八年级数学上册《三角形的高、中线与角平分线》练习题及答案

八年级数学上册《三角形的高、中线与角平分线》练习题及答案

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一、单选题

1.如图，△A2C中BC边上的高和△AEC中AE边上的高分别是（）

C.AB和CDD.AB^EF

2.如图，&/WC的面积是2,40是的中线，AF=^AD,CE=；EF,则△C3E的面积为（

)

4

D.

。|9

3.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作SAABC,

小颖画的三角形面积记作SAOER那么你认为（）

小敏画的三角形

A.S〉ABC>S〉DEFB.S〉ABC<S〉DEF

C.SAABC=SADEFD.不能确定

4.如图，在△ABC中，已知点。、E、尸分别为边3。、AD.CE的中点，且△A3C的面积是8cm2,则阴影

部分面积等于（）

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E

7F7

BDC

A.2cm2B.1.5cm2C.1cm2D.0.5cm2

5.如图，BD是ABC的边AC上的中线，A石是△ABO的边8。上的中线，M是△ARE的边AE上的中线,

若二ABC的面积是32,则阴影部分的面积是（）

C.18D.20

6.请你量一量如图ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（）

0.7cmC.1.5cmD.2cm

7.如图，已知。、E分别为△A8C的边8C、AC的中点，连接40、DE,A厂为△AOE的中线.若四边形

A3。厂的面积为10,则△ABC的面积为（）

A.12B.16C.18D.20

8.已知A,3两点在数轴上的位置如图所示，原点为0,现A点以2m/s的速度向左运动，8点以lm/s的速

度向左运动，若A,3两点同时出发，当OA：08=1：2时，用时为（）

£

•4・3-2-1012345

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7,

或

A.2sB-7C.或IsD.gs2s

二、填空题

9.填空：

(1)如图(1)A。,BE,C尸是ABC的三条中线，则他=2,BD=,4E=g.

(2)如图(2)AD,BE,CF是AfiC的三条角平分线，则Nl=_____,Z3--_____,ZACB=2______

一一一2一—一

⑴⑵

10.已知80、CE是△A8C的高，直线20、CE相交所成的角有一个角为45。，则ZBAC等于.

II.如图，AC//BD,0A,OB分别平分NBAC和—ABD,OE1AB,垂足为E,如果0E=5,那么AC

与BD的距离是

12.如图，在二ABC中，N84C=90o,A。是高，8E是中线，CF是角平分线，CB交40于点G,交BE于

点H,下面说法正确的是.

①A/WE的面积等于一8CE的面积；②ZAFG=ZAGF；®ZFAG=2ZACF；④CG是△AC£＞的角平分线

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A

13.如图，AD是△ABC的中线，BE是△A8。的中线，EFLBC于点F.若S.c=24,BD=4,则EF

长为.

14.若是△ABC的高，ZBAD=10°,ZCAD=20°,则/8AC的度数为.

15.连结三角形的一个顶点和它的叫做三角形这边上的中线.如图，若BE是

ABC中AC边上的中线，则AEEC=；.

16.如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为|万，则半圆的半径OA的长为

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三、解答题

17.如图，△ABE中，/E=90。，AC是/BAE的角平分线.

(1)若NB=40。，求/A4c的度数;

(2)若。是BC的中点，AAQC的面积为16,AE=8,求8c的长.

18.如图，在,ABC中(AC=2BC,8c边上的中线4。把一71BC的周长分成60和40两部分,

求AC和AB的长.

19.在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴棒首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试,

列表如下.

火柴棒

356

数

2A2

示意图

1A

12

等边三角等腰三角

形状等边三角形

形形

问：

(1)4根火柴棒能搭成三角形吗？

(2)8根、12根火柴棒分别能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图.

20.如图，在正方形网格中有一个.ABC,按要求进行作图(只用直尺)

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⑴画出将ABC向右平移6格，再向上平移3格后的_£＞防；

⑵画出^ABC中AC边上的高8,；

(3)请在图中直接标记出3个使一BCP的面积等于3的格点＜、?、6.

