第2章22充分条件必要条件充要条件

第2章

常用逻辑用语2.2

充分条件、必要条件、充要条件成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期1．结合具体实例，理解充分条件、1．通过充要条件的判断，提升逻辑必要条件、充要条件的意义．(重点、推理素养．难点)2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3．理解性质定理、判定定理和定义与2．借助充要条件的应用，培养数学充分条件和必要条件之间的关系．(重运算素养．点)4．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)01必备知识·情境导学探新知知识点1知识点2

知识点3知识点1充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p

qp

q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件“p⇒q”含义的理解：一方面，一旦p

成立，q

一定也成立．即p对q的成立是充分的；另一方面，如果q不成立，那么p一定不成立；即q

对p

的成立是必要的．[提示](1)相同，都是p⇒q．(2)等价．[答案](1)√(2)√(3)×知识点2

充要条件(1)如果p⇒q，且

q

p

，那么称p是q的充分且必要

条件，简称p是q的充要条件．为了方便起见，p是q的充要条件，就记作

p

q

，称为“p与q等价”或“p等价于q”．“⇒”和“⇔”都具有传递性，即①如果p⇒q，q⇒s，则p⇒s；②如果p⇔q,

q⇔s，则p⇔s．[提示]正确．若p

是q

的充要条件，则p⇔q，即p

等价于q．(2)“p

是

q

的充要条件”与“p

的充要条件是

q”的区别在哪里？[提示]

若①p

是

q

的充要条件，则由

p⇒q

证的是充分性，由q⇒p

证的是必要性．②若p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．知识点3

性质定理和判定定理与充分必要条件的关系性质定理是某类对象具有的

具体特征

，所以性质定理具有“必要性”；判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的所有特征，所以判定定理具有“充分性”；数学中的定义既可以作为判定，也可以作为性质．即数学中的定义具有“充要性”．C

[两直线平行，同位角相等．两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行．]02关键能力·合作探究释疑难类型1

类型2类型3(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(3)p：a＞b，q：ac＞bc．定义法判断充分条件、必要条件确定谁是条件，谁是结论.尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件.尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.[跟进训练]1．指出下列各组命题中，p

是q

的什么条件．(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0．[证明]

充分性：若

a2－b2＝1

成立，则

a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1，所以a2－b2＝1

是a4－b4－2b2＝1

的充分条件．必要性：若a4－b4－2b2＝1

成立，则a4－(b2＋1)2＝0，即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0．因为a，b

为实数，所以a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1．所以a2－b2＝1

是a4－b4－2b2＝1

的必要条件．综上可知，a4－b4－2b2＝1

成立的充要条件为a2－b2＝1．充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p

是否是q

的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断，证明前必须分清充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向．[跟进训练]2．试证：一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．[证明]

①必要性：因为一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

有一正根c1

1

2和一负根，所以

Δ＝b2－4ac＞0，x

x2＝a＜0(x

，x

为方程的两根)，所以ac＜0．②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0

及x

xc2＝a＜0(x

，x1

1

2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0

有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0

有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．[解]

p：3a<x<a，即集合

A＝{x|3a<x<a}．q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为p⇒q，所以A⊆B，3a≥－2，所以a≤3，a<02⇒－3≤a<0，3所以a

的取值范围是－2≤a<0．[母题探究]1．将本例中条件p

改为“实数x

满足a<x<3a，其中a>0”，若

p

是q

的必要条件，求实数a

的取值范围．[解]

p：a<x<3a，即集合A＝{x|a<x<3a}．q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为q⇒p，所以B⊆A，3a>3，所以a<－2，a>0⇒

a∈∅．2．将例题中的条件“q：实数x

满足－2≤x≤3”改为“q：实数x

满足－3≤x≤0”，其他条件不变，求实数a

的取值范围．[解]

p：3a<x<a，其中

a<0，即集合

A＝{x|3a<x<a}．q：－3≤x≤0，即集合

B＝{x|－3≤x≤0}．因为p

是q

的充分条件，所以p⇒q，所以A⊆B，3a≥－3，所以a≤0，a<0⇒－1≤a<0．所以a

的取值范围是－1≤a<0．充分条件与必要条件的应用技巧应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.[跟进训练]3．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p

是q的充分不必要条件，则实数

m

的取值范围为

．学习效果·课堂评估夯基础03)1．“x>0”是“x≠0”的(A．充分不必要条件

C．充分必要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件A

[由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．]2．(多选题)使

x>3

成立的充分条件是(

)A．x>4

B．x>5

C．x>2

D．x>1AB

[x>4⇒x>3，x>5⇒x>3，其他选项不可推出x>3．]3．设

x，y∈R，则“x≥2

且

y≥2”是“x2＋y2≥4”的(

)A．充分不必要条件C．充分必要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件的取值范围是4

．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a

．a≤1

[因为x>1⇒x>a，所以a≤1．]5．“x2＝2x”是“x＝0”的

条件，“x＝0”是“x2＝2x”的

条件(用“充分”“必要”填空)．必要

充分

[由于

x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