高等数学第八节函数的连续性

高等数学第八节函数的连续性第一页，共五十四页，编辑于2023年，星期六一、连续函数的概念极限形式增量形式第二页，共五十四页，编辑于2023年，星期六1、连续性概念的增量形式在某过程中,变量u的终值u2与它的初值u1的差u2u1,称为变量u在u1处的增量,记为u=u2－u1.定义u是一个整体记号,它可以取正值、负值或零.有时我们也称u为变量u在u1处的差分.第三页，共五十四页，编辑于2023年，星期六设函数f(x)在U(x0)内有定义,xU(x0),则称x=xx0为自变量x在

x0点处的增量.=f

(x0+

x)

f

(x0)y=f

(x)

f

(x0)xyOx0xxyy=f

(x)此时,x=x0+x,相应地,函数在点x0点处有增量

y第四页，共五十四页，编辑于2023年，星期六连续性概念的增量形式则称f(x)在点x0处连续.设f

(x)在U(x0)内有定义.若定义自变量的增量趋于零时,函数的增量也趋于零.第五页，共五十四页，编辑于2023年，星期六设f

(x)在U(x0)内有定义,若则称函数f

(x)在点x0处是连续的.2、函数连续性的定义(极限形式)函数的连续性是一个局部性的概念,是逐点定义的.定义是整个邻域第六页，共五十四页，编辑于2023年，星期六函数f

(x)在点x0处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在U(x0)内有定义；(包括在点x0处有定义)(极限值等于函数在点x0处的函数值)第七页，共五十四页，编辑于2023年，星期六函数y=x2在点x=0处是否连续?函数y=x2在点x=0处连续.又且y=x2在U(0)内有定义,例1解第八页，共五十四页，编辑于2023年，星期六3.函数的左、右连续性设函数f

(x)在[x0,x0+)内有定义.若则称f

(x)在x0点处右连续.设函数f(x)在(x0–,x0]内有定义.若则称f

(x)在x0点处左连续.其中,为任意常数.定义第九页，共五十四页，编辑于2023年，星期六函数在点x0

连续,等价于它在点x0

既左连续又右连续.定理第十页，共五十四页，编辑于2023年，星期六讨论y=|x|,x()在点x=0处

y=|x|在点x=0处连续.xyy=|x|O的连续性.例2解第十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期六讨论函数f

(x)=x2,

x

1,在x=1处的连续性.函数f(x)在点x=1处不连续.故函数f

(x)在点x=1处是左连续的.x+1,x

>1,但由于例3解第十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期六4.函数在区间上的连续性设函数f

(x)在开区间(a,

b)内有定义.若x0(a,

b),f(x)在点x0处连续,则称f

(x)在开区间(a,

b)内连续,记为f(x)C((a,b)).定义第十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期六若f(x)C((a,b)),且f(x)在x=a处右连续,在端点x=b处左连续,则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,记为f(x)C([a,b]).对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性定义第十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期六一般地,如果函数f(x)在区间I上连续,则记为f(x)C(I).连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.第十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期六现在有了连续性的概念,可把此结论表述为:基本初等函数在其定义域内每点处均连续.即,基本初等函数在其定义域内是连续的.第十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期六二、函数的间断点

通常将函数的不连续点叫做函数的间断点.第十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期六函数f

(x)在点x0处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在U(x0)内有定义；(包括在点x0处有定义)(极限值等于函数在点x0处的函数值)第十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期六(1)f

(x)在x0处无定义.若函数在点满足下述三个条件中的任何一个,则称函数在点处间断,点称为函数f

(x)的一个间断点：定义第十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期六求函数间断点的途径:(1)f

(x)在x0处无定义,但f

(x)在内有定义.(2)中至少有一个不存在.(3)存在,但不相等.(4)但a

f

(x0

).第二十页，共五十四页，编辑于2023年，星期六2.函数间断点的分类函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃可去无穷振荡其它第二十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期六(1)

第一类间断点若x0为函数f

(x)的一个间断点,且f

(x)的第一类间断点.则称x0为函数定义第二十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期六讨论函数f