参考答案：

1.C

【分析】根据三角形高的定义，△ABC中BC边上的高为从BC边相对的顶点A向BC边作的垂线段，AAEC

中AE边上的高为从AE边相对的顶点C向4E边作的垂线段，观察图形，找出符合要求的线段即可.

【详解】解：根据三角形高的定义可知，AB是△ABC中BC边上的高，CC是△AEC中AE边上的高，

故选C.

【点睛】本题考查三角形高的定义：从三角形一个端点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足

之间的线段称三角形这条边上的高.

2.A

【分析】根据中线的性质即可求出S»C£＞,然后根据等高时，面积之比等于底之比，即可依此求出SzCDF,

SACDE.

【详解】解：,••△ABC的面积是2,AQ是AABC的中线，

：.S^ACD=^S^ABC=1,

'：AF=-AD,

3

：.DF=^AD,

3

222

・・・SACDF=-SAACD=-Xi=~,

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,；CE=：EF,

：.CE=-CF

3

1122

JSCDE=-SCDF=-X：=(

A3A339

故选：A.

【点睛】此题考查的是三角形的面积关系，掌握中线的性质和等高时，面积之比等于底之比是解决此题的

关键.

3.C

【分析】在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可.

【详解】解：如图，过点A、。分别作AGLBC,DH±EF,垂足分别为G、H,

小敏画的三角形小颖画的三角形

在ZiABG和△£)“£：中，AB=DE=5,

NB=50。,N£)EH=18O°-13O°=5O°,

:.NB=NDEH,NAGB=NDHE=90°,

：.4AGB%4DHE(AAS),

：.AG=DH.

,:BC=4,EF=4,

:.S4ABC=S4DEF.

故选：C.

【点睛】要题考查全等三角形的判定和性质，等底等高两三角形面积相等.证明会是解题的关

键.

4.A

【分析】先由。为BC中点，求出△ABC和4人。面积，再由点E为中点求出△8CE面积，再根据F

是CE中点，知阴影部分面积等于ABCE面积的一半，即可求解.

【详解】解：：力是8C中点，AABC的面积是8cm2,

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•*S&ABD~S&CD=5S38C=4cm~，

・・・E是4。中点，

,,SAABE=S^BDE=TSAAB。=2cm2,SACE=SCDE=彳S.AC。=2cm2,

，2

•*•SMM=4cm2,

♦・,尸为CE中点，

，S阴影=cm2,

故选：A.

【点睛】本题考查了三角形面积的等积变换，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题关

键.

5.B

【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可.

【详解】•・・是一ABC的边AC上的中线，

S&ABD=SBCD=2S&ABC=/x32=16,

•・•AE是△AB。的边80上的中线，

・.SAM=SA0£=5S人8。=万X16=8，

又：所是△ARE的边AE上的中线，则C77是一ACE的边AE上的中线，

,S诋=SMF=QS.BE='X8=4,SCEF=SACF=SADE=SCED=&SACE=8，

则S阴影=SBEE+CEF=4+8=12,

故选：B.

【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键.

6.D

【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可.

【详解】解：如图所示，过点A作AO_LBC,

用刻度尺直接量得A0更接近2cm,

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故选：D.

【点睛】题目主要考查利用刻度尺量取三角形高的长度，作出三角形的高是解题关键.

7.B

【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积即可得到结论.

【详解】设心心=x,

为△AQE的中线.

,•SAEF=SA0F=X,SADE=2X

,/E分别为△ABC的边AC的中点，

••SADE=SCDE=2x,S.CZM=4"

,/D分别为△ABC的边BC的中点，

=

SCDA=SBDA4x,SAnc-8x

四边形ABDF的面积=sF[)A+SRDA=5x=10

解得x=2

/.SAUC=8x=16

故选：B

【点睛】本题考查了三角形的面积，熟练三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键.

8.C

【分析】设A,B两点同时出发运动的时间为rs,分类讨论①当A点在0点右侧时和②当A点在0点左侧

时，分别用/表示出0A和。8,再列出等式，解出，即可.

