为普朗克定律）。然后，普朗克指出，为了推导出这一定律，必须假设在光波的发射和吸收过程中，物体的能量变化是不连续的，或者说，物体通过分立的跳跃非连续地改变它们的能量，能量值只能取某个最小能量元的整数倍。为此，普朗克还引入了一个新的自然常数h=6.55×10-27erg·s。这一假设后来被称为能量量子化假设，其中最小能量元被称为能量量子，而常数h被称为普朗克常数第三十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期五量子的发现者——普朗克

永远把对绝对的探求看成是一切科学活动的最崇高的目标。

第三十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期五奇妙的量子曲线

普朗克于1900年发现了隐藏在这些曲线中的量

第三十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期五对于普朗克的能量量子化假设，好奇的读者肯定会追问：为什么在光波的发射过程中，物体的能量变化是不连续的，并且能量值只能取某个最小能量元的整数倍呢？是的，爱因斯坦也同样困惑，他于1905年给出了一个试探性的答案：因为光波本身就是由一个个的能量子组成的。然而，8年后丹麦青年玻尔却给出了另一个答案，他认为这是由于物体中束缚在原子周围的电子只能处于分立的能量态，而当电子在这些能量态之间跃迁时，它所发射的光也就自然地具有分立的能量。第四十页，共五十七页，编辑于2023年，星期五我一生中最具革命性的思想

“根据这里的假设，当一束光从点光源发出时，它的能量不是随体积增大而连续分布，而是包含一定数量的能量量子，这些能量量子在空间的局域存在，不随运动而分裂，并只能作为一个整体被吸收和发射。”

——爱因斯坦

第四十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期五青年时代的爱因斯坦

第四十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期五爱因斯坦假设，能量子概念不只是在光波的发射和吸收时才有意义，光波本身就是由一个个不连续的、不可分割的能量量子所组成。例如，当光波从一个点向外扩散时，它的能量并不是如经典理论所认为的那样连续地分布在一个越来越大的体积中，而是由定域在空间中的有限数目的能量子组成的。这些能量子在运动中并不分裂，而且只能作为整体被吸收或发射，爱因斯坦称之为光量子。进一步地，利用普朗克的能量量子化公式，爱因斯坦还给出了光量子的能量和动量表达式，即E=hν及P=h/λ，式中h是普朗克常数，ν和λ是光波的频率和波长。利用这一光量子假设，爱因斯坦成功地解释了麦克斯韦电磁场理论所无法解释的光电效应等现象，并提出了光电效应定律。

第四十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期五爱因斯坦的光

第四十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期五布鲁塞尔的女巫盛宴1911年，比利时布鲁塞尔

量子问题的重要性使一些物理学家意识到有必要开一次国际会议，专门讨论与量子有关的问题。1911年10月29日，在物理化学家能斯特的组织下，主题为“辐射理论与量子”的第一届索尔维会议终于在布鲁塞尔成功召开了。来自各个国家的物理学家们聚在一起，共同讨论恼人的量子问题。他们都有一种共同的感受，即经典物理学的某些基本原理处境不妙了。第一届索尔维会议使量子思想声名远播，并使更多的人投入到对量子问题的研究中。爱因斯坦的好友贝索风趣地将这次会议称为“布鲁塞尔的女巫盛宴”。

第四十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期五布鲁塞尔的女巫盛宴

第四十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期五思想领域的最高音乐神韵

1913年3月6日，玻尔在哥本哈根的家中致信卢瑟福，信中附寄了他那篇著名的原子论文的第一章，请求卢瑟福将稿件发表在《哲学杂志》上。在这篇论文中，玻尔从原子所奏出的光谱音乐中聆听到了量子的声音，这便开启了通往原子世界的大门。

第四十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期五玻尔第四十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期五20世纪初，关于原子结构的问题同样引起了物理学家们的极大关注。1911年，英国实验物理学家卢瑟福根据他的散射实验结果提出了原子的行星模型。根据这种模型，原子由原子核和电子组成，电子在原子核外绕核转动，正如行星绕太阳运转一样。然而，这一直观模型却与经典理论之间存在尖锐的矛盾。一方面，根据经典理论的预言，这样的系统无法稳定存在，电子很快就会辐射掉能量而落入核中⑾；另一方面，人们在实验上并没有发现这种坍缩现象，原子系统是稳定的！

第四十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期五定态与跃迁

第五十页，共五十七页，编辑于2023年，星期五玻尔的理论成功地说明了氢原子的光谱线规律，它的出现大大扩展了量子概念的影响。爱因斯坦后来将这一理论赞誉为“思想领域的最高音乐神韵”。1916年，爱因斯坦利用玻尔原子理论和统计学方法分析了物体吸收和发射辐射的过程，并重新导出了普朗克定律。爱因斯坦的这一工作巧妙地将普朗克、他自己和玻尔三人的工作综合起来，可以称得上是一首美妙的量子协奏曲。

第五十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期五哥廷根的玻尔节

1922年6月间，玻尔应邀在哥廷根做了一系列关于原子理论的演讲，后来人们称之为哥廷根的玻尔节