河北省秦皇岛市刘家营乡中学2022-2023学年高三数学文测试题含解析

河北省秦皇岛市刘家营乡中学2022-2023学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知,是简单命题，则“是真命题”是“是假命题”的(

)

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件参考答案：A2.球的球面上有四点，其中四点共面，是边长为2的正三角形，面面，则棱锥的体积的最大值为（

）A．

B．

C．

D．4参考答案：A考点：几何体的外接球等有关知识的运用.【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学中题的重要题型,也高考和各级各类考试的难点内容.本题将三棱锥与球外接整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先确定球心的位置是三角形的外心,再求外接球的半径并确定当为三棱锥的高时,该三棱锥的体积最大并算出其最大值为.3.已知直线l与双曲线相切于点P,l与双曲线两条渐近线交于M，N两点，则的值为（

）A．3

B．4

C.

5

D．与P的位置有关参考答案：B双曲线的渐近线方程为当斜率不存在时，；当斜率存在时，设为消去得：，因为直线与双曲线相切，所以，化简得解得：，解得：，，将代入得，故选A.

4.函数f(x)＝sinx·sin(x－)的最小正周期为（）A、2B、C、D、参考答案：C5.执行右面的程序框图，输出的S的值为(A)1

(B)2

(C)3

(D)4参考答案：C6.若函数满足且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.函数f（x）=log|x|，g（x）=－x2+2，则f（x）·g（x）的图象只可能是(

)

【解析】因为函数都为偶函数，所以也为偶函数，所以图象关于轴对称，排除A,D,，当时，，排除B,选C.参考答案：因为函数都为偶函数，所以也为偶函数，所以图象关于轴对称，排除A,D,，当时，，排除B,选C.【答案】C8.已知θ∈（0，），则y═的最小值为（）A．6 B．10 C．12 D．16参考答案：D【考点】三角函数的最值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】y==（）（cos2θ+sin2θ），由此利用基本不等式能求出y=的最小值．【解答】解：∵θ∈（0，），∴sin2θ，cos2θ∈（0，1），∴y==（）（cos2θ+sin2θ）=1+9+≥10+2=16．当且仅当=时，取等号，∴y=的最小值为16．故选：D．【点评】本题考查代数式的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意基本不等式和三角函数性质的合理运用．9.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=x参考答案：C【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的离心率为，分析可得e2===1+=，计算可得的值，结合焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则有e2===1+=，即=，即有=，又由双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为：y=±x；故选：C．10.设i为虚数单位，为纯虚数，则实数a的值为（

）（A）-1

(B)1

(C)-2

(D)2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的定义域是,．设且，则的最小值是

．参考答案：512.

已知函数,若函数的图像经过点（3，），则___;若函数是上的增函数，那么实数a的取值范围是

参考答案：2；若函数的图像经过点（3，），则，解得。若函数是上的增函数，则有，即，所以，即，所以实数a的取值范围是。13.已知点M是圆E：（x+1）2+y2=8上的动点，点F（1，0），O为坐标原点，线段MF的垂直平分线交ME于点P，则动点P的轨迹方程为

．参考答案：【考点】轨迹方程．【分析】根据PE+PF=PE+PM=EM=2可知P点轨迹为椭圆，使用待定系数法求出即可．【解答】解：∵P在线段ME的垂直平分线上，∴PF=PM，∴PE+PF=PE+PM=EM=2，∴P点轨迹为以E，F为焦点的椭圆，设椭圆方程，则2a=2，c=1，∴a=，b=1．∴P点轨迹为．故答案为=1．【点评】本题考查了椭圆的定义，轨迹方程的求解，属于中档题．14.已知△ABC中，角C为直角，D是BC边上一点，M是AD上一点，且|CD|=1，∠DBM=∠DMB=∠CAB，则|MA|=