【详解】设A,8两点同时出发运动的时间为fs,

分类讨论①当A点在。点右侧时，即时，

此时。8=l+f,OA=3-2t,

*：0A：0B=\：2

A(3-2r)：(1+0=1：2

3

解得：f=符合题意；

②当A点在。点左侧时，即f>g,

此时O6=l+f,Q4=2f—3,

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'：0A：OB=1：2

(2f-3)：(1+0=1：2

73

解得：f=g>G，符合题意.

7

综上可知f=l或f=§时，OA：OB=1：2

故选C.

【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题，利用分类讨论的思想是解答本题的关键.

9.AF或8尸CDACZ2ZABCZ4

【分析】(1)根据三角形的中线定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线可得£、

F、£>分别是AC、AB、BC上的中点，进而得到答案.

(2)根据角平分线定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线

即可解答.

【详解】解：(1);CF是AB边上的中线，

：.AB=2AF=2BF；

•；A£)是BC边上的中线，

BD=CD,

是AC边上的中线，

：.AE=^AC,

(2)是NBAC的角平分线，

/.Zl=Z2,

是NABC的角平分线，

Z3=-ZAfiC,

2

：CF是N4C8的角平分线，

Z.ZACB=2Z4.

故答案为：■或8尸；CD；AC；Z2；ZABC；Z4

【点睛】此题主要考查了三角形的中线、角平分线，解题的关键是掌握三角形的中线及角平分线的定义.

10.45。或135°

【分析】分两种情况：(1)当/A为锐角时，如图1,(2)当/A为钝角时，如图2,根据三角形的内角和

计算得出结果.

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【详解】解：分两种情况：

(1)当NA为锐角时，如图1,

VZDOC=45°,

：.ZEOD=]35°,

■:BD、CE是△ABC的高，

・・・ZAEC=ZADB=90°,

9：ZEAO+ZAEO+ZAOE=\SO°=ZDAO+ZDOA^ZADO,

：.ZAEO+ZEAD+ZADO+ZEOD=360°

：.ZA=360°-90°-90°-135°=45°；

(2)当NA为钝角时，如图2,

VZF=45°,ZADF=ZAEF=90°,

同理ZDAE=360o-900-90o-45°=135°,

：.ZBAC=ZDAE=\35°,

则N8AC的度数为45。或135°,

故答案为：45。或135°.

F

【点睛】本题考查了三角形的高和三角形的内角和，明确三角形内角和，三角形的高所构成了两个直角;

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本题是易错题，容易漏解，要分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行计算.

II.10

【分析】过点。作OM_LAC于M,作ONJ.BD于N,利用平行线的性质可证得OM_LBD,进而可证得MN

为AC和BD的距离，根据角平分线的性质可知OE=OM=OE,即可求得MN的长度.

【详解】解：如图，过点。作OMLAC于M,作ONLBD于N.

OA,OB分别平分/84C和NABD,OE1AB,

，OM=OE=ON=5,

又AC〃BD,OM±AC,

OM±BD,又ON_LBD,

AM,O,N三点共线，

AC与BD之间的距离为MN=OM+ON=10.

故答案为：10.

【点睛】本题考查求平行线间的距离、角平分线的性质、八个基本事实，熟练掌握角平分线的性质，作出

AC和BD之间的距离是解答的关键.

12.①②③④

【分析】根据等底同高的三角形的面积相等即可判断①；根据直角三角形两锐角互余求出/ABC=/C4O,

根据三角形的外角性质即可推出②；根据直角三角形两锐角互余求出根据角平分线定义

即可判断③；根据三角形的角平分线的定义判断④即可.

