八年级数学上册直角三角形全等的判定培优题

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】

专题19.7直角三角形全等的判定

姓名：班级：得分：

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道.答卷前，考生务必用0.5毫米

黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共3（）分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（2019秋•松江区期末）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（）

A.两个锐角分别对应相等

B.两条直角边分别对应相等

C.一条直角边和斜边分别对应相等

D.一个锐角和一条斜边分别对应相等

【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解析】A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；

8、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；

C、可以利用边角边或“乙判定两三角形全等，不符合题意；

可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意.

故选：A.

2.（2021春•秦都区期末）下列可以判定两个直角三角形全等的条件是（）

A.斜边相等

B.面积相等

C.两对锐角对应相等

D.一直角边及斜边分别相等

【分析】根据判定直角三角形全等的条件：SAS.ASA.AAS,，乙进行分析即可.

【解析】A、斜边相等，缺少一个条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；

从面积相等，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；

C、两对锐角对应相等，缺少边相等的条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；

。、一直角边及斜边分别相等，可利用“心定理证明两个直角三角形全等，故此选项符合题意；

故选：D.

3.（2021春•榆阳区期末）如图，NC=NO=90°,添加下列条件：®AC=AD；®ZABC=ZABD；③BC

=BD,其中能判定Rtz\A8C与全等的条件的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论.

【解析】①当AC=4£>时，由NC=NQ=90°,AC=AO且AB=AB,RtAABC^RtAABDCHL）；

②当/A8C=NABD时，由/C=/D=90°,NABC=ZABD且AB=AB,可得RtA/lBC^RlAABD（M5）；

③当8c=8。时，由NC=NO=90°,BC=BD5.AB=AB,可得RtZvWCTRt△48。（”A）；

故选：D.

4.（2021春•金水区校级月考）下列说法正确的有（）

①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；

②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；

③两边分别相等的两个直角三角形全等：

④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等.

A.IB.2C.3D.4

【分析】根据直角三角形全等的判定方法逐条判定即可得到结论，

【解析】①两个锐角分别相等的的两个直角三角形不一定全等，故该说法错误；

②如图，已知：ZB=ZE=90°,BC=EF,AM=BM,DN=EN,CM=FN,

求证：△ABC丝△£>£下,

证明：VZB=ZE=90°,BC=EF,CM=FN,

:.RtABCM^RtAEFN（HL）,

:.BM=EN

'：AM=BM,DN=EN,

：.AB=DE,

：.RtAABC^RtA£F/V(SAS),

故一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等的说法正确：

③两对应边分别相等的两个直角三角形全等，如果是一个宜角三角形的两条直角边和另一个直角三角形

的一条直角边和一条斜边分别相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；

④一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形不一定全等，如果一个直角三角形的一条直角边和

另一个直角三角形的一条斜边相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；

故选：A.

5.（2021春•福田区校级期中）如图，已知NC=NQ=90°,添加一个条件，可使用判定RtZvWC

与RtZiABZ）全等.以下给出的条件适合的是（）

A.ZABC^ZABDB.ZBAC^ZBADC.AC^ADD.AC=BC

【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可.

【解析】A.VZABC^ZABD,NC=/£>=90°,AB^AB,

：.RtAABC^Rl/\ABD（A4S）,故本选项不符合题意；

B.,：ZBAC=ZBAD,ZC=ZD=90°,AB=AB,

RtAABC^RtAABDCAAS）,故本选项不符合题意：

C.：NC=/O=90°,AB^AB,AC^AD,

丝RtZ\48O（HL）,故本选项符合题意；

D.根据NC=NO=90°,AB^AB,AC=BC不能推出RtZXABC也Rt/XAB。，故本选项不符合题意；

故选：C.

6.（2020秋•平阴县期末）如图所示，ZC=ZD=90°,添加下列条件①AC=AO；②NABC=/ABD；③

ZBAC=ZBAD；®BC=BD,能判定RtA4BC与RtZ\A8£>全等的条件的个数是（)

B

A.IB.2C.3D.4

【分析】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论.