(x)=x+1 x

>0sinx

x

<0在x=0处的连续性.yxO1y=sinxy＝x+1由图可知,函数在点x0处间断.例4第二十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期六故x=0是f

(x)的第一类间断点.将左、右极限存在但不相等的间断点,

称为函数的跳跃型间断点.解第二十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期六讨论函数在x=1无定义,故x=1为函数的第一类间断点.x=1为函数的间断点.yxO11P(1,2)y＝

x+1进一步分析该间断点的特点.例5解第二十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期六补充定义则函数f*(x)

在x=1连续.f*

(x)

=2x=1即定义分析第二十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期六这种间断点称为可去间断点.处函数值后,可得到一个新的连续函数,故将在且相等,即极限存在,经过补充定义间断点这个间断点的特点是该处的左、右极限存补充定义f*

(x)

=,x=x0第二十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期六跳跃型间断点可去间断点第一类间断点左右极限存在极限不相等极限相等、补充定义第二十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期六(2)第二类间断点凡不属于第一类的间断点,

称为函数的第二类间断点.这算定义吗？定义即左右极限至少有一个不存在的点.第二十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期六讨论函数xyO在x

=0无定义,x

=0为函数的间断点,故

x

=0为函数的第二类间断点.所以称它为无穷间断点.由于例6解第三十页，共五十四页，编辑于2023年，星期六在x

=0处无定义,又不存在,故x=0为函数的第二类间断点.看看该函数的图形.例7解第三十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期六O11xy第三十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期六无穷型间断点其它间断点第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个为无穷振荡型间断点左右极限至少有一个振荡第三十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期六回忆函数极限的四则运算则三、初等函数的连续性第三十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期六1、连续函数的四则运算设函数f(x)、g(x),fi(x)在点x0处连续,则即第三十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期六有限个在点x0

处连续函数的和仍是一个在点x0处连续的函数.即第三十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期六(2)有限个在点x0处连续的函数之积仍是一个在点x0处的连续函数.即第三十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期六(3)两个在点x0处连续函数的商,当分母不为零时,仍是一个在点x0处连续函数.即第三十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期六2、反函数的连续性

y

=f

－1(x)的图形只是y=f

(x)的图形绕直线y=x翻转180º而成,故单调性、连续性仍保持.从几何上看:x=f

－1(y)与y=f

(x)的图形相同,连续性保持.从而,单调性、第三十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期六设函数y=f

(x)在区间I上严格单调增加(减少)且连续,则其反函数在相应的区间I*={y|y=f(x),xI}上严格单调增加(减少)且连续.定理3(反函数连续性定理)第四十页，共五十四页，编辑于2023年，星期六xy11Oxy11O例8第四十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期六设函数u=(x)在点x0处连续,且u0

=

(x0),函数y=f(u)在u0处连续.若复合函数y=f((x))在U(x0)内则y=f((x))在x0点处连续.有定义,这个条件有必要吗？定理(复合函数连续性定理)3、复合函数的连续性第四十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期六如果y=f(u)在u0处连续,则,当|uu0|<时,有|f(u)

f

(u0)|<再假设u=(x),且在x0处连续,即亦即证明:第四十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期六|u

u0|=|(x)

(x0)|<

故对上面的,,当|x

x0|<时,有则,当|x

x0|<时,|u

u0|=|(x)

(x0)|<

且有（假设可以构成复合函数）|f(u)

f(u0)|＝|f((x))f((x0))|<第四十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期六u=cosx1是在定义域内的定义域是一个孤立点集D={x|x=2k,kZ}从而,函数在其定义域内的但由它们构成的复合函数连续的函数,每一点均不连续.例9第四十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期六在上述定理的条件下,在上述定理的条件下,极限符号可与连续函数符号交换顺序.推论1第四十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期六设函数u=(x)的极限存在：函数y=f

(u)在点u=a处连续.复合函数f

((x))当xx0

时的极限存在,且若复合函数f

((x))在内有定义,则推