【详解】解：是中线，

：.AE=CE,

.•.△ABE的面积=ABCE的面积（等底同高的三角形的面积相等），①正确；

•rep是角平分线，

NACF=NBCF,

AD为同］,

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・•・ZADC=90°,

a：ZBAC=90°,

：.ZABC+ZACB=90°fZACB+ZCAD=90°,

：.ZABC=ZCADf

VZAFG=ZABC+ZBCFfZAGF=ZCAD+ZACFf

：.ZAFG=ZAGFf②正确；

•「AO为高，

NAQB=90。，

VZBAC=90°,

AZABC+ZACB=90°,ZABC+ZBAD=90Q,

：.NACB=/BAD,

•二C/是NACB的平分线，

:.ZACB=2ZACFf

：.ZBAD=2ZACFf即/项G=2N4CF,③正确；

Tb是NACB的平分线，CF交AO于点G,

・・・CG是△AC。的角平分线，④正确；

故答案为：①②③④.

【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高线等知识

点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键.

13.3

【分析】因为SABDE=^-SAABD；所以SABQE=1S.A3C,再根据三角形的面积公式求得

224

即可.

【详解】解：•.•AO是△ABC的中线，S"1BC=24,

：.S^ABD=^S^ABC=12,

同理，BE是△AB。的中线，S川旄=：S=6,

•；SABDE=WBD・EF,

：.：BD・EF=6,

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gp|x4xEF=6

:,EF=3.

故答案为：3.

【点睛】此题考查了三角形的面积，三角形的中线特点，理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求

解，是解题的关键.

14.90°或50°

【分析】分高在AABC内部和外部两种情况讨论求解即可.

【详解】解：①如图1,当高AO在AABC的内部时，

NBAC=NBAD+Z040=70°+20。=90。；

②如图2,当高AO在AABC的外部时，

NBAC=NBAD-ZCAD=70°-20o=50°,

综上所述，ZBAC的度数为90。或50°.

故答案为：90。或50。.

【点睛】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论.

15.所对边的中点线段=AC

【分析】根据三角形中线的定义，即可求解.

【详解】解：连结三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形这边上的中线.

：BE是一ABC中AC边上的中线，

AE=EC=-AC

2

故答案为：所对边的中点；线段；=;AC；

【点睛】本题主要考查了三角形的中线，熟练掌握连结三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三

角形这边上的中线是解题的关键.

16.3.

【分析】如图，连接。。,。28,证明CD//A8,再证明S扇形.u=S阴影=£，从而可以列方程求解半径.

【详解】解：如图，连接OC,ORCD

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点C、D分别是半圆AOB上的三等分点,

ZAOC=Z.COD=ZDOB=60°,

OC=OD,

・•..COD为等边三角形，

・•・ZOCD=60°,

.•.ZAOC=ZDCO,

:.CD//AB,

,•,uqCOD_~°qBCD，

S扇形OCD=S阴影=Q-，

2

60%•OA_3兀

一~360―-三，

解得：。4=3,（负根舍去），

故答案为：3.

【点睛】本题考查的圆的基本性质，弧，弦，圆心角之间的关系，平行线的判定与性质，扇形面积的计算,

掌握以上知识是解题的关键.

17.(1)NBAC=25。；

(2)BC=8

【分析】(1)先利用互余计算出NBAE=50。，再利用角平分线的定义得到NBAC=3/BAE=25。；

(2)先根据三角形面积公式得出Z)C,利用。是BC的中点得到3c即可.

(1)

解：VZB=40°,NE=90°,

：.ZBAE=90°-40°=50°,

；AC是/BAE的角平分线,

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...N2AC=；N8AE=25。；

(2)

'：S^ADC=^DC>AE,

A|xDCx8=16,

：.DC=4,

•.•。是BC的中点，

：.BC^2CD=S.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，线段的中点，角平分线的定义的正确运用是解题的关键.

18.AC=48,AB=28

【分析】由题意可得AC+8=60,Afi+BD=40,由中线的性质得AC=2BC=4CD=45O,故可求得

AC=48,即可求得AB=28.

【详解】由题意知AC+C£>+89+AB=l(X),AC+8=60,AB+BD^40

VAC=2BC,。为BC中点

AC=2BC=4CD=ABD

：.AC+CD=AC+-AC=-AC=60