【解析】①当AC=A。时，由/C=ND=90°,AC=AD且AB=AB,可得RtA48CgRtA48D(HL)：

②当ZABC=ZABD时，由NC=ZD=90°,N48C=ZABD且4B=A8,可得RtZ\A8C丝RtZ\48D(A4S)；

③当/8AC=/BA。时，由NC=NC=90°,ZBAC=ZBADnJWRtAABC^RtAABD(A4S)；

④当BC=8。时，由NC=NO=90°,8c=8。且AB=AB,可得RtZXABC/RlZ\48。(HL)；

故选：D.

7.(2021春•陈仓区期末)如图，在RtZXABC中，ZC=90°,ZA=30°,AB的垂直平分线OE交AC于

点。，交A8于点E,连结BD下列说法错误的是()

A.BC是△AOB的AO边上的高

B.DE=DC

C.图中所有的直角三角形都全等

D.△AOB是等腰三角形

【分析】利用三角形高的定义可对A选项进行判断:利用线段垂直平分线的性质得到DELAB,DA=DB,

则可对。选项进行判断；证明DB平分N48C,根据角平分线的性质可对8选项进行判断；利用Rt^ADE

不可能与RtAAfiC全等可对C选项进行判断.

【解析】VZC=90°,

：.BCLAD,

:.BC是△AOB的AD边上的高，所以A选项的说法正确；

,：AB的垂直平分线DE交AC于点D,

.'.DE1AB,DA=DB,所以。选项的说法正确；

：.ZDBA=ZA=30°,

；/A8C=90°-4=60°,

：.DB平分NABC,

：.DE=DC,所以B选项的说法正确；

;AD=BD,DE=DE,

：.RtAADE^RtABDE(HL),

"：BD=BD,DE=DC,

：.RtABDE^RtABDC(HL),

而RlAADE不可能与RtZXABC全等，所以C选项的说法错误;

故选：C.

8.(2020秋•禹城市期末)如图，ZVIBC中，ADLBC,。为BC的中点，以下结论:

(1)

(2)AB=AC；

(3)NB=NC；

(4)A。是△ABC的一条角平分线.

其中正确的有()

A

【分析】先运用S4S证明△A8O丝△4CZ),再得(1)△ABDgZXAC。正确；(2)AB=AC正确；(3)Z

B=NC正确；

ZBAD=ZCAD(4)A。是△48C的角平分线.即可找到答案.

【解析】,：AD=AD,ZADB=ZADC,BD=CD

：.(1)△48。丝△AC。正确；

(2)AB=AC正确；

(3)N8=NC正确；

NBAD=NCAD

：.(4)4。是△A8C的角平分线.

故选：D.

9.(2020秋•汝南县期中)如图，点C在/D48的内部，CCJ_A。于点。，CBLAB于点B,CD=CB,那

么能判定RtZ\AOCgRtZ\ABC的理由是()

①A4S；②SAS；③SSS；®HL

A.①②③B.①②④C.①②③④D.②③④

【分析】利用直角三角形的性质和角平分线的性质可得ND4C=N84C,ZACH=ZACD,再利用全等

三角形的判定方法进行推理即可.

【解析】于点。，C8LAB于点B,

:.NB=ND=90°,

在RtAADC和RtZXABC中,

(CD=CB

14c=4C'

ARtA/ADC^RtAA5C(HL),

,:CD=CB,

・"C平分NQA3,

：.ZDAC=ZBAC,

在△AOC和△ABC中，

(ZD=AB

\z.DAC=Z8AC，

MC=AC

：.AADC^AABC(A4S),

9

：ZDAC=ZBACfZB=ZD=90°,

:.ZACB=ZACDf

在△AOC和△ABC中，

ND=NB

CD=CB，

、乙ACB=Z.ACD

：.AADC^A/IBC(ASA),

9

：AC=AC,DC=BCf

：.AD=\IAC2-DC2=AB=>/AC2-BC2,

.•.在△AOC和8c中，

AC=AC

AD=AB,

DC=BC

：./^ADCt^ABC(SSS),

故选：C.

10.（2020春•平江县期末）在如图中，AB=AC,8EJ_AC于E,CF_LAB于F,BE、CF交于点D,则下列

结论中不正确的是（)

A.^ABE^/XACFB.点。在NBAC的平分线上

C.8BDF迫丛CDED.点。是BE的中点

【分析】根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案.做题时，要结合已知条件与三角

形全等的判定方法逐个验证.

