一元二次不等式朱祥生

关于一元二次不等式朱祥生第1页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三o

1、作一元一次函数y=2x-7的图像。它的对应值表与图像如下：由对应值表与图像可以知道：当x=3.5时，y__0，当x>3.5时，y__0，当x<3.5时，y__0，不等式2x-7>0的解即为不等式2x-7<0的解即为准备知识-73.5xy﹛x|x<3.5﹜﹛x|x>3.5﹜x22.533.544.55y-3-2-10123即2x-7__0；即2x-7__0；即2x-7__0；y=2x-7==>><<一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系第2页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三2、通过以上分析，我们得出以下结论一次函数y=ax+b的图像方程ax+b=0的根不等式ax+b>0的解集不等式ax+b<0的解集a>0a<0x=-b/ax=-b/ax>-b/ax<-b/ax<-b/ax>-b/a-b/a-b/a第3页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三新课那么一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间又存在着什么样的关系呢？第4页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三(3).由图像写出不等式x2-x-6>0的解集为————————不等式x2-x-6<0的解集为————————(1).图像与x轴交点的坐标为___________,该坐标与方程x2-x-6=0的解有什么关系：______________________(2).当x取__________时，y=0？当x取__________时，y>0？当x取__________时，y<0?交点的横坐标即为方程的根1、作一元二次函数y=x2-x-6的图像,它的对应值表与图像如下：-23y>0y>0y<0yxo(-2,0)(3,0)x=-2或3x<-2或x>3-2<x<3﹛x|x<-2或x>3﹜﹛x|-2<x<3﹜x-3-2-101234y60-4-6-6-406y=x2-x-6第5页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

2、通过师生讨论，得出以下结论x1x2⊿=b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0（a>0）的解集

ax2+bx+c<0(a>0)的解集x1(x2)⊿>0⊿=0⊿<0有两个不等实根x1,x2(x1<x2)﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x1<x<x2﹜有两个相等实根x1=x2无实根﹛x|x≠x1﹜ΦΦR第6页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三解：因为△=(-3)2-4x2x(-2)>0(所以不等式解集为{x|x<x1或x>x2})而方程2x2-3x-2=0的解是

x1=;x2=2

所以原不等式的解集为{x|x<或x>2}

例1：解不等式2x2-3x-2>0第7页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三例2：解不等式-3x2+6x>2解:整理，得3x2-6x+2<0

因为△=(-6)2-4x3x2=12>0(所以不等式解集为{x|x1<x<x2})

而方程3x2-6x+2=0的解是所以原不等式的解集为第8页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

例3：解不等式4x2-4x+1>0解：因为△=16-16=0

(所以不等式解集为{x|x≠x1})而方程4x2-4x+1=0的解是

x1=x2=所以原不等式的解集为{x|x≠}

第9页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三例4：解不等式-x2+2x-3>0解：整理，得x2-2x+3<0因为△=4-12=-8<0方程无实数根所以原不等式的解集为Ø.第10页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

解一元二次不等式ax2+bx+c>0、

ax2+bx+c<0(a>0)的步骤是：

(1)化成标准形式ax2+bx+c>0(a>0)ax2+bx+c<0(a>0)

(2)判定对应一元二次方程⊿与0的关系，(分析不等式解的分布范围)并求出方程ax2+bx+c=0的实根

(3)写出不等式的解集解法小结第11页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三补充知识：区间表示法不等式的解集我们为了简便经常用区间来表示。设a，b都为实数，并且a<b，我们规定：（1）集合{x|a≤x≤b}叫做闭区间，表示为[a,b]；（2）集合{x|a<x<b}叫做开区间，表示为(a,b)；（3）集合{x|a≤x<b}或{x|a<x≤b}叫做半开半闭区间，表示为[a,b)或(a,b]；在上述所有区间中，a、b叫做区间的端点，以后我们可以用区间表示不等式的解集。（4）把实数R表示为(-∞,+∞)，类似的集合{x|x≥a}{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x<b}分别表示为[a,+∞)、(a,+∞)、(-∞,b]、(-∞,b)。这里“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。第12页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

解：整理，得6x2+x-2≥0

因为⊿=1+48=49>0(所以不等式解集为{x|x≤x1或x≥x2})而方程6x2+x-2=0的解是

x1=-2/3,x2=1/2

所以原不等式的解集为:(-∞，-2/3]U[1/2，+∞)(2)–6x2-x+2≤0

课堂练习1．解下列不等式

解：因为⊿=49-24=25>0(所以不等式解集为{x|x1<x<x2})

而方程3x2-7x+2=0的解是

x1=1/3,x2=2

所以原不等式的解集为（1/3，2）(1)3x2-7x+2<0

第13页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三

(3)4x2+4x+1<0

解：因为⊿=42-4x4=0

所以原不等式的解集为Ø(4)x2-3x+5>0解：因为⊿=9-20<0

所以原不等式的解集为R第14页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三解：由于此一元二次方程没有实数解，所以我们可以知道⊿=a2-4x2x2<0,问题也即转化为求解一元二次不等式a2-16<0的问题，解得此不等式的解为﹛a|-4<a<4﹜所以当a的取值范围在(-4,4)这个区间时，二次方程2x2+ax+2=0无实数解。课堂练习2.已知关于x的二次方程2x2+ax+2=0无实数解，求a的取值范围。第15页，讲稿共18页，2023年5月2日，星期三课堂练习3.x是什么实数时,有意义?解：要