湖南省株洲市龙溪中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省株洲市龙溪中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则使得的x的取值范围是A．

B．

C．

D．

参考答案：A2.已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，若C1，C2的离心率相同，且S=16，则双曲线C2的实轴长为（）A．4 B．8 C．16 D．32参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线C1的离心率，求得双曲线C2一条渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长．【解答】解：双曲线C1：﹣y2=1的离心率为，设F2（c，0），双曲线C2一条渐近线方程为y=x，可得|F2M|===b，即有|OM|==a，由S=16，可得ab=16，即ab=32，又a2+b2=c2，且=，解得a=8，b=4，c=4，即有双曲线的实轴长为16．故选：C．3.椭圆上一点到左焦点的距离为2，是的中点，为坐标原点，则等于（

）

A.2

B.4

C.8

D.参考答案：B略4.已知上的增函数，那么a的取值范围是（

）

A．（1，+）

B．（－，3）

C．

D．（1，3）参考答案：答案：C5.已知抛物线C：x2=2py（p＞0），若直线y=2x，被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（）A．x2=8y B．x2=4y C．x2=2y D．x2=y参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】将直线方程代入抛物线方程，求得交点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得p的值，求得抛物线方程．【解答】解：由，解得：或，则交点坐标为（0，0），（4p，8p），则=4，解得：p=±1，由p＞0，则p=1，则抛物线C的方程x2=2y，故选C．6.定义,若实数满足,则的最小值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析:因,故,故.又因,故,所以,所以.则,所以的最小值为.故应选答案B.考点：二元一次不等式组表示的区域及运用．7.为调查某中学学生平均每人每天参加体育锻炼时间X（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②10～20分钟；③20～30分钟；④30分钟以上．有2000名中学生参加了此项活动．下表是此次调查中的频数分布表．国家规定中学生每天参加体育锻炼时间达到30分钟以上者，才能保持良好健康的身体发展，则平均每天保持良好健康的身体发展的学生的频率是(

)组距[0，10）[10，20）[20，30）[30，+）频数400600800200

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4参考答案：A考点：频率分布表．专题：概率与统计．分析：根据频率分布表，利用频率=，求出频率即可．解答： 解：根据频率分布表，得；每天保持良好健康的身体发展的学生的频率，即每天参加体育锻炼时间达30分钟以上的学生的频率是=0.1．故选：A．点评：本题考查了频率、频数与样本容量的应用问题，解题时应熟记公式，是基础题．8.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若,则角A的值为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据正弦定理将边化角，可得，由可求得，根据的范围求得结果.【详解】由正弦定理得：

本题正确选项：C【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用，属于基础题.9.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－

B．－

C.

D.参考答案：B10.等比数列中，，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，等腰△PAB所在平面为α，PA⊥PB，AB=6.G是△PAB的重心.平面α内经过点G的直线l将△PAB分成两部分，把点P所在的部分沿直线l翻折，使点P到达点P′（P′平面α）.若P′在平面α内的射影H恰好在翻折前的线段AB上，则线段P′H的长度的取值范围是

．

参考答案：因为等腰所在平面为，，.G是的重心，所以可得，连接，在中，，，当H与A重合时HG最大为2，此时最小，与A重合）作于H，此时GH最小为1,最大为，的长度的取值范围是，故答案为.

12.已知函数f（x）＝－ax（a∈R）既有最大值又有最小值，则f（x）值域为_______．参考答案：13.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，点P是MD的中点．若且，，则_______．参考答案：【详解】试题分析：,由已知：14.已知，则＝___▲___．参考答案：15.的二项展开式中的系数是

（用数字作答）．参考答案：解析：，所以，系数为.16.在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略17.在ABC中，，D是AB边上的一点，，△CBD的面积为1，则AC边的长为_______.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是，（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值.参考答案：（1）（2）【分析】（1）由直线可得椭圆右焦点的坐标为,由中点可得,且由斜率公式可得,由点在椭圆上,则,二者作差,进而代入整理可得,即可求解；（2）设直线,点到直线的距离为,则四边形的面积为,将代入椭圆方程,再利用弦长公式求得,利用点到直线距离求得,根据直线l与线段AB（不含端点）相交,可得,即,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.【详解】（1）直线与x轴交于点,所以椭圆右焦点的坐标为,故,因为线段AB的中点是,设,则,且,又,作差可得,则,得又,所以,因此椭圆的方程为.（2）由（1）联立,解得或,不妨令,易知直线l的斜率存在,设直线,代入,得,解得或,设,则,则,因为到直线的距离分别是,由于直线l与线段AB（不含端点）相交,所以,即,所以,四边形的面积,令,,则,所以,当,即时,，因此四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P﹣AEF的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由底面ABCD是菱形，得AB∥CD，利用线面平行的判定可得AB∥面PCD，再由线面平行的性质可得AB∥EF；（2）由PA=PD=AD=2，可得△PAD为等边三角形，求出AD边上的高h=，再由平面PAD⊥平面ABCD，可得P到平面ABCD的距离为．然后利用等积法求得三棱锥P﹣AEF的体积．【解答】（1）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又∵AB?面PCD，CD?面PCD，∴AB∥面PCD，又∵A、B、E、F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF；（2）解：∵PA=PD=AD=2，∴△PAD为等边三角形，∴AD边上的高h=，又平面PAD⊥平面ABCD，∴P到平面ABCD的距离为．又ABCD是菱形，且∠ABC=120°．∴．20.（本题满分15分）已知函数．（1）求函数的图像在点处的切线方程；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；参考答案：（1）解：因为，所以，函数的图像在点处的切线方程；…………5分（2）解：由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．…………7分令，则，……8分令，则，所以函数在上单调递增．………9分因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．当，即，当，即，…13分所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以．…………14分所以．故整数的最大值是3．………15分21.(本小题满分12分）据调查显示，某高校5万男生的身高服从正态分布，现从该校男生中随机抽取40名进行身高测量，将测量结果分成6组：，，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求这40名男生中身高在172cm（含172cm）以上的人数；（Ⅱ）从这40名男生中身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全校前65名的人数记为，求的数学期望.（附：参考数据：若服从正态分布，则，，.）参考答案：（Ⅰ）由频率分布直方图知，后三组频率分别为，，，………………2分人数为，，，………4分即这名男生身高在以上（含）的人数为人.………5分（Ⅱ）∵，∴，而，……7分所以全校前名的身高在以上（含），这人中以上（含）的有人.

……………………8分随机变量可取，，，于是，，………1