【解析】A、\'AB=AC,BEIAC^E,CFLABF,ZA=ZA：.^ABE^^ACF（AAS）,正确：

B、•.,△ABE四△AC尸，AB=AC：.BF=CE,NB=NC,NDFB=NDEC=90°，。尸=OE故点力在N

BAC的平分线上，正确；

C.'：/\ABE^/\ACF,AB^AC：.BF=CE,NB=NC,NDFB=NDEC=90°：./XBDF^△CDE(/L4S),

正确;

。、无法判定，错误,

故选：D.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11.（2021春•新邵县期末）如图，ZC=ZD=90°,添加一个条件，可使用“HL”判定RtA/lfiC^RtA

ABD.添加的条件是：AC=AC（答案不唯一）.（写一个即可）

【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只有符合两直角三角形全等的判定定理即可，条

件可以是AC=A。或8c=80.

【解析】添加的条件是AC=AQ,

理由是：•.•/C=/C=90°,

...在RtAABCWRtAABD中

AB=AB

.AC=AD'

，RtZ\A8CgRtZU8。(HL),

故答案为：AC=AD（答案不唯一）.

12.（2020秋•临沐县期中）如图，RtZ\ABC和RtaEDF中，AB//DF,在不添加任何辅助线的情况下，请

你添加一个条件4B=£>=（答案不唯一），使RtZL48C和RtZ\ED尸全等.

【分析】根据全等三角形的判定定理证明即可证得结论.

【解析】添加的条件是：AB=DF,

证明：在RtAABC和RtADF£中，

:.NACB=NDEF=90°,

■：AB//DF,

：.ZABC=ZDFE,

添力口AB^DF,

在Rt^ABC和RtADFE中，

（ZACB=/DEF

jA.ABC=^DFE'

Ufi=DF

/.RlAABC^RlADFE（AAS）,

故答案为：A8=。尸（答案不唯一）.

13.（2020秋•新吴区期中）在△ABC中，AQ_LBC于。，要用”证明RtZiADB丝RtZiAQC,则需添加

的条件是A8=4C.

【分析】利用，〃定理可直接得到答案.

【解析】添加条件：A8=4C,

\'AD±BC,

NAO8=NADC=90°,

在RtAABD和RtAACD中

（AD=AD（公共诩

[AB=AC（己为,

ARtAABD^RtAACD(HL),

故答案为：AB=AC.

14.（2020•黑龙江）如图，RtaABC和Rt^EDF中，NB=/D,在不添加任何辅助线的情况下，请你添加

一个条件AB=ED（>C=£>=或AC=E=或AE=Cf）,使RtAABC和RtAEDF全等.

【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是A8=E。或8c=£>尸或4C=E尸或AE=CF,

只要符合全等三角形的判定定理即可.

【解析】添加的条件是：AB=ED,

理由是：：在RtZ^ABC和中

ND

\AB=ED>

U/4=4DEF

.,.RtAABC^RtAEDF（ASA）,

故答案为：AB=ED.

15.（2020•黑龙江）如图，RCABC和RtaEO尸中，BC//DF,在不添加任何辅助线的情况下，请你添加

一个条件AB=ED（答案不唯一），使RtzXABC和RtAEDF全等.

【分析】根据全等三角形的判定解答即可.

［解析］VRtAABC和RtAEDF中,

.".ZBAC=ZDEF=90a,

"JBC//DF,

:"DFE=/BCA,

二添力口AB=ED,

在RtAABC和RtAEOF中

NDFE=ZBCA

j/.DEF=Z.BAC，

VAB=ED

/.RtAABC^RtAEDF（A4S）,

故答案为：AB=ED（答案不唯一）.

16.（2020秋•金乡县期中）如图，在RtZXABC与Rt^DCB中，已知/A=N£>=90°,若利用“4L”证明

RtAABC^RtADCB,你添加的条件是AB=£>C（答案不唯一）.（不添加字母和辅助线）

【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使Rt^A8CgRtZ\OCB,添加的条件是：

AB=DC.

