随机变量及其概率分布

PAGE《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第二章随机变量及其概率分布第9页共9页PAGEPAGE9第二章随机变量及其概率分布【内容提要】一、随机变量及其分布函数设是定义于随机试验的样本空间上的实值函数，且，是随机事件，则称为随机变量，而称为其概率分布函数。随机变量的概率分布函数具有如下性质:⑴．非负性:，有；⑵．规范性:；⑶．单调性:若，则；⑷．右连续性:，有。二、离散型随机变量1．离散型随机变量及其概率分布律若随机变量只取一些离散值，且取到这些值的概率满足，则称为离散型随机变量，而称为其概率分布律，记为，也可用下表来表示:而其概率分布函数是单增、右连续的阶梯形函数。2．常用离散型分布⑴．单点分布:为常数；⑵．二项分布:；特别当时，二项分布退化为两点分布；⑶．超几何分布:；⑷．分布:；特别当时，分布退化为几何分布；⑸．分布:。三、连续型随机变量1．连续型随机变量及其概率密度函数若随机变量的一切可能取值充满了某一区间，且存在一个实值函数，使其概率分布函数，且，则称为连续型随机变量，而称为其概率密度函数，记为。连续型随机变量的密度函数与分布函数之间有满足。2．常用连续型分布⑴．分布:设为常数，则分布的密度函数为:,特别当时，分布即均匀:；⑵．分布:设为常数，则分布的密度函数为:,特别当时，分布即指数分布:；⑶．正态分布:。四、随机变量函数的分布设为随机变量，而为连续的确定型函数。⑴．若为离散型随机变量，且，则也是离散型随机变量，其概率分布律为:；⑵．若为连续型随机变量，且，则也是连续型随机变量，其概率密度函数为:。故，，即345其分布函数及其图形如下：，11、设随机变量的分布函数为，求常数。解:由分布函数的性质得:，解之得，即。12、设随机变量的概率密度函数为，求常数及。解:由概率密度函数的性质得:，故，而。13、设某电子元件寿命的概率密度函数为，求5个同类型的电子元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率。解:，。14、设随机变量的分布函数为，求其概率密度函数。解:。15、设随机变量的概率密度函数为，求其概率分布函数。解:。16、设公共汽车站从上午7:00点到晚上8:00点间，每隔15分钟来一辆班车，若某乘客到达车站的时间在上午7:00点到7:30内均匀分布，求其候车时间不超过5分钟的概率。解:由题设知该乘客的到站时间、候车时间之间的关系为:，，而，故。17、设随机变量，求方程有实根的概率。解:由题设知，故方程有实根的概率为:。18、设打一次电话所用的时间服从的指数分布，若某人刚好在你前面走进公用电话间，求你需要等待分钟的概率。解:由题设知，故所求的概率为:。19、设，求。解:，。20、设，求。解:由于，故，从而，，。21、设某地区的月降雨量服从的正态分布，求从某月起连续10个的降雨量都不超过的概率。解:由于，故，从而所求概率为:。22、设随机变量的概率分布律如下，求的概率分布律。0269191523、设随机变量的概率分布律如下，求的概率分布律。012解:由题意知的概率分布律为:01424、设随机变量的概率分布律为，求的概率分布律。解:由题意知的概率分布律为:,。25、设随机变量的概率密度函数为，求的概率密度函数。解:由题意知的概率分布函数及其概率密度函数分别为:，。26、设随机变量的概率密度函数为，求的概率密度函数。解:由题意知的概率分布函数及其概率密度函数分别为:，。27、设随机变量的概率密度函数为，求的概率密度函数。解:由题意知的概率分布函数及其概率密度函数分别为:，。28、设随机变量，求的概率密度函数