．参考答案：2【考点】三角形中的几何计算．【分析】设∠DBM=θ，在△CDA中，由正弦定理可得=，在△AMB中，由正弦定理可得=，继而可得=，问题得以解决【解答】解：设∠DBM=θ，则∠ADC=2θ，∠DAC=﹣2θ，∠AMB=﹣2θ，在△CDA中，由正弦定理可得=，在△AMB中，由正弦定理可得=，∴===，从而MA=2，故答案为：2．15.定义（表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的.以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是_________（请写出所有真命题的序号）.①；②若则；③任意；④；⑤函数为奇函数.参考答案：②③16.双曲线的焦距是________，渐近线方程是________．参考答案：，【知识点】双曲线【试题解析】因为焦距渐近线方程是

故答案为：，17.已知，则________________。参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知．（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求四棱锥的体积；（Ⅲ）设二面角的大小为，求的值．参考答案：(1)略(2)

(3)略19.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若=k（k∈R）（1）判断△ABC的形状；（2）若c=，求k的值．参考答案：【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；余弦定理的应用．【分析】（1）判断△ABC的形状需要研究出三角形的边与角的大小，由题设条件变换整理，由其结果结合图形进行判断即可．（2）由=k，故求出的内积即可，由（1）的结论，易求．【解答】解：（1）∵，∴∴令AB的中点是M，则∴即AB边上的中线垂直于AB，故△ABC是等腰三角形（2）由（1）知a=b∴=bccosA=bc×∵c=∴k=120.（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度.

参考答案：解:（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，.记玻璃棒的另一端落在上点处.因为，所以，从而 ，记与水面的焦点为,过作P1Q1⊥AC,Q1为垂足，则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，从而AP1=.答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm) （2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GK⊥E1G，K为垂足，则GK=OO1=32.因为EG=14，E1G1=62，所以KG1=，从而.设则.因为，所以.在中，由正弦定理可得，解得.因为，所以.于是.记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH，故P2Q2=12，从而EP2=.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)21.设是正整数，数列，其中是集合中互不相同的元素．若数列满足：只要存在使，总存在有，则称数列是“好数列”．（Ⅰ）当时，（ⅰ）若数列是一个“好数列”，试写出的值，并判断数列：是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列是“好数列”，且，求共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列是“好数列”，且是偶数，证明：．参考答案：见解析【考点】数列综合应用（Ⅰ）（ⅰ），或；

数列：也是一个“好数列”．

（ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含两项，

若剩下两项从中任取，则都符合条件，有种；

若剩下两项从中任取一个，则另一项必对应中的一个，

有种；

若取，则，，“好数列”必超过项，不符合；

若取，则，另一项可从中任取一个，有种；

若取，则，，“好数列”必超过项，不符合；

若取，则，符合条件，

若取，则易知“好数列”必超过项，不符合；

综上，共有66种不同的取值．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”．

又“好数列”各项互不相同，所以，不妨设．

把数列配对：，

只要证明每一对和数都不小于即可．

用反证法，假设存在，使，

因为数列单调递增，所以，

又因为“好数列”，故存在，使得，

显然，故，所以只有个不同取值，而有个不同取值，矛盾．

所以，每一对和数都不小于，

故，即．22.已知数列｛a｝满足a=1,a=2a+1(n∈N)（Ⅰ）求数列｛a｝的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足4k-1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈N*),证明:{bn}是等差数列;（Ⅲ）证明:(n∈N*).

参考答案：解析：（I）∵an+1=2an+1（n∈N）,∴an+1+1=2(an+1),∴|an+1|是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列。∴an+1=2n，既an=2n－1(n∈N)。（II）证法一：∵4b1－14b2－2…4bn－1=(a+1)bn，∵4k1+k2+…+kn

=2nk,

∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nb,

①

2[(b1+b2+…+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1

②②-①,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nb,

即(n-1)bn+1-nbn+2=0.

③

nbn+2=(n+1)bn+1+2=0.

④

④-③，得nbn+2-2nbn+1-nbn=0,即bn+2-2bn+1+b=0,∴bn-2-bn+1=