【解析】•••斜边与直角边对应相等的两个直角二角形全等，

...在RtAABC与RtADCZ?中，已知NA=ZD=90°，使RtAABC^RtADCB,添加的条件是:AB=DC.

故答案为：A8=OC（答案不唯一）

17.（2020•北京一模）如图，正方形网格中，点A,B,C,。均在格点上，则/AC£）+NBDC=90°.

【分析】易证得Rt/XAEC丝RtZ\D4B,即可证得/ACE=/ABC,进而证得NE4C+/A5D=90°,得到

NAB8=90°,即NCFO=90°,即可证得NAC£>+/BOC=90°.

【解析】在Rt/XAEC和RtADAB中

(AE=AD

Uc=BD

：.RtAAEC^RtADAB(HL),

：.ZACE^ZABD,

VZEAC+ZACE=90°,

：.ZEAC+ZABD=90°,

AZAFB=9Q°,即NCF£>=90°,

:.NACD+NBDC=90",

故答案为90.

18.（2019秋•勃利县期末）如图，ABA.BC,DCLBC,垂足分别为8、C,AB=6,8c=8,CD=2,点、P

为BC边上一动点，当8P=2时,形成的RtZ\ABP与RtZ\PC。全等.

【分析】当8P=2时，RtAABP^RtAPCD,由BC=8可得CP=6,进而可得AB=CP,BP=CD,再结

合AB_LBC、OCJ_BC可得NB=NC=90°,可利用SAS判定

【解析】当BP=2时，RtAABP^RtAPCD,

：8C=8,BP=2,

:.PC=6,

'：AB±BC.DC±BC,

.*.NB=NC=90°,

（AB=PC=6

在AABP和△尸CO中，乙B=4：=90°.

BP=CD=2

:.丛ABP出丛PCD（SAS）,

故答案为：2.

三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（2021春•华容县期末）如图，BD,CE分别是△A8C的高，且BE=C£>,求证：RtABEC^RtACDB.

【分析】根据高的定义求出NBEC=/Cr>8=90°,根据全等三角形的判定定理HA推出即可.

【解答】证明：CE分别是AABC的高，

AZBEC=ZCDS=90°，

在RtABEC和RtACDB中，

(BC=BC

(BE=CD'

：.RtAB£C^RtACDB(HL).

20.(2021春•蓝山县期末)如图，已知乙4=/。=90°,E、F在线段BC上，CE与AF交于点O,且AB

【分析】由于尸与AOCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明.

【解答】证明：；8E=CF,

:.BE+EF=CF+EF,即BF=CE,

VZA=ZD=90°,

...△45尸与△£>€•£都为直角三角形，

在Rt/XA8尸和Rt/XOCE中，%£=££，

38=CD

：.RtAABF^RtADCE(HL).

21.(2021•蓬安县模拟)如图，在△ABC和△OCB中，ZA=ZD=90°,AC=BD,AC与8。相交于点。.

(1)求证：AABC注ADCB；

(2)△OBC是何种三角形？证明你的结论.

【分析】(1)根据已知条件，用公理证：RtAABC^RtADCB；

(2)利用RtZ\A8CgRtz^OC8的对应角相等，即可证明△O8C是等腰三角形.

【解答】证明：(1)在△ABC和△OCB中，ZA=ZD=90°

AC^BD,BC为公共边，

/.RtA/lBC^RtADCB(HL)；

(2)△OBC是等腰三角形，

VRtAABC^RtADCB,

NACB=NDBC,

：.OB=OC,

...△O8C是等腰三角形.

22.(2016春•苏仙区期末)如图，NA=/B=90°,E是A8上的一点，且4E=BC,Z1=Z2.

(1)RtaAOE与RtABEC全等吗？并说明理由；

(2)是不是直角三角形？并说明理由.

【分析】(1)根据/l=N2,得DE=CE,利用“HL”可证明RtZkADE丝RtZXBEC；

(2)是直角三角形，由RtAWE岭RtZ\8EC得，Z3=Z4,从而得出N4+/5=90°,则是直角

三角形.

【解析】(1)全等，理由是：

VZ1=Z2,

：.DE=CE,

在Rt^ADE和RtAfiEC中，

(AE=BC

IDE=C